Страница 13 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. В фермерском хозяйстве собирали по 36 ц пшеницы с гекта-ра. Применение интенсивной технологии позволило увеличить производство пшеницы на той же площади на 25%. Сколько центнеров пшеницы стали собирать с 1 га в этом фермерском хозяйстве?

Для решения этой задачи нужно рассчитать новую урожайность пшеницы, которая увеличилась на 25% от первоначального значения.

1. Находим, на сколько центнеров увеличилась урожайность.

Первоначальная урожайность составляла 36 центнеров с гектара. Нам нужно найти 25% от этого числа. Для этого можно умножить 36 на 25 и разделить на 100, или умножить на десятичную дробь, соответствующую 25%.

$25\% = \frac{25}{100} = 0.25$

Величина увеличения урожайности:
$36 \text{ ц} \times 0.25 = 9 \text{ ц}$

Таким образом, производство пшеницы с одного гектара увеличилось на 9 центнеров.

2. Рассчитываем новую урожайность.

Чтобы получить новую урожайность, нужно к первоначальной урожайности прибавить полученное увеличение:
$36 \text{ ц} + 9 \text{ ц} = 45 \text{ ц}$

Альтернативный способ:

Можно сразу рассчитать итоговую урожайность. Если первоначальная урожайность - это 100%, то после увеличения на 25% она составит $100\% + 25\% = 125\%$.

Переведем 125% в десятичный коэффициент: $125\% = 1.25$.

Теперь умножим первоначальную урожайность на этот коэффициент:
$36 \text{ ц} \times 1.25 = 45 \text{ ц}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 45 центнеров.

25. За несколько книг уплатили 320 р. Стоимости двух из этих книг составили соответственно 30% и 45% израсходованных денег. На сколько рублей одна из этих книг дешевле другой?

Для того чтобы найти, на сколько рублей одна книга дешевле другой, можно воспользоваться двумя способами. В обоих случаях мы будем исходить из того, что общая потраченная сумма составляет 320 рублей, и эта сумма принимается за 100%.

Способ 1: Расчет стоимости каждой книги

Сначала вычислим стоимость каждой книги в рублях, а затем найдем разницу между ними.

1. Стоимость первой книги составляет 30% от 320 рублей. Найдем эту величину:
$320 \cdot \frac{30}{100} = 320 \cdot 0.3 = 96$ рублей.

2. Стоимость второй книги составляет 45% от 320 рублей. Вычислим ее стоимость:
$320 \cdot \frac{45}{100} = 320 \cdot 0.45 = 144$ рубля.

3. Теперь найдем разницу между стоимостью второй и первой книги, чтобы узнать, на сколько одна дешевле другой:
$144 - 96 = 48$ рублей.

Способ 2: Расчет через разницу в процентах

Этот способ позволяет найти ответ быстрее, выполнив меньше действий.

1. Сначала найдем, на сколько процентов стоимость одной книги отличается от стоимости другой:
$45\% - 30\% = 15\%$

2. Теперь найдем, сколько рублей составляет эта разница в 15% от общей суммы в 320 рублей:
$320 \cdot \frac{15}{100} = 320 \cdot 0.15 = 48$ рублей.

Оба способа показывают, что одна книга дешевле другой на 48 рублей.

Ответ: 48 рублей.

26.Используя три раза цифру 2, составьте выражение, значение которого равно: а) 6; б) 8; в) 3; г) 1.

а) Чтобы получить число 6, можно сложить три двойки. Сначала сложим две двойки: $2+2=4$. Затем к результату прибавим третью двойку: $4+2=6$.
Ответ: $2+2+2=6$

б) Чтобы получить число 8, можно перемножить три двойки. Сначала умножим две двойки: $2 \cdot 2=4$. Затем результат умножим на третью двойку: $4 \cdot 2=8$.
Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 2=8$

в) Чтобы получить число 3, необходимо использовать деление и сложение. Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняется деление: $2:2=1$. Затем к результату прибавляется оставшаяся двойка: $2+1=3$.
Ответ: $2 + \frac{2}{2} = 3$

г) Чтобы получить число 1, можно использовать вычитание и деление. Сначала выполним деление двух двоек: $2:2=1$. Затем из оставшейся двойки вычтем полученный результат: $2-1=1$.
Ответ: $2 - \frac{2}{2} = 1$

27. Составьте выражение, содержащее два знака действия, значение которого равно: а) 12; б) 0.

а) Чтобы составить выражение, содержащее два знака действия, значение которого равно 12, можно использовать различные комбинации арифметических операций. Существует множество возможных решений. В качестве примера возьмем действия умножения и сложения. Составим выражение $2 \cdot 4 + 4$. Согласно правилам порядка выполнения действий, сначала выполняется умножение, а затем сложение.
Проверим вычисления по шагам:
1. Первое действие (умножение): $2 \cdot 4 = 8$.
2. Второе действие (сложение): $8 + 4 = 12$.
Таким образом, выражение $2 \cdot 4 + 4$ содержит два знака действия ($\cdot$ и $+$) и его значение равно 12. Другим примером может быть выражение с делением и вычитанием: $20 - 16 : 2 = 12$.
Ответ: $2 \cdot 4 + 4 = 12$.

б) Чтобы составить выражение с двумя знаками действия, значение которого равно 0, можно составить такое выражение, где в результате второго действия из числа вычитается оно само. Это число можно получить в результате первого действия. Например, используем умножение и вычитание. Составим выражение $6 \cdot 2 - 12$.
Проверим вычисления по шагам:
1. Первое действие (умножение): $6 \cdot 2 = 12$.
2. Второе действие (вычитание): $12 - 12 = 0$.
Данное выражение содержит два знака действия ($\cdot$ и $-$) и его значение равно 0. В качестве другого примера можно привести выражение со сложением и вычитанием: $7 + 5 - 12 = 0$.
Ответ: $6 \cdot 2 - 12 = 0$.

28. Какое из выражений не имеет смысла?

Чтобы определить, какое из выражений не имеет смысла, необходимо проверить каждое из них. Математическое выражение не имеет смысла, если в нём присутствует недопустимая операция, такая как деление на ноль.

1. $\frac{2,6 - 13 \cdot 0,2}{8}$

Данное выражение является дробью. Оно имеет смысл, если его знаменатель не равен нулю. В этом случае знаменатель равен 8, что не равно нулю. Проведем вычисления в числителе, соблюдая порядок действий (сначала умножение, затем вычитание):

$13 \cdot 0,2 = 2,6$

$2,6 - 2,6 = 0$

Таким образом, значение всего выражения равно $\frac{0}{8} = 0$. Выражение имеет конкретное численное значение.

Ответ: выражение имеет смысл.

2. $\frac{0,57}{0,8 - 0,4 \cdot 2}$

Это выражение также является дробью. Чтобы определить, имеет ли оно смысл, необходимо вычислить значение его знаменателя:

$0,8 - 0,4 \cdot 2$

Сначала выполним умножение:

$0,4 \cdot 2 = 0,8$

Затем выполним вычитание:

$0,8 - 0,8 = 0$

Знаменатель дроби равен нулю. Выражение принимает вид $\frac{0,57}{0}$. Деление на ноль является математически неопределенной операцией.

Ответ: выражение не имеет смысла.

3. $(1,7 \cdot 2 - 3,4) : 11$

Это выражение представляет собой операцию деления. Оно имеет смысл, если делитель не равен нулю. Делитель равен 11, что не равно нулю. Проведем вычисления в скобках:

$1,7 \cdot 2 = 3,4$

$3,4 - 3,4 = 0$

Теперь разделим полученный результат на 11:

$0 : 11 = 0$

Выражение имеет конкретное численное значение.

Ответ: выражение имеет смысл.

29. Составьте какое-либо выражение, не имеющее смысла.

В математике выражение считается не имеющим смысла, если оно содержит операцию, которая не определена для данных чисел или нарушает синтаксис математической записи. Можно привести несколько примеров таких выражений, основанных на разных неопределенных операциях.

Деление на ноль

Одной из самых известных неопределенных операций в арифметике является деление на ноль. Деление — это операция, обратная умножению. Если мы говорим, что $a / b = c$, это эквивалентно тому, что $b \times c = a$. Если мы попытаемся разделить какое-либо ненулевое число на ноль, например, $5 / 0$, и предположим, что результат равен некоторому числу $x$, то должно выполняться равенство $0 \times x = 5$. Однако любое число, умноженное на ноль, равно нулю, а не пяти. Следовательно, такое число $x$ не существует, и само выражение не имеет смысла.

Ответ: $\frac{5}{0}$

Корень четной степени из отрицательного числа

В множестве действительных чисел ($\mathbb{R}$) невозможно извлечь корень четной степени (квадратный, четвертой степени и т.д.) из отрицательного числа. По определению, корень $n$-й степени из числа $a$ — это такое число $x$, что $x^n = a$. Если степень $n$ является четным числом, то любое действительное число $x$, возведенное в эту степень, даст неотрицательный результат ($x^n \ge 0$). Следовательно, не существует действительного числа, квадрат которого был бы равен, например, -16.

Ответ: $\sqrt{-16}$

Логарифм неположительного числа

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ ($\log_a b$) — это показатель степени, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. Основание логарифма $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a > 0, a \neq 1$). При таких условиях, какую бы действительную степень $c$ мы ни взяли, результат возведения $a$ в эту степень ($a^c$) всегда будет строго положительным числом. Таким образом, невозможно найти такой показатель степени, чтобы в результате получить ноль или отрицательное число. Поэтому выражения вроде $\log_2(0)$ или $\ln(-1)$ не определены.

Ответ: $\log_2(-3)$

30. Составьте выражение для решения задачи: «Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 40 км, вы шли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Какое расстояние будет между ними через 3 ч, если известно, что скорость одного пешехода 4 км/ч, а скорость другого — 5 км/ч?»

Для того чтобы составить выражение для решения данной задачи, необходимо последовательно выполнить несколько действий. Сначала нужно определить, с какой скоростью пешеходы сближаются, затем найти, какое расстояние они пройдут вместе за указанное время, и, наконец, вычесть это расстояние из начального.

Нахождение скорости сближения
Поскольку пешеходы движутся навстречу друг другу, их общая скорость, с которой они приближаются друг к другу (скорость сближения), равна сумме их скоростей. Скорость первого пешехода $v_1 = 4$ км/ч, скорость второго пешехода $v_2 = 5$ км/ч. Их скорость сближения $v_{сбл}$ составляет:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 4 + 5 = 9$ км/ч.

Нахождение общего пройденного расстояния
За время $t = 3$ ч пешеходы вместе преодолеют расстояние, равное произведению их скорости сближения на время. Это расстояние, на которое они станут ближе друг к другу:
$S_{сбл} = v_{сбл} \cdot t = (4 + 5) \cdot 3$ км.

Составление итогового выражения
Изначально расстояние между пешеходами было 40 км. Чтобы найти, какое расстояние будет между ними через 3 часа, нужно из начального расстояния вычесть расстояние, на которое они сблизились. Таким образом, мы получаем выражение для решения задачи:
$40 - (4 + 5) \cdot 3$

Решение задачи
Теперь можно вычислить значение этого выражения, чтобы ответить на вопрос задачи — какое расстояние будет между пешеходами.
$40 - (4 + 5) \cdot 3 = 40 - 9 \cdot 3 = 40 - 27 = 13$ км.

Альтернативным способом составления выражения является вычисление пути каждого пешехода по отдельности ($4 \cdot 3$ км и $5 \cdot 3$ км), их сложение и вычитание из общего расстояния: $40 - (4 \cdot 3 + 5 \cdot 3)$. Оба выражения являются верными и приводят к одинаковому результату.

Ответ: $40 - (4 + 5) \cdot 3$.

31. Решите задачу, составив выражение: «Один рабочий изготовляет за час 7 деталей, а другой — 9 деталей. Сколько деталей они изготовят за 4 ч?»

Для решения данной задачи необходимо найти общую производительность двух рабочих (сколько деталей они изготавливают вместе за один час), а затем умножить это значение на общее время работы.

1. Совместная производительность рабочих в час находится сложением их индивидуальных производительностей:
$7 \text{ деталей/час} + 9 \text{ деталей/час} = 16 \text{ деталей/час}$.

2. Чтобы найти общее количество деталей, изготовленных за 4 часа, нужно совместную производительность умножить на время:
$16 \text{ деталей/час} \times 4 \text{ ч} = 64 \text{ детали}$.

Таким образом, выражение для решения задачи выглядит следующим образом:$(7 + 9) \times 4$.

Выполним вычисления:$(7 + 9) \times 4 = 16 \times 4 = 64$.

Ответ: 64 детали.

32. Используя термины «сумма», «разность», «произведение» и «частное», прочитайте выражение:

а) 8,5 – 7,3;
б) 4,7 · 12,3;
в) 65 : 1,3;
г) 5,6 + 0,9;
д) 2 · 9,5 + 14;
е) (10 – 2,7) : 5;
ж) 6,1 · (8,4:4);
з) (6,4 + 7) : 2;
и) 2,5 – (3,2 + 1,8);
к) (5,74 – 1,24) · 3,6;
л) 8 – (1,71 + 0,19);
м) 0,36 : 0,3 – 1,78.

а) Разность чисел 8,5 и 7,3.
Решение: $8,5 - 7,3 = 1,2$.
Ответ: 1,2

б) Произведение чисел 4,7 и 12,3.
Решение: $4,7 \cdot 12,3 = 57,81$.
Ответ: 57,81

в) Частное чисел 65 и 1,3.
Решение: $65 : 1,3 = 650 : 13 = 50$.
Ответ: 50

г) Сумма чисел 5,6 и 0,9.
Решение: $5,6 + 0,9 = 6,5$.
Ответ: 6,5

д) Сумма произведения чисел 2 и 9,5 и числа 14.
Решение: $2 \cdot 9,5 + 14 = 19 + 14 = 33$.
Ответ: 33

е) Частное от деления разности чисел 10 и 2,7 на число 5.
Решение: $(10 - 2,7) : 5 = 7,3 : 5 = 1,46$.
Ответ: 1,46

ж) Произведение числа 6,1 и частного чисел 8,4 и 4.
Решение: $6,1 \cdot (8,4 : 4) = 6,1 \cdot 2,1 = 12,81$.
Ответ: 12,81

з) Частное от деления суммы чисел 6,4 и 7 на число 2.
Решение: $(6,4 + 7) : 2 = 13,4 : 2 = 6,7$.
Ответ: 6,7

и) Разность числа 2,5 и суммы чисел 3,2 и 1,8.
Решение: $2,5 - (3,2 + 1,8) = 2,5 - 5 = -2,5$.
Ответ: -2,5

к) Произведение разности чисел 5,74 и 1,24 на число 3,6.
Решение: $(5,74 - 1,24) \cdot 3,6 = 4,5 \cdot 3,6 = 16,2$.
Ответ: 16,2

л) Разность числа 8 и суммы чисел 1,71 и 0,19.
Решение: $8 - (1,71 + 0,19) = 8 - 1,9 = 6,1$.
Ответ: 6,1

м) Разность частного чисел 0,36 и 0,3 и числа 1,78.
Решение: $0,36 : 0,3 - 1,78 = 1,2 - 1,78 = -0,58$.
Ответ: -0,58

33. (Задача-исследование.) Из 36 учащихся класса каждый изучает хотя бы один иностранный язык — английский или немецкий. Известно, что 25 учащихся изучают английский язык, а 20 учащихся — немецкий язык.

1) Укажите число учащихся, изучающих хотя бы один из этих языков.

2) Вычислите число учащихся, изучающих оба языка — английский и немецкий.

3) Найдите, сколько процентов учащихся изучают оба языка.

1) Укажите число учащихся, изучающих хотя бы один из этих языков.

В условии задачи сказано, что в классе 36 учащихся и каждый из них изучает хотя бы один иностранный язык (английский или немецкий). Следовательно, число учащихся, изучающих хотя бы один из этих языков, равно общему числу учащихся в классе.

Ответ: 36.

2) Вычислите число учащихся, изучающих оба языка — английский и немецкий.

Для нахождения числа учащихся, изучающих оба языка, воспользуемся принципом включений-исключений. Пусть $A$ — это множество учащихся, изучающих английский язык, а $B$ — множество учащихся, изучающих немецкий язык. Тогда:

Число учащихся, изучающих английский язык, $|A| = 25$.

Число учащихся, изучающих немецкий язык, $|B| = 20$.

Число учащихся, изучающих хотя бы один из этих языков (объединение множеств), $|A \cup B| = 36$.

Число учащихся, изучающих оба языка (пересечение множеств), обозначается как $|A \cap B|$.

Формула для объединения двух множеств: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.

Выразим из этой формулы искомое пересечение:

$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$

Подставим данные из условия:

$|A \cap B| = 25 + 20 - 36 = 45 - 36 = 9$

Следовательно, 9 учащихся изучают оба языка.

Ответ: 9.

3) Найдите, сколько процентов учащихся изучают оба языка.

Чтобы вычислить процент учащихся, изучающих оба языка, необходимо разделить их количество на общее число учащихся в классе и умножить результат на 100%.

Число учащихся, изучающих оба языка, равно 9.

Общее число учащихся в классе равно 36.

Рассчитаем процент:

$\frac{9}{36} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 25\%$

Ответ: 25%.