Страница 11 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Найдите:

а) |x|, если x = 10; 0,3; 0; –2,7; –9; б) x, если |x| = 6; 3,2; 0.

а) |x|, если x = 10; 0,3; 0; -2,7; -9;

Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Модуль всегда является неотрицательным числом.

Правило нахождения модуля:

• Модуль положительного числа равен самому числу: $|a| = a$, если $a > 0$.
• Модуль нуля равен нулю: $|0| = 0$.
• Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу: $|-a| = a$, если $a > 0$.

Применим это правило к заданным значениям $x$:

• Если $x = 10$, то $|10| = 10$.
• Если $x = 0,3$, то $|0,3| = 0,3$.
• Если $x = 0$, то $|0| = 0$.
• Если $x = -2,7$, то $|-2,7| = 2,7$.
• Если $x = -9$, то $|-9| = 9$.

Ответ: 10; 0,3; 0; 2,7; 9.

б) x, если |x| = 6; 3,2; 0.

В этом задании нужно найти число (или числа) $x$, зная его модуль.

• Если модуль числа равен некоторому положительному числу $a$, то само число может быть как положительным ($a$), так и отрицательным ($-a$), так как $|a| = a$ и $|-a| = a$.
• Если модуль числа равен нулю, то и само число равно нулю.

Найдем $x$ для каждого случая:

• Если $|x| = 6$, то $x$ может быть равен $6$ или $-6$. Записывается это как $x = \pm 6$.
• Если $|x| = 3,2$, то $x$ может быть равен $3,2$ или $-3,2$. Записывается это как $x = \pm 3,2$.
• Если $|x| = 0$, то существует только одно такое число: $x = 0$.

Ответ: если $|x|=6$, то $x = \pm 6$; если $|x|=3,2$, то $x = \pm 3,2$; если $|x|=0$, то $x=0$.

11. Запишите без знака модуля:

В основе решения всех подпунктов лежит определение модуля (абсолютной величины) числа. Модуль числа $x$, обозначаемый как $|x|$, определяется следующим образом:
$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Это означает, что если выражение под знаком модуля неотрицательно, то модуль равен самому этому выражению. Если же выражение под знаком модуля отрицательно, то модуль равен противоположному выражению (то есть выражению, взятому со знаком минус).

а) Дано выражение $|a|$ при условии, что $a > 0$.
Поскольку по условию $a$ — положительное число, то есть $a > 0$, выражение под знаком модуля положительно. Согласно определению модуля, в этом случае знак модуля можно просто убрать.
$|a| = a$.
Ответ: $a$.

б) Дано выражение $|c|$ при условии, что $c < 0$.
По условию $c$ — отрицательное число, то есть $c < 0$. Выражение под знаком модуля отрицательно. Согласно определению, модуль отрицательного выражения равен противоположному ему выражению.
$|c| = -c$.
Например, если $c = -5$, то $|-5| = -(-5) = 5$.
Ответ: $-c$.

в) Дано выражение $|2b|$ при условии, что $b < 0$.
Сначала определим знак выражения, стоящего под знаком модуля, то есть $2b$. Так как $b < 0$ (отрицательное число), а 2 — положительное число, то их произведение $2b$ будет отрицательным числом ($2b < 0$).
Поскольку выражение $2b$ отрицательно, для раскрытия модуля нужно взять противоположное ему выражение.
$|2b| = -(2b) = -2b$.
Ответ: $-2b$.

г) Дано выражение $|x - 5|$ при условии, что $x > 5$.
Определим знак выражения $x - 5$. Из условия $x > 5$ следует, что разность $x - 5$ будет положительной. Например, если $x=6$, то $6-5=1 > 0$. Формально, перенеся 5 в левую часть неравенства, получаем $x - 5 > 0$.
Так как выражение под знаком модуля положительно, то модуль равен самому выражению.
$|x - 5| = x - 5$.
Ответ: $x - 5$.

д) Дано выражение $|y - 3|$ при условии, что $y < 3$.
Определим знак выражения $y - 3$. Из условия $y < 3$ следует, что разность $y - 3$ будет отрицательной. Например, если $y=2$, то $2-3=-1 < 0$. Формально, перенеся 3 в левую часть неравенства, получаем $y - 3 < 0$.
Поскольку выражение под знаком модуля отрицательно, для раскрытия модуля необходимо взять противоположное ему выражение.
$|y - 3| = -(y - 3) = -y + 3 = 3 - y$.
Ответ: $3 - y$.

12. Среди чисел 1458; 1805; 2342; 3620; 89217; 364425 найдите и выпишите те, которые: а) делятся на 2; б) кратны 9; в) делятся на 5, но не кратны 3.

Проанализируем каждое число из данного списка: 1458; 1805; 2342; 3620; 89217; 364425.

а) делятся на 2

Число делится на 2, если его последняя цифра является четной (0, 2, 4, 6, 8). Проверим каждое число:

• 1458: последняя цифра 8 (четная), следовательно, число делится на 2.
• 1805: последняя цифра 5 (нечетная), следовательно, число не делится на 2.
• 2342: последняя цифра 2 (четная), следовательно, число делится на 2.
• 3620: последняя цифра 0 (четная), следовательно, число делится на 2.
• 89217: последняя цифра 7 (нечетная), следовательно, число не делится на 2.
• 364425: последняя цифра 5 (нечетная), следовательно, число не делится на 2.

Таким образом, на 2 делятся числа 1458, 2342, 3620.

Ответ: 1458; 2342; 3620.

б) кратны 9

Число кратно 9 (то есть делится на 9 без остатка), если сумма его цифр делится на 9. Проверим сумму цифр для каждого числа:

• 1458: сумма цифр $1 + 4 + 5 + 8 = 18$. Так как 18 делится на 9 ($18 : 9 = 2$), число 1458 кратно 9.
• 1805: сумма цифр $1 + 8 + 0 + 5 = 14$. 14 не делится на 9, значит, число 1805 не кратно 9.
• 2342: сумма цифр $2 + 3 + 4 + 2 = 11$. 11 не делится на 9, значит, число 2342 не кратно 9.
• 3620: сумма цифр $3 + 6 + 2 + 0 = 11$. 11 не делится на 9, значит, число 3620 не кратно 9.
• 89217: сумма цифр $8 + 9 + 2 + 1 + 7 = 27$. Так как 27 делится на 9 ($27 : 9 = 3$), число 89217 кратно 9.
• 364425: сумма цифр $3 + 6 + 4 + 4 + 2 + 5 = 24$. 24 не делится на 9, значит, число 364425 не кратно 9.

Таким образом, 9 кратны числа 1458 и 89217.

Ответ: 1458; 89217.

в) делятся на 5, но не кратны 3

Для этого нужно проверить два условия: делимость на 5 и отсутствие делимости на 3.

1. Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5. Выберем из списка такие числа:

• 1805 (оканчивается на 5)
• 3620 (оканчивается на 0)
• 364425 (оканчивается на 5)

2. Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3. Нам нужны числа, которые НЕ кратны 3, то есть сумма их цифр НЕ делится на 3. Проверим выбранные числа:

• 1805: сумма цифр $1 + 8 + 0 + 5 = 14$. 14 не делится на 3. Значит, число 1805 удовлетворяет обоим условиям.
• 3620: сумма цифр $3 + 6 + 2 + 0 = 11$. 11 не делится на 3. Значит, число 3620 удовлетворяет обоим условиям.
• 364425: сумма цифр $3 + 6 + 4 + 4 + 2 + 5 = 24$. 24 делится на 3 ($24 : 3 = 8$), значит, это число кратно 3 и не удовлетворяет условию.

Таким образом, искомые числа - это 1805 и 3620.

Ответ: 1805; 3620.

13. Разложите на простые множители:

а) Чтобы разложить число 66 на простые множители, будем последовательно делить его на наименьшие простые числа. Сначала делим на 2, так как 66 — четное число: $66 \div 2 = 33$. Затем делим 33 на следующий подходящий простой множитель — 3: $33 \div 3 = 11$. Число 11 само является простым, поэтому деление окончено. В результате получаем произведение простых множителей.
Ответ: $66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$

б) Для разложения числа 1200 на простые множители будем последовательно делить его на наименьший простой делитель — 2:
$1200 \div 2 = 600$
$600 \div 2 = 300$
$300 \div 2 = 150$
$150 \div 2 = 75$
Далее 75 на 2 не делится. Следующий простой делитель — 3: $75 \div 3 = 25$.
Теперь делим 25 на 5: $25 \div 5 = 5$.
Число 5 — простое.
Собираем все множители и записываем их в виде степеней.
Ответ: $1200 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2$

в) Разложим число 5460 на простые множители. Так как число заканчивается на 0, оно делится на 10, то есть на 2 и 5: $5460 = 546 \cdot 10 = 546 \cdot 2 \cdot 5$.
Далее разложим 546. Это четное число, делим на 2: $546 \div 2 = 273$.
Теперь разложим 273. Сумма его цифр $2+7+3=12$, значит, оно делится на 3: $273 \div 3 = 91$.
Далее разложим 91. Оно делится на 7: $91 \div 7 = 13$.
Число 13 — простое.
Собираем все найденные простые множители вместе в порядке возрастания.
Ответ: $5460 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$

г) Разложим число 1001 на простые множители. Проверяем делимость на простые числа по порядку.
Оно не делится на 2 (нечетное), на 3 (сумма цифр 2), на 5 (не заканчивается на 0 или 5).
Проверим делимость на 7: $1001 \div 7 = 143$.
Теперь разложим 143. Проверим делимость на следующие простые числа. На 7 оно не делится. Проверим на 11: $143 \div 11 = 13$.
Число 13 является простым.
Таким образом, мы нашли все простые множители.
Ответ: $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$