Страница 20 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

66. Сравните значения выражений:

а) 2,06 · 3,05 и 21,28 : 3,5;

б) 97,2 : 2,4 и 62 – 21,6;

в) 12 + 15 и 13 + 14;

г) 16 – 358и 15 – 214.

а) Чтобы сравнить значения выражений $2,06 \cdot 3,05$ и $21,28 : 3,5$, необходимо вычислить значение каждого из них.
1. Вычислим первое выражение:
$2,06 \cdot 3,05 = 6,283$.
2. Вычислим второе выражение. Для удобства деления умножим делимое и делитель на 10, чтобы избавиться от дроби в делителе:
$21,28 : 3,5 = 212,8 : 35 = 6,08$.
3. Теперь сравним полученные результаты:
$6,283$ и $6,08$.
Так как $6,283 > 6,08$, то и исходные выражения находятся в таком же соотношении.
Ответ: $2,06 \cdot 3,05 > 21,28 : 3,5$.

б) Сравним значения выражений $97,2 : 2,4$ и $62 - 21,6$.
1. Вычислим первое выражение. Умножим делимое и делитель на 10:
$97,2 : 2,4 = 972 : 24 = 40,5$.
2. Вычислим второе выражение:
$62 - 21,6 = 40,4$.
3. Сравним полученные результаты:
$40,5 > 40,4$.
Ответ: $97,2 : 2,4 > 62 - 21,6$.

в) Сравним значения выражений $\frac{1}{2} + \frac{1}{5}$ и $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$.
1. Вычислим значение первой суммы. Приведем дроби к общему знаменателю 10:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{7}{10}$.
2. Вычислим значение второй суммы. Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$.
3. Теперь сравним дроби $\frac{7}{10}$ и $\frac{7}{12}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Так как $10 < 12$, то $\frac{7}{10} > \frac{7}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{5} > \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$.

г) Сравним значения выражений $16 - 3\frac{5}{8}$ и $15 - 2\frac{1}{4}$.
1. Вычислим значение первого выражения:
$16 - 3\frac{5}{8} = 15\frac{8}{8} - 3\frac{5}{8} = (15-3) + (\frac{8}{8} - \frac{5}{8}) = 12\frac{3}{8}$.
2. Вычислим значение второго выражения:
$15 - 2\frac{1}{4} = 14\frac{4}{4} - 2\frac{1}{4} = (14-2) + (\frac{4}{4} - \frac{1}{4}) = 12\frac{3}{4}$.
3. Сравним полученные результаты: $12\frac{3}{8}$ и $12\frac{3}{4}$.
Целые части чисел равны. Сравним их дробные части: $\frac{3}{8}$ и $\frac{3}{4}$.
Приведем дробь $\frac{3}{4}$ к знаменателю 8: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$.
Сравниваем $\frac{3}{8}$ и $\frac{6}{8}$. Так как $3 < 6$, то $\frac{3}{8} < \frac{6}{8}$.
Следовательно, $12\frac{3}{8} < 12\frac{3}{4}$.
Ответ: $16 - 3\frac{5}{8} < 15 - 2\frac{1}{4}$.

67. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

а) 56 · 27 и 56 : 72;

б) 9 : 0,6 и 9 · 0,6;

в) 2,1 – 5,8 и 2,1 – 1,7;

г) 6,13 – 7,57 и –6,13 + 7,57.

а) Сравним выражения $56 \cdot \frac{2}{7}$ и $56 : \frac{7}{2}$.
Преобразуем второе выражение. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевёрнутую) дробь. Для дроби $\frac{7}{2}$ обратной является дробь $\frac{2}{7}$.
Таким образом, $56 : \frac{7}{2} = 56 \cdot \frac{2}{7}$.
Поскольку оба выражения после преобразования полностью совпадают, их значения равны.
Ответ: $56 \cdot \frac{2}{7} = 56 : \frac{7}{2}$.

б) Сравним выражения $9 : 0,6$ и $9 \cdot 0,6$.
В первом выражении мы делим положительное число 9 на положительное число 0,6, которое меньше 1. При делении на число, меньшее 1 (и большее 0), результат будет больше исходного числа (делимого). То есть, $9 : 0,6 > 9$.
Во втором выражении мы умножаем положительное число 9 на положительное число 0,6, которое меньше 1. При умножении на число, меньшее 1, результат будет меньше исходного числа. То есть, $9 \cdot 0,6 < 9$.
Так как $9 : 0,6 > 9$ и $9 \cdot 0,6 < 9$, то первое выражение больше второго.
Ответ: $9 : 0,6 > 9 \cdot 0,6$.

в) Сравним выражения $2,1 - 5,8$ и $2,1 - 1,7$.
В обоих выражениях уменьшаемое одинаково и равно 2,1. Сравниваются результаты вычитания.
В первом выражении вычитаемое равно 5,8, а во втором — 1,7.
Поскольку $5,8 > 1,7$, из числа 2,1 в первом случае вычитается большее число. Чем больше вычитаемое, тем меньше разность.
Следовательно, значение первого выражения меньше значения второго.
Ответ: $2,1 - 5,8 < 2,1 - 1,7$.

г) Сравним выражения $6,13 - 7,57$ и $-6,13 + 7,57$.
Рассмотрим первое выражение: $6,13 - 7,57$. Здесь из меньшего положительного числа вычитается большее, поэтому результат будет отрицательным.
Рассмотрим второе выражение: $-6,13 + 7,57$. Используя переместительное свойство сложения, запишем его как $7,57 - 6,13$. Здесь из большего положительного числа вычитается меньшее, поэтому результат будет положительным.
Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа.
Следовательно, значение первого выражения меньше значения второго.
Ответ: $6,13 - 7,57 < -6,13 + 7,57$.

68. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

а) Сравним значения выражений $6,16 - 7,44$ и $7,23 + 8,11$.
Значение первого выражения $6,16 - 7,44$ отрицательно, так как уменьшаемое ($6,16$) меньше вычитаемого ($7,44$).
Значение второго выражения $7,23 + 8,11$ положительно, так как это сумма двух положительных чисел.
Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.
Следовательно, $6,16 - 7,44 < 7,23 + 8,11$.
Ответ: $6,16 - 7,44 < 7,23 + 8,11$.

б) Сравним значения выражений $24,12 \cdot \frac{1}{4}$ и $24,12 : \frac{1}{4}$.
Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Таким образом, $24,12 : \frac{1}{4} = 24,12 \cdot 4$.
Теперь необходимо сравнить $24,12 \cdot \frac{1}{4}$ и $24,12 \cdot 4$.
При умножении одного и того же положительного числа на разные множители, большим будет то произведение, у которого множитель больше.
Поскольку $4 > \frac{1}{4}$, то и $24,12 \cdot 4 > 24,12 \cdot \frac{1}{4}$.
Ответ: $24,12 \cdot \frac{1}{4} < 24,12 : \frac{1}{4}$.

в) Сравним значения выражений $5,7 - 3,11$ и $5,7 - 2,16$.
В обоих выражениях уменьшаемое одинаково и равно $5,7$.
Сравним вычитаемые: $3,11 > 2,16$.
Если из одного и того же числа вычитать разные числа, то результат будет меньше там, где вычитаемое больше.
Так как $3,11$ больше, чем $2,16$, результат первого выражения будет меньше.
Следовательно, $5,7 - 3,11 < 5,7 - 2,16$.
Ответ: $5,7 - 3,11 < 5,7 - 2,16$.

г) Сравним значения выражений $65,4 \cdot \frac{5}{6}$ и $65,4 : \frac{5}{6}$.
Дробь $\frac{5}{6}$ является правильной, то есть ее значение меньше 1.
При умножении положительного числа на число, меньшее 1, результат уменьшается: $65,4 \cdot \frac{5}{6} < 65,4$.
При делении положительного числа на число, меньшее 1, результат увеличивается (так как это равносильно умножению на число, большее 1: $65,4 : \frac{5}{6} = 65,4 \cdot \frac{6}{5}$): $65,4 : \frac{5}{6} > 65,4$.
Следовательно, первое выражение меньше второго.
Ответ: $65,4 \cdot \frac{5}{6} < 65,4 : \frac{5}{6}$.

69. Сравните значения выражений:

а) 0,7 · 0,8 · 0,9 и 0,7 + 0,8 – 0,9;

б) 12 + 13 – 16 и 12 · 13 · 16.

а) Сравним значения выражений $0,7 \cdot 0,8 \cdot 0,9$ и $0,7 + 0,8 - 0,9$.

1. Вычислим значение первого выражения (произведение):

$0,7 \cdot 0,8 = 0,56$

$0,56 \cdot 0,9 = 0,504$

2. Вычислим значение второго выражения (сумма и разность):

$0,7 + 0,8 = 1,5$

$1,5 - 0,9 = 0,6$

3. Сравним полученные результаты: $0,504$ и $0,6$.

Так как $0,504 < 0,6$, то и $0,7 \cdot 0,8 \cdot 0,9 < 0,7 + 0,8 - 0,9$.

Ответ: $0,7 \cdot 0,8 \cdot 0,9 < 0,7 + 0,8 - 0,9$.

б) Сравним значения выражений $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}$ и $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}$.

1. Вычислим значение первого выражения. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю, который равен 6:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3+2-1}{6} = \frac{4}{6}$

Сократим полученную дробь: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

2. Вычислим значение второго выражения, перемножив дроби:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 3 \cdot 6} = \frac{1}{36}$

3. Сравним полученные результаты: $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{36}$.

Чтобы сравнить дроби, приведем их к общему знаменателю 36:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 12} = \frac{24}{36}$

Так как $\frac{24}{36} > \frac{1}{36}$, то и $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} > \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} > \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}$.