Страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

55. Прочитайте, пользуясь терминами «сумма», «разность», «произведение» и «частное», выражение:

а) Выражение $mx$ представляет собой операцию умножения переменной $m$ на переменную $x$. Такая операция называется произведением.

Ответ: произведение $m$ и $x$.

б) Выражение $10 + ab$ является суммой двух слагаемых. Первое слагаемое — это число 10. Второе слагаемое, $ab$, является произведением переменных $a$ и $b$.

Ответ: сумма числа 10 и произведения $a$ и $b$.

в) Выражение $(a + 5)x$ является произведением двух множителей. Первый множитель, $(a + 5)$, — это сумма переменной $a$ и числа 5. Второй множитель — это переменная $x$.

Ответ: произведение суммы $a$ и 5 на $x$.

г) Выражение $m - 8a$ является разностью. Уменьшаемое — это переменная $m$. Вычитаемое, $8a$, является произведением числа 8 и переменной $a$.

Ответ: разность $m$ и произведения 8 и $a$.

д) Выражение $2x + 1$ является суммой. Первое слагаемое, $2x$, — это произведение числа 2 и переменной $x$. Второе слагаемое — это число 1.

Ответ: сумма произведения 2 и $x$ и числа 1.

е) Выражение $\frac{a}{b} + c$ является суммой. Первое слагаемое, $\frac{a}{b}$, — это частное от деления переменной $a$ на переменную $b$. Второе слагаемое — это переменная $c$.

Ответ: сумма частного $a$ и $b$ и переменной $c$.

ж) Выражение $ab + bc$ является суммой двух слагаемых. Первое слагаемое, $ab$, — это произведение переменных $a$ и $b$. Второе слагаемое, $bc$, — это произведение переменных $b$ и $c$.

Ответ: сумма произведения $a$ и $b$ и произведения $b$ и $c$.

з) Выражение $(a - b)(a + b)$ является произведением. Первый множитель, $(a - b)$, — это разность переменных $a$ и $b$. Второй множитель, $(a + b)$, — это сумма переменных $a$ и $b$.

Ответ: произведение разности $a$ и $b$ на сумму $a$ и $b$.

56. Запишите в виде выражения:
а) сумму чисел b и c;
б) разность чисел a и m;
в) квадрат числа x;
г) куб числа y;
д) сумму числа x и произведения чисел a и b;
е) разность числа m и частного чисел x и y;
ж) произведение суммы чисел a и b и числа c;
з) произведение числа a и суммы чисел x и y.

а) Сумма чисел b и c представляет собой операцию сложения этих двух чисел. В виде выражения это записывается как $b + c$.
Ответ: $b + c$

б) Разность чисел a и m представляет собой операцию вычитания второго числа (m) из первого (a). В виде выражения это записывается как $a - m$.
Ответ: $a - m$

в) Квадрат числа x — это число x, умноженное само на себя, то есть возведенное во вторую степень. В виде выражения это записывается как $x^2$.
Ответ: $x^2$

г) Куб числа y — это число y, умноженное само на себя дважды, то есть возведенное в третью степень. В виде выражения это записывается как $y^3$.
Ответ: $y^3$

д) Данное выражение состоит из двух частей: числа x и произведения чисел a и b. Произведение чисел a и b записывается как $ab$. Сумма числа x и этого произведения будет $x + ab$.
Ответ: $x + ab$

е) Данное выражение является разностью. Уменьшаемое — число m, вычитаемое — частное чисел x и y. Частное чисел x и y записывается как $\frac{x}{y}$. Следовательно, искомое выражение имеет вид $m - \frac{x}{y}$.
Ответ: $m - \frac{x}{y}$

ж) В этом выражении необходимо найти произведение двух множителей. Первый множитель — это сумма чисел a и b, которую следует записать в скобках как $(a + b)$. Второй множитель — число c. Их произведение записывается как $(a + b)c$.
Ответ: $(a + b)c$

з) Это выражение также является произведением. Первый множитель — число a. Второй множитель — сумма чисел x и y, которую нужно записать в скобках как $(x + y)$. Их произведение записывается как $a(x + y)$.
Ответ: $a(x + y)$

57. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

а) Выражение $5y + 2$ является многочленом. Оно определено для любых значений переменной $y$, поскольку не содержит операций, имеющих ограничения (например, деление на выражение с переменной). Ответ: при любых значениях $y$.

б) Выражение $\frac{18}{y}$ представляет собой дробь. Дробное выражение имеет смысл только тогда, когда его знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель равен $y$, поэтому должно выполняться условие $y \neq 0$. Ответ: при $y \neq 0$.

в) Выражение $\frac{1}{x - 7}$ является дробным. Оно имеет смысл при тех значениях переменной $x$, при которых его знаменатель $x - 7$ не обращается в ноль. Решим неравенство:$x - 7 \neq 0$$x \neq 7$Ответ: при $x \neq 7$.

г) В выражении $\frac{m - 1}{4}$ знаменатель является постоянным числом $4$, которое не равно нулю. Числитель $m - 1$ определён при любом значении $m$. Следовательно, выражение имеет смысл при любых значениях переменной $m$. Ответ: при любых значениях $m$.

д) Выражение $\frac{7a}{3 + a}$ является дробным. Чтобы оно имело смысл, его знаменатель $3 + a$ не должен быть равен нулю.$3 + a \neq 0$$a \neq -3$Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, кроме $-3$. Ответ: при $a \neq -3$.

е) В выражении $\frac{2b}{10 - b}$ знаменатель $10 - b$ не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.$10 - b \neq 0$$10 \neq b$Значит, выражение имеет смысл при всех значениях $b$, кроме $10$. Ответ: при $b \neq 10$.

58. Какое из выражений 14a², 14a² + 1 или 14a² – 1 имеет смысл при любом значении a?

Алгебраическое выражение, представляющее собой дробь, имеет смысл только в том случае, если его знаменатель не равен нулю. Проанализируем каждое из предложенных выражений, чтобы определить, у какого из них знаменатель никогда не обращается в ноль.

$\frac{14}{a^2}$

Знаменатель этого выражения равен $a^2$. Он обращается в ноль, если $a^2 = 0$, то есть при $a=0$. Следовательно, это выражение не имеет смысла при $a=0$.

$\frac{14}{a^2+1}$

Знаменатель этого выражения равен $a^2+1$. Рассмотрим уравнение $a^2+1 = 0$, или $a^2 = -1$. Квадрат любого действительного числа $a$ является неотрицательной величиной, то есть $a^2 \ge 0$. Поэтому уравнение $a^2 = -1$ не имеет решений в действительных числах. Это означает, что знаменатель $a^2+1$ никогда не равен нулю. Более того, поскольку $a^2 \ge 0$, то $a^2+1 \ge 1$, то есть знаменатель всегда положителен. Таким образом, это выражение имеет смысл при любом значении $a$.

$\frac{14}{a^2-1}$

Знаменатель этого выражения равен $a^2-1$. Он обращается в ноль, если $a^2-1 = 0$, то есть $a^2 = 1$. Это уравнение имеет два корня: $a=1$ и $a=-1$. Следовательно, это выражение не имеет смысла при $a=1$ и $a=-1$.

Из трех предложенных выражений только одно имеет смысл при любом значении $a$.

Ответ: $\frac{14}{a^2+1}$

59. Составьте формулу числа:
а) кратного 5;
б) кратного 10;
в) кратного 101.

а) кратного 5

Число называется кратным 5, если оно делится на 5 нацело, то есть без остатка. По определению, любое такое число, которое мы обозначим как $a$, можно представить в виде произведения числа 5 и некоторого целого числа $k$.

Таким образом, общая формула для числа, кратного 5, выглядит следующим образом: $a = 5k$.

В этой формуле $k$ — это любое целое число ($k \in Z$, где $Z$ — множество всех целых чисел: $...-2, -1, 0, 1, 2...$). Например, если $k=2$, то $a=10$; если $k=-3$, то $a=-15$. Если задача подразумевает только натуральные числа, то $k$ следует выбирать из множества натуральных чисел ($k \in N$).

Ответ: $a = 5k$, где $k$ — целое число.

б) кратного 10

Аналогично предыдущему случаю, число, кратное 10, — это число, которое можно представить как произведение числа 10 на некоторое целое число $k$.

Формула для такого числа: $a = 10k$.

Здесь $k$ также может быть любым целым числом ($k \in Z$). Например, при $k=7$ получаем $a=70$, а при $k=-1$ получаем $a=-10$.

Ответ: $a = 10k$, где $k$ — целое число.

в) кратного 101

Следуя той же логике, любое число, кратное 101, можно записать как результат умножения числа 101 на некоторое целое число $k$.

Формула для числа, кратного 101, имеет вид: $a = 101k$.

В данной формуле $k$ — любое целое число ($k \in Z$). Например, при $k=3$ получаем $a=303$, а при $k=0$ получаем $a=0$.

Ответ: $a = 101k$, где $k$ — целое число.

60. Напишите формулу числа, кратного 7. Найдите по этой формуле два трёхзначных числа, кратных 7.

Напишите формулу числа, кратного 7.
Число является кратным 7, если оно делится на 7 без остатка. Это означает, что такое число можно представить в виде произведения числа 7 и некоторого целого числа. Обозначим искомое число буквой $a$, а целое число — буквой $k$. Тогда формула числа, кратного 7, имеет вид:
$a = 7k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: Формула числа, кратного 7: $a = 7k$, где $k$ — целое число.

Найдите по этой формуле два трёхзначных числа, кратных 7.
Трёхзначными являются числа от 100 до 999. Чтобы найти трёхзначные числа, кратные 7, нужно найти такие целые значения $k$ в формуле $a = 7k$, при которых $a$ будет находиться в этом диапазоне.
Запишем это в виде двойного неравенства:
$100 \le 7k \le 999$
Чтобы найти диапазон для $k$, разделим все части неравенства на 7:
$\frac{100}{7} \le k \le \frac{999}{7}$
Выполним деление:
$14\frac{2}{7} \le k \le 142\frac{5}{7}$
Поскольку $k$ должно быть целым числом, оно может принимать любое значение от 15 до 142 включительно. Выберем любые два значения $k$ из этого промежутка и вычислим $a$.
1. Возьмём наименьшее возможное значение $k = 15$.
$a = 7 \cdot 15 = 105$.
Число 105 является трёхзначным и кратно 7.
2. Возьмём другое значение, например, $k = 50$.
$a = 7 \cdot 50 = 350$.
Число 350 также является трёхзначным и кратно 7.
Ответ: Например, 105 и 350.

61. (Для работы в парах.) Докажите, что всякое простое число, начиная с 5, либо увеличенное, либо уменьшенное на 1, делится на 6.

1) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому — из седьмого десятка.

2) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства.

3) Проведите доказательство.

1) Проверим утверждение на примерах.

Простые числа из третьего десятка (от 21 до 30): это числа 23 и 29.

• Для числа 23: $p-1 = 23-1=22$. 22 не делится на 6. $p+1 = 23+1=24$. 24 делится на 6 ($24 \div 6 = 4$). Утверждение верно.
• Для числа 29: $p-1 = 29-1=28$. 28 не делится на 6. $p+1 = 29+1=30$. 30 делится на 6 ($30 \div 6 = 5$). Утверждение верно.

Простые числа из седьмого десятка (от 61 до 70): это числа 61 и 67.

• Для числа 61: $p-1 = 61-1=60$. 60 делится на 6 ($60 \div 6 = 10$). $p+1 = 61+1=62$. 62 не делится на 6. Утверждение верно.
• Для числа 67: $p-1 = 67-1=66$. 66 делится на 6 ($66 \div 6 = 11$). $p+1 = 67+1=68$. 68 не делится на 6. Утверждение верно.

Ответ: На всех приведенных примерах утверждение справедливо.

2) Обсудим, из чего следует справедливость указанного свойства.

Число делится на 6, если оно одновременно делится на 2 и на 3 (так как 2 и 3 — взаимно простые числа и $2 \times 3 = 6$).

Пусть $p$ — простое число, и $p \ge 5$.

1. Делимость на 2: любое простое число $p \ge 5$ является нечётным. Числа 2 и 3 — единственные простые, которые не подходят под это условие. Если $p$ — нечётное, то числа $p-1$ и $p+1$ — это два последовательных чётных числа. Следовательно, оба они делятся на 2.
2. Делимость на 3: рассмотрим три последовательных целых числа: $p-1, p, p+1$. Среди любых трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3. Так как $p$ — простое число и $p \ge 5$, то само число $p$ не может делиться на 3 (единственное простое число, делящееся на 3, — это само число 3). Значит, на 3 должно делиться либо число $p-1$, либо число $p+1$.

Таким образом, для любого простого числа $p \ge 5$ одно из чисел $p-1$ или $p+1$ обязательно делится и на 2, и на 3. А значит, оно делится и на 6.

Ответ: Свойство следует из того, что для любого простого числа $p \ge 5$ одно из чисел $p-1$ или $p+1$ является чётным и кратным трём, что обеспечивает его делимость на 6.

3) Проведем доказательство.

Любое целое число при делении на 6 может давать в остатке 0, 1, 2, 3, 4 или 5. То есть любое целое число $n$ можно представить в одной из следующих форм, где $k$ — целое неотрицательное число:

• $n = 6k$
• $n = 6k+1$
• $n = 6k+2$
• $n = 6k+3$
• $n = 6k+4$
• $n = 6k+5$

Пусть $p$ — простое число, $p \ge 5$. Рассмотрим, какую форму может иметь $p$.

• Если $p = 6k$, то $p$ делится на 6, а значит, не является простым.
• Если $p = 6k+2 = 2(3k+1)$, то $p$ — чётное число, большее 2, и, следовательно, не является простым.
• Если $p = 6k+3 = 3(2k+1)$, то $p$ делится на 3, и так как $p \ge 5$, оно не является простым.
• Если $p = 6k+4 = 2(3k+2)$, то $p$ — чётное число, большее 2, и, следовательно, не является простым.

Таким образом, любое простое число $p \ge 5$ может иметь только две формы: $p = 6k+1$ или $p = 6k+5$.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $p = 6k+1$, то $p-1 = (6k+1)-1=6k$. Число $p-1$ делится на 6.
2. Если $p = 6k+5$, то $p+1 = (6k+5)+1=6k+6 = 6(k+1)$. Число $p+1$ делится на 6.

В обоих возможных случаях мы показали, что либо $p-1$, либо $p+1$ делится на 6. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что любое простое число $p \ge 5$ имеет вид $6k \pm 1$, откуда следует, что либо $p-1$ (в случае $p=6k+1$), либо $p+1$ (в случае $p=6k-1 \text{ или } p=6k+5$) делится на 6.

62. Найдите число, если известно, что:
а) 3% этого числа равны 1,8;
б) 85% этого числа равны 17;
в) 130% этого числа равны 3,9;
г) 6,2% этого числа равны 9,3.

а) По условию, 3% искомого числа равны 1,8. Чтобы найти число целиком (100%), можно сначала найти, чему равен 1% этого числа. Для этого разделим известную часть на соответствующее ей количество процентов: $1,8 \div 3 = 0,6$. Теперь, зная величину 1%, найдем 100%, умножив полученное значение на 100: $0,6 \cdot 100 = 60$.
Другой способ — это составить пропорцию. Пусть искомое число это $x$. Тогда:
$x — 100\%$
$1,8 — 3\%$
Из пропорции получаем уравнение: $\frac{x}{1,8} = \frac{100}{3}$.
Решая его, находим $x$: $x = \frac{1,8 \cdot 100}{3} = \frac{180}{3} = 60$.

Ответ: 60.

б) Известно, что 85% искомого числа равны 17. Сначала найдем, чему равен 1% этого числа. Для этого разделим 17 на 85: $17 \div 85 = \frac{17}{85} = \frac{1}{5} = 0,2$. Затем найдем искомое число (100%), умножив значение 1% на 100: $0,2 \cdot 100 = 20$.
Пропорцией:
$x — 100\%$
$17 — 85\%$
$\frac{x}{17} = \frac{100}{85} \implies x = \frac{17 \cdot 100}{85} = \frac{1700}{85} = \frac{100}{5} = 20$.

Ответ: 20.

в) Дано, что 130% искомого числа равны 3,9. Найдем 1% этого числа, разделив 3,9 на 130: $3,9 \div 130 = \frac{3,9}{130} = \frac{39}{1300} = \frac{3}{100} = 0,03$. Теперь найдем целое число, которое составляет 100%, умножив результат на 100: $0,03 \cdot 100 = 3$.
Пропорцией:
$x — 100\%$
$3,9 — 130\%$
$\frac{x}{3,9} = \frac{100}{130} \implies x = \frac{3,9 \cdot 100}{130} = \frac{390}{130} = 3$.

Ответ: 3.

г) По условию, 6,2% искомого числа равны 9,3. Вычислим 1% этого числа: $9,3 \div 6,2 = \frac{9,3}{6,2} = \frac{93}{62} = \frac{3 \cdot 31}{2 \cdot 31} = \frac{3}{2} = 1,5$. Чтобы найти искомое число (100%), умножим полученное значение на 100: $1,5 \cdot 100 = 150$.
Пропорцией:
$x — 100\%$
$9,3 — 6,2\%$
$\frac{x}{9,3} = \frac{100}{6,2} \implies x = \frac{9,3 \cdot 100}{6,2} = \frac{930}{6,2} = \frac{9300}{62} = 150$.

Ответ: 150.

63. После того как из бидона отлили 30% молока, в нём осталось 14 л. Сколько литров молока было в бидоне первоначально?

Пусть $x$ литров — это первоначальное количество молока в бидоне, что составляет 100%.

Согласно условию, из бидона отлили 30% молока. Узнаем, какая часть молока в процентах осталась в бидоне:

$100\% - 30\% = 70\%$

Известно, что оставшееся количество молока равно 14 литрам. Следовательно, эти 14 литров составляют 70% от первоначального объема.

Чтобы найти первоначальный объем молока ($x$), можно составить пропорцию:

$14 \text{ л} \quad — \quad 70\%$

$x \text{ л} \quad — \quad 100\%$

Решим эту пропорцию, чтобы найти $x$:

$x = \frac{14 \cdot 100}{70}$

Сократим дробь:

$x = \frac{1400}{70} = \frac{140}{7} = 20$

Таким образом, первоначально в бидоне было 20 литров молока.

Проверим результат: найдем 30% от 20 литров: $20 \cdot 0.3 = 6$ литров. Это количество молока, которое отлили. Тогда в бидоне осталось: $20 - 6 = 14$ литров, что соответствует условию задачи.

Ответ: первоначально в бидоне было 20 литров молока.