Страница 10 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Какое из множеств (A или B) является подмножеством другого:

а) A — множество чётных чисел, B — множество чисел, кратных 4;

б) A — множество делителей числа 12, B — множество делителей числа 60;

в) A — множество треугольников, B — множество прямоугольных треугольников?

а) Множество A — это множество всех чётных чисел. Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Любое чётное число можно представить в виде $2k$, где $k$ — целое число. Например, $A = \{..., -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ...\}$.
Множество B — это множество чисел, кратных 4. Это числа, которые делятся на 4 без остатка. Любое такое число можно представить в виде $4m$, где $m$ — целое число. Например, $B = \{..., -8, -4, 0, 4, 8, 12, ...\}$.

Рассмотрим, является ли множество A подмножеством множества B. Для этого каждый элемент из A должен быть и элементом B. Возьмём число 6. Оно чётное, то есть $6 \in A$. Однако 6 не делится на 4 нацело, поэтому $6 \notin B$. Следовательно, A не является подмножеством B.

Теперь рассмотрим, является ли множество B подмножеством множества A. Возьмём любой элемент $x$ из множества B. По определению, $x$ кратно 4, то есть $x = 4m$ для некоторого целого числа $m$. Мы можем переписать это выражение как $x = 2 \cdot (2m)$. Так как $2m$ — это целое число, то $x$ является произведением двойки и целого числа, а значит, $x$ — чётное число. Таким образом, любой элемент множества B является также элементом множества A. Следовательно, B является подмножеством A ($B \subset A$).
Ответ: множество B является подмножеством множества A.

б) Множество A — это множество натуральных делителей числа 12. Перечислим все элементы этого множества: $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.
Множество B — это множество натуральных делителей числа 60. Перечислим все элементы этого множества: $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\}$.

Проверим, является ли множество A подмножеством множества B. Для этого сравним элементы множества A с элементами множества B:

• 1 является делителем 60, значит $1 \in B$.
• 2 является делителем 60, значит $2 \in B$.
• 3 является делителем 60, значит $3 \in B$.
• 4 является делителем 60, значит $4 \in B$.
• 6 является делителем 60, значит $6 \in B$.
• 12 является делителем 60, значит $12 \in B$.

Все элементы множества A также являются элементами множества B. Следовательно, A является подмножеством B ($A \subset B$).

Теперь проверим, является ли множество B подмножеством множества A. Возьмём, к примеру, число 5 из множества B. Число 5 не является делителем числа 12, поэтому $5 \notin A$. Следовательно, B не является подмножеством A.
Ответ: множество A является подмножеством множества B.

в) Множество A — это множество всех существующих треугольников. Это множество включает в себя все виды треугольников: остроугольные, прямоугольные, тупоугольные, равнобедренные, равносторонние и разносторонние.
Множество B — это множество прямоугольных треугольников. Прямоугольный треугольник — это частный случай треугольника, у которого один из углов равен 90°.

Рассмотрим, является ли множество A подмножеством множества B. Возьмём любой непрямоугольный треугольник, например, равносторонний (все углы по 60°). Он принадлежит множеству A, но не принадлежит множеству B. Следовательно, A не является подмножеством B.

Теперь рассмотрим, является ли множество B подмножеством множества A. По определению, любой прямоугольный треугольник является треугольником. Это означает, что каждый элемент множества B (любой прямоугольный треугольник) также является элементом множества A (множества всех треугольников). Следовательно, B является подмножеством A ($B \subset A$).
Ответ: множество B является подмножеством множества A.

3. Представьте в виде отношения целого числа к натуральному несколькими способами числа 125 ; 0,3; –314; –27; 0.

$1\frac{2}{5}$
Чтобы представить смешанное число в виде отношения целого числа к натуральному, необходимо перевести его в неправильную дробь. Для этого целую часть умножаем на знаменатель, прибавляем к результату числитель, а знаменатель оставляем без изменений.
$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$
В полученном отношении числитель $7$ является целым числом, а знаменатель $5$ — натуральным. Это один из способов.
Чтобы получить другие способы, можно умножить числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число (основное свойство дроби). Например, умножим на $2$ и на $10$.
$\frac{7}{5} = \frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{14}{10}$
$\frac{7}{5} = \frac{7 \cdot 10}{5 \cdot 10} = \frac{70}{50}$
Ответ: $\frac{7}{5}; \frac{14}{10}; \frac{70}{50}$.

$0,3$
Десятичную дробь представим в виде обыкновенной дроби.
$0,3 = \frac{3}{10}$
Здесь числитель $3$ — целое число, а знаменатель $10$ — натуральное.
Другие отношения можно получить, умножив числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число, например, на $2$ и на $5$.
$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{6}{20}$
$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 5}{10 \cdot 5} = \frac{15}{50}$
Ответ: $\frac{3}{10}; \frac{6}{20}; \frac{15}{50}$.

$-3\frac{1}{4}$
Переведем отрицательное смешанное число в неправильную дробь. Знак "минус" следует отнести к числителю, чтобы знаменатель остался натуральным числом.
$-3\frac{1}{4} = -(\frac{3 \cdot 4 + 1}{4}) = -\frac{13}{4} = \frac{-13}{4}$
В этом отношении числитель $-13$ — целое число, а знаменатель $4$ — натуральное.
Умножим числитель и знаменатель на другие натуральные числа, например, на $2$ и на $3$.
$\frac{-13}{4} = \frac{-13 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{-26}{8}$
$\frac{-13}{4} = \frac{-13 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{-39}{12}$
Ответ: $\frac{-13}{4}; \frac{-26}{8}; \frac{-39}{12}$.

$-27$
Любое целое число можно представить в виде отношения этого числа к $1$.
$-27 = \frac{-27}{1}$
Здесь числитель $-27$ — целое число, а знаменатель $1$ — натуральное.
Другие способы получаются умножением числителя и знаменателя на любое натуральное число, например, на $2$ и на $10$.
$\frac{-27}{1} = \frac{-27 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{-54}{2}$
$\frac{-27}{1} = \frac{-27 \cdot 10}{1 \cdot 10} = \frac{-270}{10}$
Ответ: $\frac{-27}{1}; \frac{-54}{2}; \frac{-270}{10}$.

$0$
Число ноль можно представить в виде отношения, где числитель равен нулю, а знаменатель — любое натуральное число.
$0 = \frac{0}{1}$
$0 = \frac{0}{7}$
$0 = \frac{0}{42}$
Ответ: $\frac{0}{1}; \frac{0}{7}; \frac{0}{42}$.

4. Представьте в виде дроби с наименьшим натуральным знаменателем числа 36; –45; 4,2; –0,8; 1516; −29.

36

Любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Знаменатель 1 является наименьшим натуральным числом, поэтому это и будет искомая дробь.

$36 = \frac{36}{1}$

Ответ: $\frac{36}{1}$

-45

Аналогично любому целому числу, представим -45 в виде дроби со знаменателем 1. Это наименьший натуральный знаменатель.

$-45 = \frac{-45}{1}$

Ответ: $\frac{-45}{1}$

4,2

Сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной дроби. Так как после запятой стоит одна цифра, знаменатель будет 10.

$4,2 = \frac{42}{10}$

Теперь необходимо сократить полученную дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя. НОД(42, 10) = 2. Разделим числитель и знаменатель на 2.

$\frac{42}{10} = \frac{42 \div 2}{10 \div 2} = \frac{21}{5}$

Полученная дробь несократима, а её знаменатель 5 — наименьший возможный натуральный знаменатель.

Ответ: $\frac{21}{5}$

-0,8

Представим отрицательную десятичную дробь в виде обыкновенной дроби со знаменателем 10.

$-0,8 = -\frac{8}{10}$

Сократим эту дробь. НОД(8, 10) = 2.

$-\frac{8}{10} = -\frac{8 \div 2}{10 \div 2} = -\frac{4}{5}$

Дробь является несократимой, знаменатель 5 — наименьший натуральный.

Ответ: $-\frac{4}{5}$

$15\frac{1}{6}$

Чтобы представить смешанное число в виде дроби, нужно преобразовать его в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель, результат запишем в числитель новой дроби, а знаменатель оставим прежним.

$15\frac{1}{6} = \frac{15 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{90 + 1}{6} = \frac{91}{6}$

Проверим, можно ли сократить дробь. Разложим числитель и знаменатель на простые множители: $91 = 7 \cdot 13$; $6 = 2 \cdot 3$. Общих множителей нет, значит дробь несократима.

Ответ: $\frac{91}{6}$

$-\frac{2}{9}$

Данное число уже представлено в виде дроби. Проверим, является ли она несократимой. НОД(2, 9) = 1, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей кроме 1. Следовательно, дробь сократить нельзя, и знаменатель 9 является наименьшим возможным натуральным знаменателем.

Ответ: $-\frac{2}{9}$

5. Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число:

а) Чтобы представить обыкновенную дробь $\frac{1}{3}$ в виде бесконечной десятичной дроби, необходимо разделить числитель 1 на знаменатель 3. При делении в столбик мы получим последовательность цифр после запятой, которая не заканчивается.

$1 \div 3 = 0,333...$

Цифра 3 повторяется бесконечно, она является периодом дроби. Запись с использованием скобок: $0,(3)$.

Ответ: $0,333...$

б) Для представления дроби $\frac{5}{6}$ в виде бесконечной десятичной дроби разделим 5 на 6.

$5 \div 6 = 0,8333...$

После первой цифры 8 после запятой, цифра 3 начинает бесконечно повторяться. Это смешанная периодическая дробь, где 3 — период. Запись: $0,8(3)$.

Ответ: $0,8333...$

в) Чтобы представить дробь $\frac{1}{7}$ в виде бесконечной десятичной дроби, разделим 1 на 7.

$1 \div 7 = 0,142857142857...$

В результате деления получается повторяющаяся группа цифр (период) 142857. Запись: $0,(142857)$.

Ответ: $0,142857142857...$

г) Для числа $-\frac{20}{9}$ сначала разделим 20 на 9, а затем добавим знак минус.

$20 \div 9 = 2,222...$

Цифра 2 является периодом. Значит, $-\frac{20}{9} = -2,222...$ или в краткой записи $-2,(2)$.

Ответ: $-2,222...$

д) Для числа $-\frac{8}{15}$ сначала разделим 8 на 15, а затем добавим знак минус.

$8 \div 15 = 0,5333...$

Это смешанная периодическая дробь с периодом 3. Значит, $-\frac{8}{15} = -0,5333...$ или в краткой записи $-0,5(3)$.

Ответ: $-0,5333...$

е) Число $10,28$ является конечной десятичной дробью. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной, добавив справа бесконечное количество нулей (период 0).

$10,28 = 10,28000...$

Краткая запись: $10,28(0)$.

Ответ: $10,28000...$

ж) Целое число $-17$ можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, поставив после него запятую и добавив бесконечное количество нулей.

$-17 = -17,000...$

Краткая запись: $-17,(0)$.

Ответ: $-17,000...$

з) Чтобы представить дробь $\frac{3}{16}$ в виде десятичной, разделим 3 на 16.

$3 \div 16 = 0,1875$

Это конечная десятичная дробь. Для представления в виде бесконечной добавим период 0.

$0,1875 = 0,1875000...$

Краткая запись: $0,1875(0)$.

Ответ: $0,1875000...$

и) Смешанное число $-1\frac{3}{40}$ сначала преобразуем в десятичную дробь. Целая часть равна -1. Дробную часть $\frac{3}{40}$ переведем в десятичную дробь.

$3 \div 40 = 0,075$

Следовательно, $-1\frac{3}{40} = -1,075$. Это конечная дробь. Представим ее в виде бесконечной:

$-1,075 = -1,075000...$

Краткая запись: $-1,075(0)$.

Ответ: $-1,075000...$

к) Для числа $2\frac{7}{11}$ целая часть равна 2. Переведем дробную часть $\frac{7}{11}$ в десятичную дробь.

$7 \div 11 = 0,6363...$

Периодом является группа цифр 63. Таким образом, $\frac{7}{11} = 0,(63)$.

Следовательно, $2\frac{7}{11} = 2 + 0,(63) = 2,6363...$

Краткая запись: $2,(63)$.

Ответ: $2,6363...$

6. Сравните рациональные числа:

а) Для сравнения десятичных дробей 0,013 и 0,1004 будем сравнивать их разряды поочередно, слева направо. Целые части обоих чисел равны 0. Сравним дробные части. В разряде десятых у числа 0,013 стоит 0, а у числа 0,1004 стоит 1. Так как $0 < 1$, то и $0,013 < 0,1004$.
Ответ: $0,013 < 0,1004$.

б) Сравниваем отрицательное число -24 и положительное число 0,003. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Следовательно, $-24 < 0,003$.
Ответ: $-24 < 0,003$.

в) Для сравнения двух отрицательных чисел -3,24 и -3,42, сначала сравним их модули (абсолютные величины): $|-3,24| = 3,24$ и $|-3,42| = 3,42$. Сравнивая 3,24 и 3,42, видим, что целые части равны, а в разряде десятых $2 < 4$, значит $3,24 < 3,42$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $3,24 < 3,42$, то $-3,24 > -3,42$.
Ответ: $-3,24 > -3,42$.

г) Чтобы сравнить обыкновенную дробь $\frac{3}{8}$ и десятичную дробь 0,375, представим обыкновенную дробь в виде десятичной. Для этого разделим числитель на знаменатель: $3 \div 8 = 0,375$. Таким образом, мы сравниваем 0,375 и 0,375. Эти числа равны.
Ответ: $\frac{3}{8} = 0,375$.

д) Сравним числа -1,174 и $-1\frac{7}{40}$. Сначала преобразуем смешанную дробь в десятичную. Дробная часть $\frac{7}{40} = 7 \div 40 = 0,175$. Значит, $-1\frac{7}{40} = -1,175$. Теперь сравним два отрицательных числа: -1,174 и -1,175. Сравним их модули: $1,174$ и $1,175$. Так как в разряде тысячных $4 < 5$, то $1,174 < 1,175$. Для отрицательных чисел, чем меньше модуль, тем больше число. Следовательно, $-1,174 > -1,175$.
Ответ: $-1,174 > -1\frac{7}{40}$.

е) Чтобы сравнить дроби $\frac{10}{11}$ и $\frac{11}{12}$, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $11 \times 12 = 132$.
$\frac{10}{11} = \frac{10 \times 12}{11 \times 12} = \frac{120}{132}$
$\frac{11}{12} = \frac{11 \times 11}{12 \times 11} = \frac{121}{132}$
Сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями: так как $120 < 121$, то $\frac{120}{132} < \frac{121}{132}$. Следовательно, $\frac{10}{11} < \frac{11}{12}$.
Ответ: $\frac{10}{11} < \frac{11}{12}$.

ж) Сравним отрицательные числа -2,005 и -2,04. Сначала сравним их модули: $2,005$ и $2,04$. Для удобства уравняем количество знаков после запятой: $2,04 = 2,040$. Сравниваем $2,005$ и $2,040$. В разряде сотых $0 < 4$, значит $2,005 < 2,040$. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Поэтому $-2,005 > -2,04$.
Ответ: $-2,005 > -2,04$.

з) Сравним $-1\frac{3}{4}$ и $-1,75$. Переведем смешанную дробь в десятичную. Дробная часть $\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75$. Таким образом, $-1\frac{3}{4} = -1,75$. Сравниваем -1,75 и -1,75. Числа равны.
Ответ: $-1\frac{3}{4} = -1,75$.

и) Сравним $0,437$ и $\frac{7}{16}$. Переведем дробь $\frac{7}{16}$ в десятичную: $7 \div 16 = 0,4375$. Теперь сравним десятичные дроби $0,437$ и $0,4375$. Уравняем число знаков после запятой: $0,437 = 0,4370$. Сравнивая $0,4370$ и $0,4375$, видим, что в разряде десятитысячных $0 < 5$. Значит $0,4370 < 0,4375$.
Ответ: $0,437 < \frac{7}{16}$.

к) Сравним $-\frac{1}{8}$ и $-0,13$. Переведем дробь $-\frac{1}{8}$ в десятичную: $-(1 \div 8) = -0,125$. Теперь сравним отрицательные числа $-0,125$ и $-0,13$. Сравним их модули: $0,125$ и $0,13$. Уравняем число знаков: $0,13 = 0,130$. Сравнивая $0,125$ и $0,130$, видим, что в разряде сотых $2 < 3$, значит $0,125 < 0,130$. Так как для отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше, то $-0,125 > -0,13$.
Ответ: $-\frac{1}{8} > -0,13$.

л) Сравним конечную десятичную дробь 1,37 и бесконечную периодическую дробь $1,(37)$. Распишем их: $1,37 = 1,37000...$, а $1,(37) = 1,373737...$. Сравниваем разряды слева направо. Первые три разряда (целая часть, десятые, сотые) совпадают. В разряде тысячных у числа 1,37 стоит 0, а у числа $1,(37)$ стоит 3. Так как $0 < 3$, то $1,37 < 1,(37)$.
Ответ: $1,37 < 1,(37)$.

м) Сравним отрицательные числа $-5,(34)$ и $-5,34$. Сначала сравним их модули: $5,(34)$ и $5,34$. Распишем их: $5,(34) = 5,343434...$, а $5,34 = 5,34000...$. Сравнивая их поразрядно, видим, что первые три разряда совпадают. В разряде тысячных у числа $5,(34)$ стоит 3, а у числа $5,34$ стоит 0. Так как $3 > 0$, то $5,(34) > 5,34$. Для отрицательных чисел, чем больше модуль, тем меньше число. Следовательно, $-5,(34) < -5,34$.
Ответ: $-5,(34) < -5,34$.

7. Укажите какое-либо число, которое:

а) больше 18, но меньше 17;

б) больше 16, но меньше 15.

а) Чтобы найти число, которое находится между дробями $\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{7}$, нужно привести эти дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 8 и 7 равен их произведению: $8 \times 7 = 56$.
Приводим дроби к этому знаменателю:
$\frac{1}{8} = \frac{1 \times 7}{8 \times 7} = \frac{7}{56}$
$\frac{1}{7} = \frac{1 \times 8}{7 \times 8} = \frac{8}{56}$
Таким образом, нам нужно найти число $x$, которое удовлетворяет неравенству $\frac{7}{56} < x < \frac{8}{56}$.
Поскольку между числителями 7 и 8 нет целых чисел, мы не можем сразу указать дробь со знаменателем 56. Чтобы найти такую дробь, можно увеличить общий знаменатель, умножив числители и знаменатели обеих дробей на одно и то же число, например, на 2.
$\frac{7 \times 2}{56 \times 2} = \frac{14}{112}$
$\frac{8 \times 2}{56 \times 2} = \frac{16}{112}$
Теперь неравенство выглядит так: $\frac{14}{112} < x < \frac{16}{112}$.
Между числами 14 и 16 находится число 15. Следовательно, в качестве искомого числа можно взять дробь $\frac{15}{112}$. Это один из бесконечного множества возможных ответов.
Ответ: $\frac{15}{112}$

б) Чтобы найти число, которое больше $\frac{1}{6}$, но меньше $\frac{1}{5}$, поступим аналогичным образом. Сначала приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 5 равен $6 \times 5 = 30$.
Приводим дроби к знаменателю 30:
$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 5}{6 \times 5} = \frac{5}{30}$
$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 6}{5 \times 6} = \frac{6}{30}$
Мы ищем число $x$, такое что $\frac{5}{30} < x < \frac{6}{30}$.
Между числителями 5 и 6 нет целого числа. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 2, чтобы найти промежуточную дробь.
$\frac{5 \times 2}{30 \times 2} = \frac{10}{60}$
$\frac{6 \times 2}{30 \times 2} = \frac{12}{60}$
Теперь неравенство имеет вид: $\frac{10}{60} < x < \frac{12}{60}$.
Между числителями 10 и 12 находится целое число 11. Значит, мы можем выбрать число $\frac{11}{60}$.
Ответ: $\frac{11}{60}$

8. Укажите несколько чисел, заключённых между:

а) Чтобы найти числа, заключенные между 10 и 10,1, можно представить эти числа с большим количеством знаков после запятой. Например, 10 можно записать как 10,00, а 10,1 как 10,10. Теперь очевидно, что между этими числами находятся любые числа от 10,01 до 10,09. Например, 10,01; 10,05; 10,08. Можно взять и еще больше знаков, например, 10,001 или 10,099. Все эти числа удовлетворяют неравенству $10 < x < 10,1$.
Ответ: 10,01; 10,05; 10,08.

б) Нам нужно найти числа, которые больше -0,001 и меньше 0. Это будут отрицательные числа, модуль которых меньше, чем модуль -0,001. То есть, искомые числа $x$ должны удовлетворять условию $-0,001 < x < 0$. Примерами таких чисел могут служить: -0,0001; -0,0005; -0,0009. Можно также представить -0,001 как -0,0010, и тогда легко увидеть, что числа вида -0,000... находятся в нужном интервале. Например, -0,0001, так как $|-0,0001| < |-0,001|$, что означает $-0,0001 > -0,001$.
Ответ: -0,0001; -0,0005; -0,0009.

в) Ищем числа, заключенные между -1001 и -1000. Это означает, что мы ищем числа $x$, для которых выполняется неравенство $-1001 < x < -1000$. На числовой прямой эти числа находятся правее -1001 и левее -1000. Это могут быть любые дробные числа в этом интервале. Например: -1000,5; -1000,1; -1000,99.
Ответ: -1000,1; -1000,5; -1000,9.

г) Чтобы найти числа между дробями $ \frac{1}{3} $ и $ \frac{2}{3} $, можно привести их к общему знаменателю, который больше исходного. Например, умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 2. Получим $ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6} $ и $ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} $. Теперь нужно найти число между $ \frac{2}{6} $ и $ \frac{4}{6} $. Таким числом является $ \frac{3}{6} $, что равно $ \frac{1}{2} $.
Чтобы найти больше чисел, приведем дроби к еще большему знаменателю, например 9. Получим $ \frac{1}{3} = \frac{3}{9} $ и $ \frac{2}{3} = \frac{6}{9} $. Между ними находятся числа $ \frac{4}{9} $ и $ \frac{5}{9} $.
Еще один способ — представить дроби в виде десятичных: $ \frac{1}{3} \approx 0,333... $ и $ \frac{2}{3} \approx 0,666... $. Между ними находятся, например, 0,4, 0,5, 0,6.
Ответ: $ \frac{1}{2} $; $ \frac{4}{9} $; $ \frac{5}{9} $.

9. Запишите пять чисел, заключённых между числами:

а) 1,3 и 1,4

Чтобы найти пять чисел между 1,3 и 1,4, можно представить эти числа с большим количеством знаков после запятой, не изменяя их значения. Например, 1,3 можно записать как 1,300, а 1,4 — как 1,400. Теперь легко выбрать пять чисел, которые находятся в этом интервале, например: 1,310, 1,320, 1,330, 1,340, 1,350. Или, что то же самое, 1,31, 1,32, 1,33, 1,34, 1,35. Все эти числа больше 1,3 и меньше 1,4.

Ответ: 1,31; 1,32; 1,33; 1,34; 1,35.

б) 5 и 5 1/6

Чтобы найти пять чисел между 5 и $5\frac{1}{6}$, нужно найти дроби, которые больше 5, но меньше $5\frac{1}{6}$. Для этого нужно работать с дробной частью. Нам нужно найти 5 чисел, поэтому удобно будет разделить интервал от 0 до $\frac{1}{6}$ на 6 ($5+1=6$) равных частей. Для этого приведем дробь $\frac{1}{6}$ к знаменателю, кратному 6, например, 36. Умножим числитель и знаменатель на 6: $\frac{1}{6} = \frac{1 \times 6}{6 \times 6} = \frac{6}{36}$. Теперь мы ищем пять чисел между 5 и $5\frac{6}{36}$. Такими числами могут быть: $5\frac{1}{36}$, $5\frac{2}{36}$, $5\frac{3}{36}$, $5\frac{4}{36}$, $5\frac{5}{36}$.

Ответ: $5\frac{1}{36}$; $5\frac{2}{36}$; $5\frac{3}{36}$; $5\frac{4}{36}$; $5\frac{5}{36}$.

в) –10 000 и –1000

Нужно найти пять чисел, которые больше –10 000 и меньше –1000. В этом промежутке находится очень много целых чисел. Мы можем выбрать любые пять из них. Например, можно взять числа, которые легко записать и которые очевидно находятся в заданном интервале: –9000, –8000, –7000, –6000, –5000. Каждое из этих чисел удовлетворяет условию $-10000 < \text{число} < -1000$.

Ответ: –9000; –8000; –7000; –6000; –5000.

г) –1/3 и –1/4

Чтобы найти пять чисел между дробями $-\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{4}$, сначала определим, какая из них больше. Для отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. $|-\frac{1}{3}| \approx 0,333$, а $|-\frac{1}{4}| = 0,25$. Так как $0,25 < 0,333$, то $-\frac{1}{4} > -\frac{1}{3}$. Нам нужно найти числа в интервале от $-\frac{1}{3}$ до $-\frac{1}{4}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 — это 12. Получаем дроби $-\frac{4}{12}$ (из $-\frac{1}{3}$) и $-\frac{3}{12}$ (из $-\frac{1}{4}$). Между числителями –4 и –3 нет целых чисел, поэтому нам нужно увеличить знаменатель. Поскольку мы ищем 5 чисел, нам нужно как минимум $5+1=6$ промежутков. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 6.
$-\frac{4}{12} = -\frac{4 \times 6}{12 \times 6} = -\frac{24}{72}$
$-\frac{3}{12} = -\frac{3 \times 6}{12 \times 6} = -\frac{18}{72}$
Теперь мы ищем пять чисел между $-\frac{24}{72}$ и $-\frac{18}{72}$. Такими числами будут: $-\frac{23}{72}$, $-\frac{22}{72}$, $-\frac{21}{72}$, $-\frac{20}{72}$, $-\frac{19}{72}$.

Ответ: $-\frac{23}{72}$; $-\frac{22}{72}$; $-\frac{21}{72}$; $-\frac{20}{72}$; $-\frac{19}{72}$.