Страница 21 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

70. Сравните значения выражений:
а) 9,5 – a и 0,5a при a = 3,8; 0; 5;
б) 3 – c и 4c – 5 при c = 1,6; –3; –6.

а) Сравним значения выражений $9,5 - a$ и $0,5a$ при различных значениях $a$.

1. Если $a = 3,8$, то:

Значение первого выражения: $9,5 - a = 9,5 - 3,8 = 5,7$.

Значение второго выражения: $0,5a = 0,5 \times 3,8 = 1,9$.

Сравниваем полученные значения: $5,7 > 1,9$. Таким образом, $9,5 - a > 0,5a$.

2. Если $a = 0$, то:

Значение первого выражения: $9,5 - a = 9,5 - 0 = 9,5$.

Значение второго выражения: $0,5a = 0,5 \times 0 = 0$.

Сравниваем полученные значения: $9,5 > 0$. Таким образом, $9,5 - a > 0,5a$.

3. Если $a = 5$, то:

Значение первого выражения: $9,5 - a = 9,5 - 5 = 4,5$.

Значение второго выражения: $0,5a = 0,5 \times 5 = 2,5$.

Сравниваем полученные значения: $4,5 > 2,5$. Таким образом, $9,5 - a > 0,5a$.

Ответ: при $a = 3,8$, $9,5 - a > 0,5a$; при $a = 0$, $9,5 - a > 0,5a$; при $a = 5$, $9,5 - a > 0,5a$.

б) Сравним значения выражений $3 - c$ и $4c - 5$ при различных значениях $c$.

1. Если $c = 1,6$, то:

Значение первого выражения: $3 - c = 3 - 1,6 = 1,4$.

Значение второго выражения: $4c - 5 = 4 \times 1,6 - 5 = 6,4 - 5 = 1,4$.

Сравниваем полученные значения: $1,4 = 1,4$. Таким образом, $3 - c = 4c - 5$.

2. Если $c = -3$, то:

Значение первого выражения: $3 - c = 3 - (-3) = 3 + 3 = 6$.

Значение второго выражения: $4c - 5 = 4 \times (-3) - 5 = -12 - 5 = -17$.

Сравниваем полученные значения: $6 > -17$. Таким образом, $3 - c > 4c - 5$.

3. Если $c = -6$, то:

Значение первого выражения: $3 - c = 3 - (-6) = 3 + 6 = 9$.

Значение второго выражения: $4c - 5 = 4 \times (-6) - 5 = -24 - 5 = -29$.

Сравниваем полученные значения: $9 > -29$. Таким образом, $3 - c > 4c - 5$.

Ответ: при $c = 1,6$, $3 - c = 4c - 5$; при $c = -3$, $3 - c > 4c - 5$; при $c = -6$, $3 - c > 4c - 5$.

71. Сравните значения выражений:

а) x и –x при x = 8; 0; –3;
б) x и 100x при x = 5; 0; –5.

а) Сравним значения выражений $x$ и $-x$ при заданных значениях $x$.

• При $x=8$:
  Первое выражение: $x=8$.
  Второе выражение: $-x = -8$.
  Сравниваем $8$ и $-8$. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $8 > -8$.
  Ответ: $x > -x$.

• При $x=0$:
  Первое выражение: $x=0$.
  Второе выражение: $-x = -0 = 0$.
  Сравниваем $0$ и $0$. Значения равны, $0 = 0$.
  Ответ: $x = -x$.

• При $x=-3$:
  Первое выражение: $x=-3$.
  Второе выражение: $-x = -(-3) = 3$.
  Сравниваем $-3$ и $3$. Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому $-3 < 3$.
  Ответ: $x < -x$.

б) Сравним значения выражений $x$ и $100x$ при заданных значениях $x$.

• При $x=5$:
  Первое выражение: $x=5$.
  Второе выражение: $100x = 100 \cdot 5 = 500$.
  Сравниваем $5$ и $500$. Очевидно, что $5 < 500$.
  Ответ: $x < 100x$.

• При $x=0$:
  Первое выражение: $x=0$.
  Второе выражение: $100x = 100 \cdot 0 = 0$.
  Сравниваем $0$ и $0$. Значения равны, $0=0$.
  Ответ: $x = 100x$.

• При $x=-5$:
  Первое выражение: $x=-5$.
  Второе выражение: $100x = 100 \cdot (-5) = -500$.
  Сравниваем $-5$ и $-500$. Из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Так как $|-5| < |-500|$, то $-5 > -500$.
  Ответ: $x > 100x$.

72. Сравните значения выражений:

а) 5m – 0,8 и 0,8m – 5 при m = –1;
б) ab и a : b при a = 4,6, b = 0,23.

а) Чтобы сравнить значения выражений $5m - 0,8$ и $0,8m - 5$ при $m = -1$, подставим значение $m$ в каждое выражение.

1. Вычислим значение первого выражения:

$5m - 0,8 = 5 \cdot (-1) - 0,8 = -5 - 0,8 = -5,8$

2. Вычислим значение второго выражения:

$0,8m - 5 = 0,8 \cdot (-1) - 5 = -0,8 - 5 = -5,8$

3. Сравним полученные результаты:

$-5,8 = -5,8$

Следовательно, при данном значении $m$ значения выражений равны.

Ответ: $5m - 0,8 = 0,8m - 5$

б) Чтобы сравнить значения выражений $ab$ и $a : b$ при $a = 4,6$ и $b = 0,23$, подставим значения переменных в каждое выражение.

1. Вычислим значение первого выражения (произведение):

$ab = 4,6 \cdot 0,23 = 1,058$

2. Вычислим значение второго выражения (частное):

$a : b = 4,6 : 0,23 = \frac{4,6}{0,23} = \frac{4,6 \cdot 100}{0,23 \cdot 100} = \frac{460}{23} = 20$

3. Сравним полученные результаты:

$1,058 < 20$

Следовательно, значение выражения $ab$ меньше значения выражения $a : b$.

Ответ: $ab < a : b$

73. Верно ли неравенство 2x + 5 < 3x при x = 4,2; 5; 6,5?

Для проверки верности неравенства $2x + 5 < 3x$ для каждого из предложенных значений $x$, необходимо подставить эти значения в неравенство и выполнить вычисления.

при x = 4,2

Подставим значение $x = 4,2$ в неравенство:
$2 \cdot 4,2 + 5 < 3 \cdot 4,2$
Вычислим левую и правую части:
$8,4 + 5 < 12,6$
$13,4 < 12,6$
Полученное неравенство является ложным, так как $13,4$ не меньше $12,6$.
Ответ: неверно.

при x = 5

Подставим значение $x = 5$ в неравенство:
$2 \cdot 5 + 5 < 3 \cdot 5$
Вычислим левую и правую части:
$10 + 5 < 15$
$15 < 15$
Полученное неравенство является ложным, так как $15$ равно $15$, а не строго меньше.
Ответ: неверно.

при x = 6,5

Подставим значение $x = 6,5$ в неравенство:
$2 \cdot 6,5 + 5 < 3 \cdot 6,5$
Вычислим левую и правую части:
$13 + 5 < 19,5$
$18 < 19,5$
Полученное неравенство является верным, так как $18$ действительно меньше $19,5$.
Ответ: верно.

74. Прочитайте неравенство:

а) Двойное неравенство $8,1 < 8,14 < 8,6$ читается, как правило, начиная со среднего числа. Число $8,14$ (восемь целых четырнадцать сотых) находится между числами $8,1$ (восемь целых одна десятая) и $8,6$ (восемь целых шесть десятых). Таким образом, мы говорим, что среднее число больше левого и меньше правого.
Ответ: Восемь целых четырнадцать сотых больше восьми целых одной десятой и меньше восьми целых шести десятых.

б) Неравенство $9 < 9,865 < 10$ показывает, что число $9,865$ (девять целых восемьсот шестьдесят пять тысячных) заключено между целыми числами $9$ (девять) и $10$ (десять).
Ответ: Девять целых восемьсот шестьдесят пять тысячных больше девяти и меньше десяти.

в) В неравенстве $-900 < -839 < -800$ сравниваются отрицательные числа. Для отрицательных чисел действует правило: то число больше, модуль которого меньше. Число $-839$ (минус восемьсот тридцать девять) больше числа $-900$ (минус девятьсот), так как оно расположено на числовой оси правее, и меньше числа $-800$ (минус восемьсот).
Ответ: Минус восемьсот тридцать девять больше минус девятисот и меньше минус восьмисот.

г) Неравенство $-40 < -38,7 < -30$ также сравнивает отрицательные числа. Число $-38,7$ (минус тридцать восемь целых семь десятых) больше числа $-40$ (минус сорок) и меньше числа $-30$ (минус тридцать).
Ответ: Минус тридцать восемь целых семь десятых больше минус сорока и меньше минус тридцати.

д) В неравенстве $1\frac{3}{5} < 1,7 < 1\frac{4}{5}$ сравниваются смешанные дроби и десятичная дробь. Чтобы прочитать и проверить его, удобно привести все числа к одному виду, например, к десятичным дробям. $1\frac{3}{5} = 1,6$, а $1\frac{4}{5} = 1,8$. Неравенство принимает вид $1,6 < 1,7 < 1,8$, что является верным. Читается оно так: число $1,7$ (одна целая семь десятых) больше числа $1\frac{3}{5}$ (одна целая три пятых) и меньше числа $1\frac{4}{5}$ (одна целая четыре пятых).
Ответ: Одна целая семь десятых больше одной целой трёх пятых и меньше одной целой четырёх пятых.

е) В неравенстве $2,42 < 2\frac{3}{7} < 2,43$ сравнивается смешанная дробь с десятичными. Для проверки переведем смешанную дробь в десятичную: $2\frac{3}{7} = 2 + 3:7 \approx 2,4285...$. Таким образом, неравенство $2,42 < 2,4285... < 2,43$ является верным. Читается оно так: число $2\frac{3}{7}$ (две целых три седьмых) больше числа $2,42$ (две целых сорок две сотых) и меньше числа $2,43$ (две целых сорок три сотых).
Ответ: Две целых три седьмых больше двух целых сорока двух сотых и меньше двух целых сорока трёх сотых.

75. Запишите в виде двойного неравенства:

а) 8 меньше 13 и 13 меньше 15;
б) 4,1 меньше 4,18 и 4,18 меньше 4,2;
в) 63,5 больше 63 и меньше 64;
г) –8,1 больше –11 и меньше –7;
д) a больше 1,8 и меньше 2,8;
е) x больше a и меньше b.

а) Утверждение «8 меньше 13» записывается в виде неравенства $8 < 13$. Утверждение «13 меньше 15» записывается как $13 < 15$. Так как оба неравенства содержат общее число 13, мы можем объединить их в одно двойное неравенство, которое показывает, что 13 находится между 8 и 15.
Ответ: $8 < 13 < 15$

б) Утверждение «4,1 меньше 4,18» записывается в виде неравенства $4,1 < 4,18$. Утверждение «4,18 меньше 4,2» записывается как $4,18 < 4,2$. Объединяя эти два неравенства, мы получаем двойное неравенство, которое показывает, что 4,18 находится между 4,1 и 4,2.
Ответ: $4,1 < 4,18 < 4,2$

в) Утверждение «63,5 больше 63» можно записать как $63,5 > 63$ или, что эквивалентно, $63 < 63,5$. Утверждение «63,5 меньше 64» записывается как $63,5 < 64$. Соединив эти два условия, мы получаем двойное неравенство, где число 63,5 расположено между 63 и 64.
Ответ: $63 < 63,5 < 64$

г) Утверждение «-8,1 больше -11» записывается как $-8,1 > -11$ или $-11 < -8,1$. Утверждение «-8,1 меньше -7» записывается как $-8,1 < -7$. Объединяя эти неравенства, мы получаем двойное неравенство, показывающее, что число -8,1 находится на числовой прямой между -11 и -7.
Ответ: $-11 < -8,1 < -7$

д) Утверждение «a больше 1,8» записывается как $a > 1,8$ или $1,8 < a$. Утверждение «a меньше 2,8» записывается как $a < 2,8$. Объединяя эти два неравенства для переменной a, мы получаем двойное неравенство.
Ответ: $1,8 < a < 2,8$

е) Утверждение «x больше a» записывается как $x > a$ или $a < x$. Утверждение «x меньше b» записывается как $x < b$. Объединяя эти два неравенства для переменной x, мы получаем общее выражение в виде двойного неравенства.
Ответ: $a < x < b$

76. Подберите какое-нибудь число, заключённое между числами:

Результат запишите в виде двойного неравенства.

а) Чтобы найти число, заключённое между десятичными дробями 8,6 и 8,7, можно увеличить количество знаков после запятой. Число 8,6 эквивалентно 8,60, а 8,7 эквивалентно 8,70. Между 8,60 и 8,70 можно выбрать любое число, например, 8,65. Таким образом, мы можем записать двойное неравенство.
Ответ: $8,6 < 8,65 < 8,7$.

б) Чтобы найти число между дробями $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{8}$, сначала необходимо их сравнить, приведя к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 7 и 8 является 56.
$\frac{1}{7} = \frac{1 \times 8}{7 \times 8} = \frac{8}{56}$
$\frac{1}{8} = \frac{1 \times 7}{8 \times 7} = \frac{7}{56}$
Поскольку $\frac{7}{56} < \frac{8}{56}$, то $\frac{1}{8} < \frac{1}{7}$.
Теперь нужно найти число $x$, которое удовлетворяет неравенству $\frac{7}{56} < x < \frac{8}{56}$. Чтобы найти такую дробь, можно увеличить знаменатель, например, умножив числители и знаменатели на 2: $\frac{14}{112} < x < \frac{16}{112}$. Подходящим числом будет $\frac{15}{112}$.
Ответ: $\frac{1}{8} < \frac{15}{112} < \frac{1}{7}$.

в) Требуется найти число между -3,6 и -3,7. При сравнении отрицательных чисел большим является то, чей модуль меньше. Следовательно, $-3,7 < -3,6$.
Аналогично пункту а), представим числа с большим количеством знаков после запятой: -3,70 и -3,60. Нужно найти число $x$, такое что $-3,70 < x < -3,60$. В качестве такого числа можно взять, например, -3,65.
Ответ: $-3,7 < -3,65 < -3,6$.

г) Чтобы найти число между дробями $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$, приведём их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 4 и 6 является 12.
$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$
Поскольку $\frac{9}{12} < \frac{10}{12}$, то $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$.
Нам нужно найти число $x$, удовлетворяющее неравенству $\frac{9}{12} < x < \frac{10}{12}$. Увеличим знаменатель, умножив числители и знаменатели на 2: $\frac{18}{24} < x < \frac{20}{24}$. Между этими дробями находится число $\frac{19}{24}$.
Ответ: $\frac{3}{4} < \frac{19}{24} < \frac{5}{6}$.

77. Запишите в виде двойного неравенства:

а) 0,79 больше 0,7 и меньше 0,8;
б) 645 больше 6 и меньше 7;
в) –4,6 больше –10 и меньше 0;
г) m больше –16 и меньше –15;
д) k больше 2,65 и меньше 2,66;
е) y больше m и меньше n.

а) Утверждение "0,79 больше 0,7 и меньше 0,8" означает, что число 0,79 находится на числовой прямой между 0,7 и 0,8. Это можно записать с помощью двух неравенств: $0,7 < 0,79$ и $0,79 < 0,8$. Объединяя их в одно, мы получаем двойное неравенство.
Ответ: $0,7 < 0,79 < 0,8$

б) Утверждение "$6\frac{4}{5}$ больше 6 и меньше 7" означает, что число $6\frac{4}{5}$ заключено между 6 и 7. Записываем это в виде двух неравенств: $6 < 6\frac{4}{5}$ и $6\frac{4}{5} < 7$. Объединение этих неравенств дает двойное неравенство.
Ответ: $6 < 6\frac{4}{5} < 7$

в) Утверждение "-4,6 больше -10 и меньше 0" означает, что число -4,6 находится между -10 и 0. Важно помнить, что для отрицательных чисел, то, что ближе к нулю, является большим. Таким образом, имеем $-10 < -4,6$ и $-4,6 < 0$. Объединяем их.
Ответ: $-10 < -4,6 < 0$

г) Утверждение "m больше -16 и меньше -15" означает, что значение переменной m находится в интервале между -16 и -15. Это записывается как два отдельных неравенства: $-16 < m$ и $m < -15$. Соединив их, получаем двойное неравенство.
Ответ: $-16 < m < -15$

д) Утверждение "k больше 2,65 и меньше 2,66" означает, что значение переменной k находится в промежутке между 2,65 и 2,66. Это соответствует двум неравенствам: $2,65 < k$ и $k < 2,66$. Объединяем их в двойное неравенство.
Ответ: $2,65 < k < 2,66$

е) Утверждение "y больше m и меньше n" означает, что значение переменной y находится между значениями m и n. Предполагая, что $m < n$, мы можем записать это как два неравенства: $m < y$ и $y < n$. Их объединение дает двойное неравенство.
Ответ: $m < y < n$

78. На координатной прямой точками отмечены числа a, b и c (рис. 4). Укажите для каждой точки соответствующее ей число, если известно, что a > b и c > a. Составьте из чисел a, b и c двойное неравенство с помощью знака <.

Укажите для каждой точки соответствующее ей число

В условии задачи даны два неравенства: $a > b$ и $c > a$.

Неравенство $a > b$ означает, что число $a$ больше числа $b$. На координатной прямой точка, соответствующая большему числу, всегда находится правее точки, соответствующей меньшему числу. Таким образом, точка $a$ находится правее точки $b$.

Аналогично, неравенство $c > a$ означает, что число $c$ больше числа $a$. Следовательно, точка $c$ находится правее точки $a$.

Объединив эти два условия, мы можем расположить все три числа в порядке убывания: $c > a > b$.

На координатной прямой, изображенной на рисунке, отмечены три точки. Двигаясь по прямой слева направо, значения чисел увеличиваются. Это означает, что:
• самая левая точка соответствует наименьшему числу;
• средняя точка соответствует среднему по величине числу;
• самая правая точка соответствует наибольшему числу.

Исходя из установленного порядка $c > a > b$, наименьшим числом является $b$, средним — $a$, а наибольшим — $c$.

Ответ: Самая левая точка соответствует числу $b$, средняя точка — числу $a$, самая правая точка — числу $c$.

Составьте из чисел a, b и c двойное неравенство с помощью знака <

Мы установили, что числа $a$, $b$ и $c$ находятся в соотношении $c > a > b$.

Чтобы составить двойное неравенство с помощью знака "меньше" ($<$), необходимо расположить числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему).

Порядок возрастания для наших чисел: $b$, затем $a$, затем $c$.

Записывая это в виде двойного неравенства, получаем: $b < a$ и $a < c$. Объединив, получаем итоговое неравенство.

Ответ: $b < a < c$.