Страница 25 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

90. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) 3,17 + 10,2 + 0,83 + 9,8;
б) 4,11 + 15,5 + 0,89 + 4,4;
в) 15,21 – 3,9 – 4,7 + 6,79;
г) –4,27 + 3,8 – 5,73 – 3,3.

а) В выражении $3,17 + 10,2 + 0,83 + 9,8$ для рационального вычисления воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения. Сгруппируем слагаемые, которые в сумме дают целые или легко вычисляемые числа: $(3,17 + 0,83) + (10,2 + 9,8)$. Сумма в первой скобке равна $3,17 + 0,83 = 4$. Сумма во второй скобке равна $10,2 + 9,8 = 20$. Итоговый результат: $4 + 20 = 24$. Ответ: 24.

б) В выражении $4,11 + 15,5 + 0,89 + 4,4$ сгруппируем слагаемые для удобства. Удобно сложить $4,11$ и $0,89$, так как сумма их дробных частей равна единице ($0,11 + 0,89 = 1$). Получаем: $(4,11 + 0,89) + (15,5 + 4,4)$. Вычисляем сумму в первой скобке: $4,11 + 0,89 = 5$. Затем вычисляем сумму оставшихся чисел: $15,5 + 4,4 = 19,9$. Теперь сложим полученные результаты: $5 + 19,9 = 24,9$. Ответ: 24,9.

в) В выражении $15,21 – 3,9 – 4,7 + 6,79$ перегруппируем члены, чтобы упростить вычисления. Сложим положительные числа и вычтем сумму отрицательных: $(15,21 + 6,79) - (3,9 + 4,7)$. Сумма в первой скобке, где дробные части $0,21$ и $0,79$ в сумме дают $1$, равна: $15,21 + 6,79 = 22$. Сумма во второй скобке: $3,9 + 4,7 = 8,6$. Теперь выполним вычитание: $22 – 8,6 = 13,4$. Ответ: 13,4.

г) В выражении $–4,27 + 3,8 – 5,73 – 3,3$ сгруппируем отдельно отрицательные числа и отдельно остальные. Получаем: $(–4,27 – 5,73) + (3,8 – 3,3)$. Сумма в первой скобке, где дробные части $0,27$ и $0,73$ в сумме дают $1$, равна: $–4,27 – 5,73 = –(4,27 + 5,73) = –10$. Разность во второй скобке: $3,8 – 3,3 = 0,5$. Сложим полученные результаты: $–10 + 0,5 = –9,5$. Ответ: –9,5.

91. Найдите значение выражения:
а) 8,91 + 25,7 + 1,09;
б) 6,64 + 7,12 + 2,88;
в) 7,15 – 9,42 + 12,85 – 0,58;
г) 18,9 – 6,8 – 5,2 – 4,1.

а) $8,91 + 25,7 + 1,09$
Для удобства вычислений воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения. Сгруппируем слагаемые $8,91$ и $1,09$, так как их сумма дает целое число.
$8,91 + 25,7 + 1,09 = (8,91 + 1,09) + 25,7$
1. Найдем сумму в скобках: $8,91 + 1,09 = 10$.
2. Прибавим к результату оставшееся слагаемое: $10 + 25,7 = 35,7$.
Ответ: 35,7

б) $6,64 + 7,12 + 2,88$
Сгруппируем второе и третье слагаемые, так как их сумма дает целое число.
$6,64 + (7,12 + 2,88)$
1. Найдем сумму в скобках: $7,12 + 2,88 = 10$.
2. Прибавим к результату первое слагаемое: $6,64 + 10 = 16,64$.
Ответ: 16,64

в) $7,15 – 9,42 + 12,85 – 0,58$
Сгруппируем отдельно положительные и отрицательные числа для удобства вычислений.
$(7,15 + 12,85) – (9,42 + 0,58)$
1. Найдем сумму в первой скобке: $7,15 + 12,85 = 20$.
2. Найдем сумму во второй скобке: $9,42 + 0,58 = 10$.
3. Выполним вычитание: $20 – 10 = 10$.
Ответ: 10

г) $18,9 – 6,8 – 5,2 – 4,1$
Можно выносить общий знак минус за скобки для вычитаемых или выполнять действия по порядку. Сгруппируем вычитаемые.
$18,9 – (6,8 + 5,2 + 4,1)$
1. Найдем сумму чисел в скобках. Сначала сложим $6,8$ и $5,2$: $6,8 + 5,2 = 12$.
2. Затем прибавим $4,1$: $12 + 4,1 = 16,1$.
3. Выполним вычитание из уменьшаемого: $18,9 – 16,1 = 2,8$.
Ответ: 2,8

92. Выполните действие и объясните, какие свойства сложения были при этом использованы:

а) 518 + 1334; б) 1956 + 1013.

а) Чтобы выполнить сложение $5\frac{1}{8} + 13\frac{3}{4}$, мы используем свойства сложения, которые позволяют нам работать с целыми и дробными частями смешанных чисел по отдельности. Каждое смешанное число можно представить как сумму его целой и дробной части.

1. Представим смешанные числа в виде суммы:
$5\frac{1}{8} + 13\frac{3}{4} = (5 + \frac{1}{8}) + (13 + \frac{3}{4})$

2. Используя переместительное ($a+b=b+a$) и сочетательное ($a+(b+c)=(a+b)+c$) свойства сложения, мы можем перегруппировать слагаемые так, чтобы сложить целые части с целыми, а дробные с дробными:

$(5 + 13) + (\frac{1}{8} + \frac{3}{4})$

3. Сложим целые части:

$5 + 13 = 18$

4. Сложим дробные части. Для этого приведем их к общему знаменателю, который равен 8:

$\frac{1}{8} + \frac{3}{4} = \frac{1}{8} + \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8} + \frac{6}{8} = \frac{1+6}{8} = \frac{7}{8}$

5. Сложим полученные результаты:

$18 + \frac{7}{8} = 18\frac{7}{8}$

Таким образом, при решении были использованы переместительное и сочетательное свойства сложения, которые позволили упростить вычисления.

Ответ: $18\frac{7}{8}$

б) Выполним сложение $19\frac{5}{6} + 10\frac{1}{3}$, используя тот же подход.

1. Представим смешанные числа в виде суммы целой и дробной частей:

$19\frac{5}{6} + 10\frac{1}{3} = (19 + \frac{5}{6}) + (10 + \frac{1}{3})$

2. Применим переместительное и сочетательное свойства сложения для перегруппировки слагаемых:

$(19 + 10) + (\frac{5}{6} + \frac{1}{3})$

3. Сложим целые части:

$19 + 10 = 29$

4. Сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю 6:

$\frac{5}{6} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5+2}{6} = \frac{7}{6}$

5. Полученная дробь $\frac{7}{6}$ является неправильной. Выделим из нее целую часть:

$\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$

6. Теперь сложим результат сложения целых частей (29) с полученным смешанным числом ($1\frac{1}{6}$):

$29 + 1\frac{1}{6} = (29+1) + \frac{1}{6} = 30 + \frac{1}{6} = 30\frac{1}{6}$

В этом примере также были использованы переместительное и сочетательное свойства сложения.

Ответ: $30\frac{1}{6}$

93. Найдите значение выражения:

а) 534− 217 + 11 4 − 467; б) 823 − 635 − 225 + 179.

а) $5\frac{3}{4} - 2\frac{1}{7} + 1\frac{1}{4} - 4\frac{6}{7}$
Для удобства вычислений сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями.
$5\frac{3}{4} - 2\frac{1}{7} + 1\frac{1}{4} - 4\frac{6}{7} = (5\frac{3}{4} + 1\frac{1}{4}) - (2\frac{1}{7} + 4\frac{6}{7})$
Теперь вычислим значение каждой скобки отдельно.
1) Складываем смешанные числа с одинаковыми знаменателями:
$5\frac{3}{4} + 1\frac{1}{4} = (5+1) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) = 6 + \frac{4}{4} = 6 + 1 = 7$
2) Вычисляем вторую скобку:
$2\frac{1}{7} + 4\frac{6}{7} = (2+4) + (\frac{1}{7} + \frac{6}{7}) = 6 + \frac{7}{7} = 6 + 1 = 7$
3) Подставляем полученные значения обратно в выражение:
$7 - 7 = 0$
Ответ: 0

б) $8\frac{2}{3} - 6\frac{3}{5} - 2\frac{2}{5} + 1\frac{7}{9}$
Сгруппируем слагаемые для упрощения вычислений. Сначала сгруппируем числа с одинаковыми знаменателями, а затем остальные.
$8\frac{2}{3} - 6\frac{3}{5} - 2\frac{2}{5} + 1\frac{7}{9} = (8\frac{2}{3} + 1\frac{7}{9}) - (6\frac{3}{5} + 2\frac{2}{5})$
Вычислим значение каждой скобки.
1) Для вычисления первой скобки приведем дроби к общему знаменателю 9:
$8\frac{2}{3} = 8\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = 8\frac{6}{9}$
Теперь сложим смешанные числа:
$8\frac{6}{9} + 1\frac{7}{9} = (8+1) + (\frac{6}{9} + \frac{7}{9}) = 9 + \frac{13}{9} = 9 + 1\frac{4}{9} = 10\frac{4}{9}$
2) Вычислим вторую скобку:
$6\frac{3}{5} + 2\frac{2}{5} = (6+2) + (\frac{3}{5} + \frac{2}{5}) = 8 + \frac{5}{5} = 8 + 1 = 9$
3) Подставим полученные значения обратно в выражение и найдем разность:
$10\frac{4}{9} - 9 = 1\frac{4}{9}$
Ответ: $1\frac{4}{9}$

94. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) 50 · 1,34 · 0,2;
б) –75,7 · 0,5 · 20;
в) 25 · (–15,8) · 4;
г) 0,47 · 0,4 · 25.

а) $50 \cdot 1,34 \cdot 0,2$

Чтобы вычислить это выражение наиболее рациональным способом, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения. Сгруппируем множители $50$ и $0,2$, так как их произведение равно целому числу, что упрощает дальнейшие вычисления.

1. Сначала умножим $50$ на $0,2$:

$50 \cdot 0,2 = 10$

2. Затем умножим полученный результат на $1,34$:

$10 \cdot 1,34 = 13,4$

Таким образом, выражение можно записать как:

$50 \cdot 1,34 \cdot 0,2 = (50 \cdot 0,2) \cdot 1,34 = 10 \cdot 1,34 = 13,4$

Ответ: $13,4$

б) $-75,7 \cdot 0,5 \cdot 20$

Для рационального вычисления сгруппируем множители $0,5$ и $20$. Их произведение является целым числом.

1. Умножим $0,5$ на $20$:

$0,5 \cdot 20 = 10$

2. Теперь умножим $-75,7$ на результат:

$-75,7 \cdot 10 = -757$

Полное решение:

$-75,7 \cdot 0,5 \cdot 20 = -75,7 \cdot (0,5 \cdot 20) = -75,7 \cdot 10 = -757$

Ответ: $-757$

в) $25 \cdot (-15,8) \cdot 4$

В этом примере удобно сначала перемножить $25$ и $4$, так как их произведение дает "круглое" число $100$, что упрощает умножение на десятичную дробь.

1. Умножим $25$ на $4$:

$25 \cdot 4 = 100$

2. Затем умножим полученное число на $-15,8$:

$100 \cdot (-15,8) = -1580$

Применяя переместительное свойство умножения:

$25 \cdot (-15,8) \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot (-15,8) = 100 \cdot (-15,8) = -1580$

Ответ: $-1580$

г) $0,47 \cdot 0,4 \cdot 25$

Здесь наиболее рационально сгруппировать множители $0,4$ и $25$, так как их произведение — целое число.

1. Найдем произведение $0,4$ и $25$:

$0,4 \cdot 25 = 10$

2. Умножим $0,47$ на полученный результат:

$0,47 \cdot 10 = 4,7$

Таким образом, решение выглядит так:

$0,47 \cdot (0,4 \cdot 25) = 0,47 \cdot 10 = 4,7$

Ответ: $4,7$

95. Используя распределительное свойство умножения, выполните действие:

а) Чтобы умножить смешанное число на натуральное число с помощью распределительного свойства, представим смешанное число в виде суммы его целой и дробной частей. Затем умножим натуральное число на каждую часть и сложим результаты.
Представим $3\frac{1}{8}$ как сумму $(3 + \frac{1}{8})$.
$3\frac{1}{8} \cdot 5 = (3 + \frac{1}{8}) \cdot 5 = 3 \cdot 5 + \frac{1}{8} \cdot 5 = 15 + \frac{5}{8} = 15\frac{5}{8}$.
Ответ: $15\frac{5}{8}$.

б) Представим смешанное число $2\frac{3}{7}$ в виде суммы $(2 + \frac{3}{7})$.
$7 \cdot 2\frac{3}{7} = 7 \cdot (2 + \frac{3}{7}) = 7 \cdot 2 + 7 \cdot \frac{3}{7} = 14 + \frac{21}{7} = 14 + 3 = 17$.
Ответ: $17$.

в) Представим смешанное число $2\frac{2}{5}$ в виде суммы $(2 + \frac{2}{5})$.
$2\frac{2}{5} \cdot 10 = (2 + \frac{2}{5}) \cdot 10 = 2 \cdot 10 + \frac{2}{5} \cdot 10 = 20 + \frac{20}{5} = 20 + 4 = 24$.
Ответ: $24$.

г) Представим смешанное число $4\frac{5}{12}$ в виде суммы $(4 + \frac{5}{12})$.
$6 \cdot 4\frac{5}{12} = 6 \cdot (4 + \frac{5}{12}) = 6 \cdot 4 + 6 \cdot \frac{5}{12} = 24 + \frac{30}{12}$.
Сократим дробь $\frac{30}{12}$ на 6: $\frac{30 \div 6}{12 \div 6} = \frac{5}{2}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.
Сложим результаты: $24 + 2\frac{1}{2} = 26\frac{1}{2}$.
Ответ: $26\frac{1}{2}$.

96. Найдите значение выражения:

а) 3,5 · 6,8 + 3,5 · 3,2;
б) 12,4 · 14,3 – 12,4 · 4,3.

а) $3,5 \cdot 6,8 + 3,5 \cdot 3,2$

Для упрощения вычислений воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения, которое можно записать в виде формулы: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.

В данном выражении общим множителем является число $3,5$. Вынесем его за скобки:

$3,5 \cdot 6,8 + 3,5 \cdot 3,2 = 3,5 \cdot (6,8 + 3,2)$

Сначала выполним сложение в скобках:

$6,8 + 3,2 = 10$

Теперь умножим полученный результат на общий множитель:

$3,5 \cdot 10 = 35$

Ответ: 35

б) $12,4 \cdot 14,3 - 12,4 \cdot 4,3$

Здесь мы можем применить распределительное свойство умножения относительно вычитания, которое записывается как: $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$.

Общим множителем в этом выражении является число $12,4$. Вынесем его за скобки:

$12,4 \cdot 14,3 - 12,4 \cdot 4,3 = 12,4 \cdot (14,3 - 4,3)$

Сначала выполним вычитание в скобках:

$14,3 - 4,3 = 10$

Далее умножим полученную разность на общий множитель:

$12,4 \cdot 10 = 124$

Ответ: 124

97. Вычислите:

а) 15,7 · 3,09 + 15,7 · 2,91;
б) 4,03 · 27,9 – 17,9 · 4,03.

а) $15,7 \cdot 3,09 + 15,7 \cdot 2,91$

Для упрощения вычислений воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения, которое гласит: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.

В данном выражении общий множитель — это $15,7$. Вынесем его за скобки:

$15,7 \cdot 3,09 + 15,7 \cdot 2,91 = 15,7 \cdot (3,09 + 2,91)$

Сначала выполним сложение в скобках:

$3,09 + 2,91 = 6$

Теперь умножим результат на общий множитель:

$15,7 \cdot 6 = 94,2$

Ответ: $94,2$

б) $4,03 \cdot 27,9 - 17,9 \cdot 4,03$

Для упрощения вычислений воспользуемся распределительным свойством умножения относительно вычитания: $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$.

В данном выражении общий множитель — это $4,03$. Вынесем его за скобки:

$4,03 \cdot 27,9 - 17,9 \cdot 4,03 = 4,03 \cdot (27,9 - 17,9)$

Сначала выполним вычитание в скобках:

$27,9 - 17,9 = 10$

Теперь умножим результат на общий множитель:

$4,03 \cdot 10 = 40,3$

Ответ: $40,3$

98. Докажите, что:
а) сумма 24 · 17 + 17 · 6 делится на 5;
б) сумма 34 · 85 + 34 · 36 делится на 11.

а) Чтобы доказать, что сумма $24 \cdot 17 + 17 \cdot 6$ делится на 5, преобразуем данное выражение. Используя распределительное свойство умножения, вынесем общий множитель 17 за скобки:
$24 \cdot 17 + 17 \cdot 6 = 17 \cdot (24 + 6)$.
Вычислим сумму в скобках:
$24 + 6 = 30$.
Исходное выражение становится равным произведению:
$17 \cdot 30$.
Произведение делится на число, если хотя бы один из его множителей делится на это число. В данном случае множитель 30 делится на 5 ($30 : 5 = 6$). Следовательно, всё произведение $17 \cdot 30$ делится на 5.
Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что сумма $34 \cdot 85 + 34 \cdot 36$ делится на 11, поступим аналогичным образом. Вынесем общий множитель 34 за скобки:
$34 \cdot 85 + 34 \cdot 36 = 34 \cdot (85 + 36)$.
Вычислим сумму в скобках:
$85 + 36 = 121$.
Исходное выражение становится равным произведению:
$34 \cdot 121$.
Проверим, делится ли один из множителей на 11. Множитель 121 делится на 11 ($121 : 11 = 11$). Так как один из множителей произведения делится на 11, то и всё произведение $34 \cdot 121$ делится на 11.
Ответ: Доказано.

99. Для детского сада купили 5 наборов карандашей и 10 альбомов для рисования. Набор карандашей стоит a рублей, а альбом стоит b рублей. Какова стоимость покупки?

Чтобы найти общую стоимость покупки, необходимо сложить стоимость всех наборов карандашей и стоимость всех альбомов. Для этого сначала вычислим стоимость каждой группы товаров отдельно.

1. Стоимость наборов карандашей
Купили 5 наборов карандашей. Цена одного набора составляет $a$ рублей. Чтобы найти стоимость всех наборов, нужно умножить количество наборов на цену одного набора.
Стоимость карандашей: $5 \times a = 5a$ (рублей).

2. Стоимость альбомов
Купили 10 альбомов. Цена одного альбома составляет $b$ рублей. Чтобы найти стоимость всех альбомов, нужно умножить количество альбомов на цену одного альбома.
Стоимость альбомов: $10 \times b = 10b$ (рублей).

3. Общая стоимость покупки
Теперь сложим стоимость карандашей и стоимость альбомов, чтобы найти общую стоимость всей покупки.
Общая стоимость = (стоимость карандашей) + (стоимость альбомов).
Общая стоимость = $5a + 10b$ (рублей).

Ответ: $5a + 10b$ рублей.

100. Автомобиль двигался t ч со скоростью 60 км/ч и p ч со скоростью 50 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля?

Средняя скорость вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения.

1. Найдем путь, пройденный на первом участке.
Автомобиль двигался $t$ ч со скоростью $60$ км/ч. Путь $S_1$, пройденный на этом участке, равен:
$S_1 = 60 \cdot t$ (км).

2. Найдем путь, пройденный на втором участке.
Автомобиль двигался $p$ ч со скоростью $50$ км/ч. Путь $S_2$, пройденный на этом участке, равен:
$S_2 = 50 \cdot p$ (км).

3. Найдем общий путь и общее время.
Общий путь $S_{общ}$ — это сумма путей на двух участках:
$S_{общ} = S_1 + S_2 = 60t + 50p$ (км).
Общее время движения $T_{общ}$ — это сумма времени на двух участках:
$T_{общ} = t + p$ (ч).

4. Найдем среднюю скорость.
Средняя скорость $v_{ср}$ равна общему пути, деленному на общее время:
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}} = \frac{60t + 50p}{t + p}$ (км/ч).

Ответ: $\frac{60t + 50p}{t + p}$ км/ч.

101. Найдите координаты точек, отмеченных на координатной прямой (рис. 5).

Для того чтобы найти координаты отмеченных точек, сначала определим цену деления координатной прямой. Расстояние между двумя соседними целыми числами, например, между 0 и 1, разделено на 4 равных отрезка. Это означает, что цена одного деления составляет:

$1 \div 4 = \frac{1}{4} = 0,25$

Теперь, зная цену деления, мы можем найти координату каждой точки.

A

Точка A расположена правее отметки 1 на 2 деления. Чтобы найти её координату, прибавим к 1 два значения цены деления:

$1 + 2 \cdot 0,25 = 1 + 0,5 = 1,5$

Ответ: $A(1,5)$

B

Точка B расположена левее отметки -1 на 2 деления. Чтобы найти её координату, вычтем из -1 два значения цены деления:

$-1 - 2 \cdot 0,25 = -1 - 0,5 = -1,5$

Alternatively, можно считать от -2. Точка B находится правее -2 на 2 деления:

$-2 + 2 \cdot 0,25 = -2 + 0,5 = -1,5$

Ответ: $B(-1,5)$

C

Точка C расположена левее начала координат (точки 0) на 1 деление. Её координата равна:

$0 - 1 \cdot 0,25 = -0,25$

Ответ: $C(-0,25)$

D

Точка D расположена правее начала координат (точки 0) на 3 деления. Её координата равна:

$0 + 3 \cdot 0,25 = 0,75$

Ответ: $D(0,75)$