Номер 6, страница 10 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные числа. § 1. Числа и выражения. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 6, страница 10.

6. Сравните рациональные числа:

а) 0,013 и 0,1004;
б) −24 и 0,003;
в) −3,24 и −3,42;
г) 38 и 0,375;
д) −1,174 и −1740;
е) 1011 и 1112;

ж) −2,005 и −2,04;
з) −134 и −1,75;
и) 0,437 и 716;
к) −18 и −0,13;
л) 1,37 и 1,(37);
м) −5,(34) и −5,34.

а) Для сравнения десятичных дробей 0,013 и 0,1004 будем сравнивать их разряды поочередно, слева направо. Целые части обоих чисел равны 0. Сравним дробные части. В разряде десятых у числа 0,013 стоит 0, а у числа 0,1004 стоит 1. Так как $0 < 1$, то и $0,013 < 0,1004$.
Ответ: $0,013 < 0,1004$.

б) Сравниваем отрицательное число -24 и положительное число 0,003. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Следовательно, $-24 < 0,003$.
Ответ: $-24 < 0,003$.

в) Для сравнения двух отрицательных чисел -3,24 и -3,42, сначала сравним их модули (абсолютные величины): $|-3,24| = 3,24$ и $|-3,42| = 3,42$. Сравнивая 3,24 и 3,42, видим, что целые части равны, а в разряде десятых $2 < 4$, значит $3,24 < 3,42$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $3,24 < 3,42$, то $-3,24 > -3,42$.
Ответ: $-3,24 > -3,42$.

г) Чтобы сравнить обыкновенную дробь $\frac{3}{8}$ и десятичную дробь 0,375, представим обыкновенную дробь в виде десятичной. Для этого разделим числитель на знаменатель: $3 \div 8 = 0,375$. Таким образом, мы сравниваем 0,375 и 0,375. Эти числа равны.
Ответ: $\frac{3}{8} = 0,375$.

д) Сравним числа -1,174 и $-1\frac{7}{40}$. Сначала преобразуем смешанную дробь в десятичную. Дробная часть $\frac{7}{40} = 7 \div 40 = 0,175$. Значит, $-1\frac{7}{40} = -1,175$. Теперь сравним два отрицательных числа: -1,174 и -1,175. Сравним их модули: $1,174$ и $1,175$. Так как в разряде тысячных $4 < 5$, то $1,174 < 1,175$. Для отрицательных чисел, чем меньше модуль, тем больше число. Следовательно, $-1,174 > -1,175$.
Ответ: $-1,174 > -1\frac{7}{40}$.

е) Чтобы сравнить дроби $\frac{10}{11}$ и $\frac{11}{12}$, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $11 \times 12 = 132$.
$\frac{10}{11} = \frac{10 \times 12}{11 \times 12} = \frac{120}{132}$
$\frac{11}{12} = \frac{11 \times 11}{12 \times 11} = \frac{121}{132}$
Сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями: так как $120 < 121$, то $\frac{120}{132} < \frac{121}{132}$. Следовательно, $\frac{10}{11} < \frac{11}{12}$.
Ответ: $\frac{10}{11} < \frac{11}{12}$.

ж) Сравним отрицательные числа -2,005 и -2,04. Сначала сравним их модули: $2,005$ и $2,04$. Для удобства уравняем количество знаков после запятой: $2,04 = 2,040$. Сравниваем $2,005$ и $2,040$. В разряде сотых $0 < 4$, значит $2,005 < 2,040$. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Поэтому $-2,005 > -2,04$.
Ответ: $-2,005 > -2,04$.

з) Сравним $-1\frac{3}{4}$ и $-1,75$. Переведем смешанную дробь в десятичную. Дробная часть $\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75$. Таким образом, $-1\frac{3}{4} = -1,75$. Сравниваем -1,75 и -1,75. Числа равны.
Ответ: $-1\frac{3}{4} = -1,75$.

и) Сравним $0,437$ и $\frac{7}{16}$. Переведем дробь $\frac{7}{16}$ в десятичную: $7 \div 16 = 0,4375$. Теперь сравним десятичные дроби $0,437$ и $0,4375$. Уравняем число знаков после запятой: $0,437 = 0,4370$. Сравнивая $0,4370$ и $0,4375$, видим, что в разряде десятитысячных $0 < 5$. Значит $0,4370 < 0,4375$.
Ответ: $0,437 < \frac{7}{16}$.

к) Сравним $-\frac{1}{8}$ и $-0,13$. Переведем дробь $-\frac{1}{8}$ в десятичную: $-(1 \div 8) = -0,125$. Теперь сравним отрицательные числа $-0,125$ и $-0,13$. Сравним их модули: $0,125$ и $0,13$. Уравняем число знаков: $0,13 = 0,130$. Сравнивая $0,125$ и $0,130$, видим, что в разряде сотых $2 < 3$, значит $0,125 < 0,130$. Так как для отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше, то $-0,125 > -0,13$.
Ответ: $-\frac{1}{8} > -0,13$.

л) Сравним конечную десятичную дробь 1,37 и бесконечную периодическую дробь $1,(37)$. Распишем их: $1,37 = 1,37000...$, а $1,(37) = 1,373737...$. Сравниваем разряды слева направо. Первые три разряда (целая часть, десятые, сотые) совпадают. В разряде тысячных у числа 1,37 стоит 0, а у числа $1,(37)$ стоит 3. Так как $0 < 3$, то $1,37 < 1,(37)$.
Ответ: $1,37 < 1,(37)$.

м) Сравним отрицательные числа $-5,(34)$ и $-5,34$. Сначала сравним их модули: $5,(34)$ и $5,34$. Распишем их: $5,(34) = 5,343434...$, а $5,34 = 5,34000...$. Сравнивая их поразрядно, видим, что первые три разряда совпадают. В разряде тысячных у числа $5,(34)$ стоит 3, а у числа $5,34$ стоит 0. Так как $3 > 0$, то $5,(34) > 5,34$. Для отрицательных чисел, чем больше модуль, тем меньше число. Следовательно, $-5,(34) < -5,34$.
Ответ: $-5,(34) < -5,34$.