Страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

47. Опытное поле разбили на два участка. Площадь первого участка a га, а второго — b га. С каждого гектара первого участка собрали 32 ц пшеницы, а с каждого гектара второго участка собрали 40 ц. Сколько пшеницы собрали с обоих участков? Вычислите при a = 120 и b = 80.

Сколько пшеницы собрали с обоих участков?

Для того чтобы найти общее количество пшеницы, собранной с обоих участков, необходимо сначала составить буквенное выражение.

1. Найдем количество пшеницы, собранное с первого участка. Площадь этого участка равна $a$ га, а урожайность составляет 32 центнера (ц) с гектара. Значит, с первого участка собрали:
$32 \cdot a$ ц пшеницы.

2. Найдем количество пшеницы, собранное со второго участка. Площадь этого участка равна $b$ га, а урожайность составляет 40 центнеров (ц) с гектара. Значит, со второго участка собрали:
$40 \cdot b$ ц пшеницы.

3. Чтобы найти общее количество собранной пшеницы, сложим количество, полученное с каждого участка.
Общее количество равно $32a + 40b$ ц.

Ответ: $32a + 40b$ ц.

Вычислите при $a=120$ и $b=80$.

Теперь подставим конкретные значения $a=120$ и $b=80$ в полученное выражение $32a + 40b$ и вычислим его значение.

$32 \cdot 120 + 40 \cdot 80$

Выполним вычисления по действиям:
1) Сначала найдем, сколько пшеницы собрали с первого участка: $32 \cdot 120 = 3840$ ц.
2) Затем найдем, сколько пшеницы собрали со второго участка: $40 \cdot 80 = 3200$ ц.
3) Сложим полученные результаты, чтобы найти общее количество: $3840 + 3200 = 7040$ ц.

Ответ: 7040 ц.

48. На стройке работало 5 бригад, по a человек в каждой, и 3 бригады, по b человек в каждой. Сколько человек работало на стройке? Вычислите при a = 25 и b = 32.

Чтобы найти общее количество человек, работавших на стройке, необходимо сложить количество рабочих из всех бригад. Задачу можно решить в два этапа: сначала составить общее выражение, а затем подставить в него конкретные значения.

1. Определим количество человек в первой группе бригад. По условию, у нас есть 5 бригад, в каждой из которых работает a человек. Общее количество человек в этих бригадах можно найти, умножив число бригад на количество человек в одной бригаде: $5 \times a$.

2. Аналогично определим количество человек во второй группе бригад. Эта группа состоит из 3 бригад, в каждой из которых по b человек. Общее количество человек в них: $3 \times b$.

3. Чтобы найти общее количество людей на стройке, нужно сложить количество человек из первой и второй групп. Таким образом, общее количество человек ($N$) можно выразить формулой:
$N = 5a + 3b$

Теперь, используя эту формулу, вычислим общее количество человек при заданных значениях $a = 25$ и $b = 32$.

Подставим значения в формулу:
$N = 5 \times 25 + 3 \times 32$

Выполним вычисления по порядку:
$5 \times 25 = 125$
$3 \times 32 = 96$
$125 + 96 = 221$

Следовательно, всего на стройке работал 221 человек.

Ответ: 221.

49. На рисунке 2 указаны длины отрезков (в сантиметрах). Для каждой фигуры составьте выражение для вычисления её площади (в квадратных сантиметрах).

Левая П-образная фигура

Для нахождения площади данной фигуры воспользуемся методом вычитания. Мы можем представить эту фигуру как большой прямоугольник, из которого вырезан меньший прямоугольник.

1. Сначала определим площадь большого прямоугольника, который бы получился без внутреннего выреза. Его стороны равны $a$ и $b$. Площадь этого прямоугольника:
$S_{большого} = a \cdot b$

2. Теперь найдем площадь вырезанной части. Это прямоугольник, высота которого равна $c$. Ширину этого прямоугольника можно найти, если из общей ширины $a$ вычесть ширину двух боковых частей, каждая из которых равна $d$. Таким образом, ширина выреза составляет $a - d - d = a - 2d$.
Площадь вырезанного прямоугольника:
$S_{выреза} = c \cdot (a - 2d)$

3. Искомая площадь фигуры равна разности площади большого прямоугольника и площади выреза:
$S = S_{большого} - S_{выреза} = ab - c(a - 2d)$

Также это выражение можно записать в раскрытом виде: $S = ab - ac + 2cd$.

Ответ: $S = ab - c(a - 2d)$.

Правая Г-образная фигура

Площадь этой фигуры удобно найти, разбив её на два прямоугольника и сложив их площади.

Выполним разбиение фигуры на верхний горизонтальный и нижний левый прямоугольники.
1. Верхний прямоугольник имеет стороны $x$ и $m$. Его площадь равна:
$S_1 = x \cdot m$

2. Нижний прямоугольник имеет ширину $y$ и высоту, которая равна разности общей высоты $n$ и высоты верхнего прямоугольника $m$. Таким образом, высота нижнего прямоугольника равна $n - m$.
Его площадь равна:
$S_2 = y \cdot (n - m)$

3. Общая площадь фигуры является суммой площадей этих двух прямоугольников:
$S = S_1 + S_2 = xm + y(n - m)$

Отметим, что существуют и другие способы разбиения (например, на левый вертикальный и правый верхний прямоугольники) или метод вычитания, которые приводят к эквивалентным выражениям, таким как $S = yn + m(x-y)$ или $S = xn - (x-y)(n-m)$.

Ответ: $S = xm + y(n - m)$.

50. Ребро куба равно a м. От этого куба отрезан прямоугольный параллелепипед, высота которого равна h м (рис. 3). Найдите объём оставшейся части.

Для нахождения объёма оставшейся части фигуры нужно определить её геометрическую форму и размеры. Изначально у нас есть куб, от которого сверху отрезают прямоугольный параллелепипед. Оставшаяся часть также является прямоугольным параллелепипедом.

1. Определим размеры оставшегося параллелепипеда.

Основанием этого параллелепипеда является нижняя грань исходного куба. Так как ребро куба равно $a$, то основание — это квадрат со сторонами $a$ м и $a$ м.

Высота исходного куба также равна его ребру $a$ м. По условию, от куба отрезали часть, высота которой равна $h$ м. Следовательно, высота оставшейся части будет равна разности высоты куба и высоты отрезанной части.

Высота оставшейся части = $a - h$ м.

2. Вычислим объём оставшейся части.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется по формуле как произведение площади основания на высоту. В нашем случае площадь основания равна $a \cdot a = a^2$, а высота равна $(a-h)$.

$V = (\text{площадь основания}) \times (\text{высота})$

$V_{оставшейся} = (a \cdot a) \cdot (a-h)$

Упростив выражение, получим формулу для объёма:

$V_{оставшейся} = a^2(a-h)$

Так как все линейные размеры даны в метрах (м), то объём будет измеряться в кубических метрах (м?).

Для проверки можно также найти объём исходного куба ($V_{куба} = a^3$) и вычесть из него объём отрезанного параллелепипеда ($V_{отрезанного} = a^2h$). Результат будет тем же: $V_{оставшейся} = a^3 - a^2h = a^2(a-h)$.

Ответ: $a^2(a-h)$ м?.

51. В 250 г водного раствора соли содержалось x г соли. Какой стала концентрация раствора после добавления в него 5 г соли? Выберите верный ответ.

51.

Концентрация раствора — это отношение массы растворенного вещества к общей массе раствора, умноженное на 100%. Формула для расчета концентрации $C$ выглядит так:

$C = \frac{m_{вещества}}{m_{раствора}} \cdot 100\%$

Чтобы найти новую концентрацию, нам нужно определить новую массу соли (растворенного вещества) и новую общую массу раствора.

1. Находим новую массу соли.
Изначально в растворе содержалось $x$ г соли. После того как добавили еще 5 г, общая масса соли в растворе стала:
$m_{соли\_новая} = x + 5$ г.

2. Находим новую массу раствора.
Изначальная масса всего раствора составляла 250 г. При добавлении 5 г соли общая масса раствора также увеличивается на 5 г. Таким образом, новая масса раствора равна:
$m_{раствора\_новая} = 250 + 5 = 255$ г.

3. Рассчитываем новую концентрацию.
Теперь подставим полученные значения в формулу для расчета концентрации:
$C_{новая} = \frac{m_{соли\_новая}}{m_{раствора\_новая}} \cdot 100\% = \frac{x + 5}{255} \cdot 100\%$

Полученное выражение соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4. $\frac{x + 5}{255} \cdot 100\%$

52. В сплаве олова и свинца массой 20 кг содержалось x кг олова. Каким стало процентное содержание олова в сплаве после добавления в него 2 кг олова?

Первоначально масса сплава составляет 20 кг, и в нем содержится $x$ кг олова.

После того как в сплав добавили 2 кг олова, масса олова в сплаве увеличилась. Новая масса олова стала равна сумме исходной массы и добавленной:
Масса олова = $x + 2$ кг.

Общая масса сплава также увеличилась на массу добавленного олова. Новая общая масса сплава стала равна:
Общая масса сплава = $20 + 2 = 22$ кг.

Процентное содержание вещества в смеси определяется по формуле: $ \text{Процентное содержание} = \frac{\text{масса вещества}}{\text{общая масса смеси}} \times 100\% $

Подставим в формулу новые значения массы олова и общей массы сплава, чтобы найти новое процентное содержание олова:
Процентное содержание олова = $ \frac{x + 2}{22} \times 100\% $

Это выражение можно немного упростить, сократив числовой множитель:
$ \frac{100(x + 2)}{22}\% = \frac{50(x + 2)}{11}\% $

Ответ: $ \frac{100(x + 2)}{22}\% $

53. Длина прямоугольника a см, ширина b см. Что означает выражение:

а) ab;
В прямоугольнике, где $a$ — длина, а $b$ — ширина, произведение $a \cdot b$ (или просто $ab$) представляет собой формулу для вычисления его площади. Площадь измеряется в квадратных единицах, в данном случае — в квадратных сантиметрах ($см^2$).
Ответ: Площадь прямоугольника.

б) 2a + 2b;
Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его сторон. Поскольку у прямоугольника есть две стороны длиной $a$ и две стороны длиной $b$, его периметр $P$ находится путем сложения всех длин: $P = a + a + b + b = 2a + 2b$. Это выражение также часто записывают в виде $P = 2(a + b)$.
Ответ: Периметр прямоугольника.

в) a + b;
Выражение $a + b$ — это сумма длины и ширины прямоугольника. Эта величина соответствует сумме длин двух смежных сторон и называется полупериметром, так как она составляет ровно половину от полного периметра прямоугольника ($P = 2(a+b)$).
Ответ: Полупериметр прямоугольника.

г) 2a?
Выражение $2a$ означает удвоенную длину прямоугольника, то есть $a + a$. Геометрически это сумма длин двух противоположных сторон, каждая из которых имеет длину $a$.
Ответ: Сумма длин двух сторон прямоугольника, равных $a$.

54. Тетрадь стоит x р., а карандаш стоит y р. Что означает выражение:

а) $x + y$;
Это выражение представляет собой сумму стоимости одной тетради ($x$ р.) и одного карандаша ($y$ р.). Таким образом, оно означает общую стоимость покупки одной тетради и одного карандаша.
Ответ: стоимость покупки одной тетради и одного карандаша.

б) $3x + y$;
В данном выражении $3x$ — это стоимость трех тетрадей, а $y$ — стоимость одного карандаша. Сумма $3x + y$ означает общую стоимость покупки трех тетрадей и одного карандаша.
Ответ: стоимость покупки трех тетрадей и одного карандаша.

в) $2x + 3y$;
Здесь $2x$ представляет стоимость двух тетрадей, а $3y$ — стоимость трех карандашей. Следовательно, выражение $2x + 3y$ означает общую стоимость покупки двух тетрадей и трех карандашей.
Ответ: стоимость покупки двух тетрадей и трех карандашей.

г) $\frac{x}{y}$?
Данное выражение представляет собой отношение стоимости тетради к стоимости карандаша. Оно показывает, во сколько раз стоимость тетради превышает стоимость карандаша. Также это можно интерпретировать как количество карандашей, которое можно купить на сумму, равную стоимости одной тетради.
Ответ: во сколько раз тетрадь дороже карандаша, или сколько карандашей можно купить по цене одной тетради.