Страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

79. Прочитайте неравенство:

a) 7,3 ≤ x;
б) y ≥ 0,83;
в) a ≥ –10,4;
г) k ≤ 0,5;
д) 4,4 ≤ n ≤ 6,1;
е) 7,6 ≤ m ≤ 20,8;
ж) –5 ≤ a ≤ –2;
з) x ≤ b ≤ y.

а) Неравенство $7,3 \le x$ можно прочитать двумя способами. Слева направо: "семь целых три десятых меньше или равно икс". Справа налево: "икс больше или равен семи целым трем десятым". Как правило, используется вариант, при котором переменная читается первой.
Ответ: Икс больше или равен семи целым трем десятым.

б) Неравенство $y \ge 0,83$ читается: "игрек больше или равен нулю целым восьмидесяти трем сотым".
Ответ: Игрек больше или равен нулю целым восьмидесяти трем сотым.

в) Неравенство $a \ge -10,4$ читается: "а больше или равно минус десяти целым четырем десятым".
Ответ: А больше или равно минус десяти целым четырем десятым.

г) Неравенство $k \le 0,5$ читается: "ка меньше или равно нулю целым пяти десятым".
Ответ: Ка меньше или равно нулю целым пяти десятым.

д) Двойное неравенство $4,4 \le n \le 6,1$ читается: "эн больше или равно четырем целым четырем десятым и меньше или равно шести целым одной десятой".
Ответ: Эн больше или равно четырем целым четырем десятым и меньше или равно шести целым одной десятой.

е) Двойное неравенство $7,6 \le m \le 20,8$ читается: "эм больше или равно семи целым шести десятым и меньше или равно двадцати целым восьми десятым".
Ответ: Эм больше или равно семи целым шести десятым и меньше или равно двадцати целым восьми десятым.

ж) Двойное неравенство $-5 \le a < -2$ читается: "а больше или равно минус пяти и меньше минус двух".
Ответ: А больше или равно минус пяти и меньше минус двух.

з) Двойное неравенство $x \le b \le y$ читается: "бэ больше или равно иксу и меньше или равно игреку".
Ответ: Бэ больше или равно иксу и меньше или равно игреку.

80. Верно ли неравенство:
а) x ≤ 5,3 при x = 2,7; 5,3; 6;
б) y ≥ 4,8 при y = 3,5; 4,8; 7,1;
в) 0,6 < x ≤ 0,8 при x = 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9;
г) 2,1 ≤ y ≤ 2,4 при y = 2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5?

а) Проверим, верно ли неравенство $x \le 5,3$ для каждого из предложенных значений $x$, подставив их в неравенство:
При $x = 2,7$ получаем $2,7 \le 5,3$. Это верное неравенство, так как $2,7$ меньше $5,3$.
При $x = 5,3$ получаем $5,3 \le 5,3$. Это верное неравенство, так как знак $\le$ (меньше или равно) допускает равенство.
При $x = 6$ получаем $6 \le 5,3$. Это неверное неравенство, так как $6$ больше $5,3$.
Ответ: неравенство верно при $x = 2,7$ и $x = 5,3$; неверно при $x = 6$.

б) Проверим, верно ли неравенство $y \ge 4,8$ для каждого из предложенных значений $y$, подставив их в неравенство:
При $y = 3,5$ получаем $3,5 \ge 4,8$. Это неверное неравенство, так как $3,5$ меньше $4,8$.
При $y = 4,8$ получаем $4,8 \ge 4,8$. Это верное неравенство, так как знак $\ge$ (больше или равно) допускает равенство.
При $y = 7,1$ получаем $7,1 \ge 4,8$. Это верное неравенство, так как $7,1$ больше $4,8$.
Ответ: неравенство верно при $y = 4,8$ и $y = 7,1$; неверно при $y = 3,5$.

в) Проверим, верно ли двойное неравенство $0,6 < x \le 0,8$. Неравенство будет верным, если $x$ одновременно строго больше $0,6$ и меньше или равен $0,8$. Подставим каждое значение $x$:
При $x = 0,5$: неравенство $0,6 < 0,5 \le 0,8$ неверно, так как $0,6 < 0,5$ — ложно.
При $x = 0,6$: неравенство $0,6 < 0,6 \le 0,8$ неверно, так как левая часть $0,6 < 0,6$ — ложна (требуется строгое неравенство).
При $x = 0,7$: неравенство $0,6 < 0,7 \le 0,8$ верно, так как обе его части ($0,6 < 0,7$ и $0,7 \le 0,8$) истинны.
При $x = 0,8$: неравенство $0,6 < 0,8 \le 0,8$ верно, так как обе его части ($0,6 < 0,8$ и $0,8 \le 0,8$) истинны.
При $x = 0,9$: неравенство $0,6 < 0,9 \le 0,8$ неверно, так как правая часть $0,9 \le 0,8$ — ложна.
Ответ: неравенство верно при $x = 0,7$ и $x = 0,8$; неверно при $x = 0,5$, $x = 0,6$ и $x = 0,9$.

г) Проверим, верно ли двойное неравенство $2,1 < y \le 2,4$. Неравенство будет верным, если $y$ одновременно строго больше $2,1$ и меньше или равен $2,4$. Подставим каждое значение $y$:
При $y = 2,1$: неравенство $2,1 < 2,1 \le 2,4$ неверно, так как левая часть $2,1 < 2,1$ — ложна (требуется строгое неравенство).
При $y = 2,2$: неравенство $2,1 < 2,2 \le 2,4$ верно, так как обе его части ($2,1 < 2,2$ и $2,2 \le 2,4$) истинны.
При $y = 2,3$: неравенство $2,1 < 2,3 \le 2,4$ верно, так как обе его части ($2,1 < 2,3$ и $2,3 \le 2,4$) истинны.
При $y = 2,4$: неравенство $2,1 < 2,4 \le 2,4$ верно, так как обе его части ($2,1 < 2,4$ и $2,4 \le 2,4$) истинны.
При $y = 2,5$: неравенство $2,1 < 2,5 \le 2,4$ неверно, так как правая часть $2,5 \le 2,4$ — ложна.
Ответ: неравенство верно при $y = 2,2$, $y = 2,3$ и $y = 2,4$; неверно при $y = 2,1$ и $y = 2,5$.

81. Запишите с помощью знаков неравенства:
а) x меньше или равно 8;
б) y больше или равно 0;
в) a больше 5 и меньше или равно 7;
г) b больше или равно –2 и меньше 1.

а) Условие "x меньше или равно 8" означает, что переменная $x$ может принимать значение 8 или любое значение, которое меньше 8. В математике это записывается с помощью знака нестрогого неравенства "меньше или равно" ($\le$). Таким образом, получаем неравенство.

Ответ: $x \le 8$

б) Условие "y больше или равно 0" означает, что переменная $y$ может принимать значение 0 или любое значение, которое больше 0. Это соответствует нестрогому неравенству "больше или равно" ($\ge$). Следовательно, неравенство будет выглядеть так.

Ответ: $y \ge 0$

в) Условие "a больше 5 и меньше или равно 7" является двойным неравенством. Оно состоит из двух частей:
1. "a больше 5", что записывается как $a > 5$ или $5 < a$. Это строгое неравенство.
2. "a меньше или равно 7", что записывается как $a \le 7$. Это нестрогое неравенство.
Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство, которое читается "a больше 5 и меньше или равно 7".

Ответ: $5 < a \le 7$

г) Условие "b больше или равно -2 и меньше 1" также является двойным неравенством. Разберем его на части:
1. "b больше или равно -2", что записывается как $b \ge -2$ или $-2 \le b$. Это нестрогое неравенство.
2. "b меньше 1", что записывается как $b < 1$. Это строгое неравенство.
Соединив оба условия, мы получаем следующее двойное неравенство: "b больше или равно -2 и меньше 1".

Ответ: $-2 \le b < 1$

82. Запишите в виде неравенства:
а) x — отрицательное число;
б) m — положительное число;
в) y — неотрицательное число;
г) z — неположительное число.

а) Утверждение, что $x$ является отрицательным числом, означает, что $x$ меньше нуля. Это записывается с помощью знака "меньше".

Ответ: $x < 0$

б) Утверждение, что $m$ является положительным числом, означает, что $m$ больше нуля. Это записывается с помощью знака "больше".

Ответ: $m > 0$

в) Утверждение, что $y$ является неотрицательным числом, означает, что $y$ не является отрицательным. То есть, $y$ может быть либо положительным числом, либо нулём. Это записывается с помощью знака "больше или равно".

Ответ: $y \ge 0$

г) Утверждение, что $z$ является неположительным числом, означает, что $z$ не является положительным. То есть, $z$ может быть либо отрицательным числом, либо нулём. Это записывается с помощью знака "меньше или равно".

Ответ: $z \le 0$

83. Запишите в виде двойного неравенства:
а) x больше или равно 11 и меньше 12;
б) y больше 50 и меньше или равно 100;
в) a больше 350 и меньше 400;
г) b больше или равно –100 и меньше или равно –10.

а) Условие "x больше или равно 11 и меньше 12" состоит из двух частей. Первая часть, "x больше или равно 11", записывается как $x \ge 11$. Вторая часть, "x меньше 12", записывается как $x < 12$. Объединяя эти два условия в одно двойное неравенство, мы помещаем $x$ между числами 11 и 12, сохраняя соответствующие знаки.
Ответ: $11 \le x < 12$

б) Условие "y больше 50 и меньше или равно 100" также разбивается на два неравенства. "y больше 50" — это строгое неравенство $y > 50$. "y меньше или равно 100" — это нестрогое неравенство $y \le 100$. Запись в виде двойного неравенства объединяет эти два условия.
Ответ: $50 < y \le 100$

в) Условие "a больше 350 и меньше 400" означает, что переменная $a$ находится в интервале между 350 и 400, не включая границы. Это два строгих неравенства: $a > 350$ и $a < 400$. В виде двойного неравенства это записывается следующим образом.
Ответ: $350 < a < 400$

г) Условие "b больше или равно -100 и меньше или равно -10" описывает отрезок на числовой прямой, включая обе его границы. "b больше или равно -100" записывается как $b \ge -100$. "b меньше или равно -10" записывается как $b \le -10$. Объединенное двойное неравенство будет выглядеть так.
Ответ: $-100 \le b \le -10$

84. Один автомобиль проехал 700 км за x ч, а другой автомобиль проехал 630 км за y ч. Сравните средние скорости автомобилей, если:
а) x = 12,5, y = 10,5;
б) x = y = 14.

Для того чтобы сравнить средние скорости автомобилей, необходимо для каждого случая рассчитать скорость по формуле $v = s / t$, где $v$ – скорость, $s$ – расстояние, $t$ – время.

Скорость первого автомобиля: $v_1 = 700 / x$ км/ч.

Скорость второго автомобиля: $v_2 = 630 / y$ км/ч.

а) Если $x = 12,5$ ч, а $y = 10,5$ ч.

Найдем скорость первого автомобиля:

$v_1 = 700 / 12,5 = 56$ км/ч.

Найдем скорость второго автомобиля:

$v_2 = 630 / 10,5 = 60$ км/ч.

Теперь сравним их скорости:

$56$ км/ч $ < 60$ км/ч, значит, $v_1 < v_2$.

Ответ: средняя скорость второго автомобиля больше средней скорости первого.

б) Если $x = y = 14$ ч.

Найдем скорость первого автомобиля:

$v_1 = 700 / 14 = 50$ км/ч.

Найдем скорость второго автомобиля:

$v_2 = 630 / 14 = 45$ км/ч.

Теперь сравним их скорости:

$50$ км/ч $ > 45$ км/ч, значит, $v_1 > v_2$.

Ответ: средняя скорость первого автомобиля больше средней скорости второго.

85. Сколько процентов составляет:
а) число 8 от числа 200;
б) число 2,1 от числа 14?

а) Чтобы найти, сколько процентов число 8 составляет от числа 200, нужно разделить 8 на 200 и умножить полученное отношение на 100%.

Запишем это в виде формулы:

$\frac{8}{200} \cdot 100\%$

Сначала вычислим частное:

$\frac{8}{200} = 0,04$

Теперь умножим результат на 100%, чтобы перевести его в проценты:

$0,04 \cdot 100\% = 4\%$

Таким образом, число 8 составляет 4% от числа 200.

Ответ: 4%

б) Аналогично, чтобы найти, сколько процентов число 2,1 составляет от числа 14, нужно разделить 2,1 на 14 и умножить результат на 100%.

Запишем формулу:

$\frac{2,1}{14} \cdot 100\%$

Вычислим частное. Для удобства вычислений избавимся от десятичной дроби в числителе, умножив и числитель, и знаменатель на 10:

$\frac{2,1}{14} = \frac{2,1 \cdot 10}{14 \cdot 10} = \frac{21}{140}$

Сократим полученную дробь. Оба числа, 21 и 140, делятся на 7:

$\frac{21 \div 7}{140 \div 7} = \frac{3}{20}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{3}{20} = 0,15$

Теперь умножим результат на 100%, чтобы получить проценты:

$0,15 \cdot 100\% = 15\%$

Таким образом, число 2,1 составляет 15% от числа 14.

Ответ: 15%

86. В результате рационализации производства удалось сократить число рабочих на комбинате. Вместо 1600 их осталось 1200. На сколько процентов сократилось число рабочих?

Для того чтобы определить, на сколько процентов сократилось число рабочих, необходимо выполнить два основных шага: найти абсолютное сокращение числа рабочих и затем выразить это сокращение в виде процента от первоначального количества.

1. Находим абсолютное сокращение числа рабочих. Это разница между первоначальным и конечным количеством.

Первоначальное число рабочих: $1600$.
Конечное число рабочих: $1200$.

Абсолютное сокращение = $1600 - 1200 = 400$ рабочих.

2. Рассчитываем процентное сокращение. Для этого нужно разделить абсолютное сокращение на первоначальное число рабочих и умножить результат на $100\%$. Первоначальное число ($1600$) принимается за $100\%$.

Формула для расчета:

Процентное сокращение = $(\frac{\text{Абсолютное сокращение}}{\text{Первоначальное число}}) \times 100\%$

Подставляем наши значения в формулу:

Процентное сокращение = $(\frac{400}{1600}) \times 100\%$

Упрощаем дробь:

$\frac{400}{1600} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

Преобразуем дробь в проценты:

$\frac{1}{4} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\%$

Таким образом, число рабочих на комбинате сократилось на 25%.

Ответ: 25%.

87. Найдите значение выражения:
а) 37,6 – 5,84 + 3,95 – 8,9;
б) 81 – 45,34 + 19,6 + 21,75;
в) 17,1 · 3,8:4,5 · 0,5;
г) 81,9 : 4,5 : 0,28 · 1,2.

а) Для нахождения значения выражения $37,6 - 5,84 + 3,95 - 8,9$ будем выполнять действия по порядку, слева направо.
1) Первым действием выполним вычитание:
$37,6 - 5,84 = 31,76$
2) Затем к полученному результату прибавим $3,95$:
$31,76 + 3,95 = 35,71$
3) И в последнюю очередь вычтем $8,9$:
$35,71 - 8,9 = 26,81$
Таким образом, итоговое значение выражения равно $26,81$.
Ответ: 26,81.

б) Для нахождения значения выражения $81 - 45,34 + 19,6 + 21,75$ выполним действия по порядку, слева направо.
1) Сначала вычтем $45,34$ из $81$:
$81 - 45,34 = 35,66$
2) К результату прибавим $19,6$:
$35,66 + 19,6 = 55,26$
3) К полученной сумме прибавим $21,75$:
$55,26 + 21,75 = 77,01$
Значение выражения равно $77,01$.
Ответ: 77,01.

в) В выражении $17,1 \cdot 3,8 : 4,5 \cdot 0,5$ умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их последовательно, слева направо.
1) Умножим $17,1$ на $3,8$:
$17,1 \cdot 3,8 = 64,98$
2) Разделим полученный результат на $4,5$:
$64,98 : 4,5 = 14,44$
3) Умножим результат на $0,5$ (что то же самое, что и разделить на 2):
$14,44 \cdot 0,5 = 7,22$
Итоговое значение выражения равно $7,22$.
Ответ: 7,22.

г) В выражении $81,9 : 4,5 : 0,28 \cdot 1,2$ действия деления и умножения выполняются по порядку, слева направо.
1) Разделим $81,9$ на $4,5$:
$81,9 : 4,5 = 18,2$
2) Разделим полученный результат на $0,28$. Это то же самое, что и $1820 : 28$:
$18,2 : 0,28 = 65$
3) Умножим результат на $1,2$:
$65 \cdot 1,2 = 78$
Результат вычислений равен $78$.
Ответ: 78.

88. Запишите в виде выражения:
а) сумму числа x и произведения чисел a и b;
б) частное от деления числа a на разность чисел b и c;
в) произведение суммы чисел x и a и разности чисел x и b.

а) Чтобы записать сумму числа $x$ и произведения чисел $a$ и $b$, сначала нужно найти произведение чисел $a$ и $b$. Это будет $a \cdot b$ или просто $ab$. Затем к числу $x$ нужно прибавить полученное произведение. В итоге мы получаем выражение $x + ab$.
Ответ: $x + ab$

б) Чтобы записать частное от деления числа $a$ на разность чисел $b$ и $c$, сначала нужно найти разность чисел $b$ и $c$. Это будет $b - c$. Затем число $a$ нужно разделить на полученную разность. В виде алгебраического выражения это обычно записывается как дробь, где $a$ — числитель, а $b - c$ — знаменатель. Важно отметить, что разность $b - c$ не может быть равна нулю, так как на ноль делить нельзя.
Ответ: $\frac{a}{b - c}$

в) Чтобы записать произведение суммы чисел $x$ и $a$ и разности чисел $x$ и $b$, нужно сначала составить эти сумму и разность. Сумма чисел $x$ и $a$ записывается как $(x + a)$. Разность чисел $x$ и $b$ записывается как $(x - b)$. Затем эти два выражения нужно перемножить. Скобки необходимы, чтобы показать, что умножаются именно результаты сложения и вычитания.
Ответ: $(x + a)(x - b)$