Страница 23 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Рациональным числом называется любое число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число, а знаменатель $n$ — натуральное число (или, в более общем определении, любое целое число, не равное нулю). Множество всех рациональных чисел принято обозначать символом $\mathbb{Q}$.

Примеры рациональных чисел включают в себя несколько основных групп:

• Целые числа: любое целое число является рациональным, так как его можно записать в виде дроби со знаменателем 1. Например: $5 = \frac{5}{1}$; $-12 = \frac{-12}{1}$; $0 = \frac{0}{1}$.
• Обыкновенные дроби: это наиболее очевидный вид рациональных чисел. Они могут быть правильными (числитель меньше знаменателя), неправильными (числитель больше или равен знаменателю), положительными или отрицательными. Например: $\frac{1}{2}$; $\frac{9}{4}$; $-\frac{3}{7}$.
• Смешанные числа: их всегда можно представить в виде неправильной дроби. Например, число $2\frac{1}{3}$ равно дроби $\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
• Конечные десятичные дроби: любая такая дробь может быть представлена в виде обыкновенной. Например: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$; $-1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$.
• Бесконечные периодические десятичные дроби: любое число с повторяющейся последовательностью цифр после запятой также является рациональным. Например: $0,(3) = 0,333... = \frac{1}{3}$; $0,1(6) = 0,1666... = \frac{1}{6}$.

Ответ: Примерами рациональных чисел являются: $10$; $-2$; $0$; $\frac{4}{5}$; $\frac{13}{3}$; $1\frac{1}{2}$; $0,5$; $-2,25$; $0,(1)$.

Задача состоит в том, чтобы привести по одному примеру числового выражения и выражения с переменными. Для этого сначала дадим определения этим понятиям и сопроводим их наглядными примерами.

Пример числового выражения

Числовое выражение — это математическая запись, состоящая из чисел, соединенных знаками арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление и др.), а также скобок. Результатом вычисления числового выражения всегда является одно конкретное число, которое называют значением выражения.

Рассмотрим в качестве примера выражение: $ (50 - 23) \cdot 2 + 16 / 4 $. Оно является числовым, так как содержит только числа, знаки операций и скобки. Его значение можно однозначно вычислить, следуя порядку действий:

$ (50 - 23) \cdot 2 + 16 / 4 = 27 \cdot 2 + 4 = 54 + 4 = 58 $.

Ответ: Примером числового выражения является $ (50 - 23) \cdot 2 + 16 / 4 $.

Пример выражения с переменными

Выражение с переменными (или алгебраическое выражение) — это запись, которая, помимо чисел и знаков действий, включает в себя одну или несколько переменных (обычно обозначаемых буквами). Значение такого выражения не является фиксированным, а зависит от числовых значений, которые присваиваются переменным.

Рассмотрим в качестве примера выражение с двумя переменными $x$ и $y$: $ 7x + 3y - 10 $. Значение этого выражения будет меняться в зависимости от значений $x$ и $y$.

Например:

1. Если $ x = 2 $ и $ y = 5 $, то значение выражения равно $ 7 \cdot 2 + 3 \cdot 5 - 10 = 14 + 15 - 10 = 19 $.

2. Если $ x = -1 $ и $ y = 4 $, то значение выражения равно $ 7 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 - 10 = -7 + 12 - 10 = -5 $.

Ответ: Примером выражения с переменными является $ 7x + 3y - 10 $.

$\frac{36}{2 \cdot 16 - 32}$

Для того чтобы определить, имеет ли смысл данное выражение (дробь), необходимо проверить его знаменатель. В математике деление на ноль является неопределенной операцией, поэтому выражение, в котором знаменатель равен нулю, не имеет смысла.

Найдем значение знаменателя этой дроби:

$2 \cdot 16 - 32 = 32 - 32 = 0$

Поскольку знаменатель равен нулю, деление на него невозможно.

Ответ: выражение не имеет смысла.

$\frac{42 - 6 \cdot 7}{37 - 11}$

Аналогично первому случаю, проверим знаменатель этого выражения.

Найдем значение знаменателя:

$37 - 11 = 26$

Знаменатель равен 26. Так как $26 \neq 0$, выражение имеет смысл.

Для полноты решения можем также вычислить значение самого выражения. Найдем значение числителя:

$42 - 6 \cdot 7 = 42 - 42 = 0$

Теперь найдем значение всей дроби:

$\frac{0}{26} = 0$

Выражение равно нулю, что является конкретным числовым значением.

Ответ: выражение имеет смысл.

Чтобы сравнить значения выражений $x + 3$ и $3x$, нужно подставить каждое из заданных значений $x$ в оба выражения, вычислить их и сравнить полученные результаты.

Подставим значение $x = -4$ в каждое выражение:
Первое выражение: $x + 3 = -4 + 3 = -1$.
Второе выражение: $3x = 3 \cdot (-4) = -12$.
Теперь сравним полученные результаты: $-1$ и $-12$.
Поскольку $-1$ больше, чем $-12$, то при $x = -4$ значение выражения $x + 3$ больше значения выражения $3x$.
Ответ: $x + 3 > 3x$.

Подставим значение $x = 1,5$ в каждое выражение:
Первое выражение: $x + 3 = 1,5 + 3 = 4,5$.
Второе выражение: $3x = 3 \cdot 1,5 = 4,5$.
Сравним полученные результаты: $4,5$ и $4,5$.
Поскольку значения равны, то при $x = 1,5$ значения выражений $x + 3$ и $3x$ равны.
Ответ: $x + 3 = 3x$.

Подставим значение $x = 5$ в каждое выражение:
Первое выражение: $x + 3 = 5 + 3 = 8$.
Второе выражение: $3x = 3 \cdot 5 = 15$.
Сравним полученные результаты: $8$ и $15$.
Поскольку $8$ меньше, чем $15$, то при $x = 5$ значение выражения $x + 3$ меньше значения выражения $3x$.
Ответ: $x + 3 < 3x$.

б) Двойное неравенство — это математическая запись, которая показывает, что некоторое число или переменная находится в промежутке между двумя другими значениями. Фактически, это краткая форма записи системы из двух неравенств.

Приведём пример двойного неравенства с переменной $x$:
$8 < x < 15$

Эта запись объединяет два неравенства: $x > 8$ и $x < 15$. Это означает, что значение $x$ должно быть одновременно строго больше 8 и строго меньше 15.

Прочитать это неравенство можно двумя основными способами:
1. Самый распространенный способ: «Икс больше восьми и меньше пятнадцати».
2. Дословное чтение слева направо: «Восемь меньше икс, икс меньше пятнадцати».

Ответ: Пример двойного неравенства: $8 < x < 15$. Оно читается так: «икс больше восьми и меньше пятнадцати».

Как читаются знаки > и ??

Знак $>$ (больше) используется для обозначения того, что одно число или выражение строго больше другого. Запись $a > b$ читается как «а больше б».
Знак $\le$ (меньше или равно) используется для обозначения того, что одно число или выражение меньше другого или равно ему. Запись $c \le d$ читается как «ц меньше или равно д».

Ответ: Знак $>$ читается «больше», а знак $\le$ читается «меньше или равно».

Какое неравенство называется строгим и какое нестрогим?

Неравенство называется строгим, если оно образовано с помощью знаков «больше» ($>$) или «меньше» ($<$). В строгом неравенстве равенство левой и правой частей исключено.
Неравенство называется нестрогим, если оно образовано с помощью знаков «больше или равно» ($\ge$) или «меньше или равно» ($\le$). В нестрогом неравенстве допускается равенство левой и правой частей.

Ответ: Неравенство со знаками $>$ или $<$ называется строгим, а неравенство со знаками $\ge$ или $\le$ — нестрогим.

Приведите пример строгого неравенства, нестрогого неравенства.

Примеры строгих неравенств:

• $15 > 7$ (пятнадцать больше семи)
• $x < 100$ (икс меньше ста)

Примеры нестрогих неравенств:

• $9 \ge 9$ (девять больше или равно девяти)
• $y \le -1$ (игрек меньше или равен минус единице)

Ответ: Пример строгого неравенства: $15 > 7$. Пример нестрогого неравенства: $9 \ge 9$.