Страница 31 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

124. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:

а) $3(6 - 5x) + 17x - 10$

Для решения этого выражения сначала раскроем скобки, умножив 3 на каждый член внутри скобок, используя распределительное свойство умножения:

$3 \cdot 6 - 3 \cdot 5x + 17x - 10 = 18 - 15x + 17x - 10$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые: члены с переменной $x$ и числовые члены (константы).

$(-15x + 17x) + (18 - 10) = 2x + 8$

Ответ: $2x + 8$

б) $8(3y + 4) - 29y + 14$

Раскроем скобки, умножив 8 на $3y$ и на 4:

$8 \cdot 3y + 8 \cdot 4 - 29y + 14 = 24y + 32 - 29y + 14$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(24y - 29y) + (32 + 14) = -5y + 46$

Ответ: $46 - 5y$

в) $7(2z - 3) + 6z - 12$

Раскроем скобки, умножив 7 на каждый член внутри них:

$7 \cdot 2z - 7 \cdot 3 + 6z - 12 = 14z - 21 + 6z - 12$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(14z + 6z) + (-21 - 12) = 20z - 33$

Ответ: $20z - 33$

г) $2(7,3 - 1,6a) + 3,2a - 9,6$

Раскроем скобки, умножив 2 на каждый член внутри них:

$2 \cdot 7,3 - 2 \cdot 1,6a + 3,2a - 9,6 = 14,6 - 3,2a + 3,2a - 9,6$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Обратим внимание, что слагаемые с $a$ взаимно уничтожаются:

$(-3,2a + 3,2a) + (14,6 - 9,6) = 0 + 5 = 5$

Ответ: $5$

д) $-5(0,3b + 1,7) + 12,5 - 8,5b$

Раскроем скобки, умножив -5 на каждый член внутри них:

$-5 \cdot 0,3b - 5 \cdot 1,7 + 12,5 - 8,5b = -1,5b - 8,5 + 12,5 - 8,5b$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-1,5b - 8,5b) + (-8,5 + 12,5) = -10b + 4$

Ответ: $4 - 10b$

е) $-4(3,3 - 8c) + 4,8c + 5,2$

Раскроем скобки, умножив -4 на каждый член внутри них. При умножении отрицательного числа на отрицательное получится положительное:

$-4 \cdot 3,3 - (-4) \cdot 8c + 4,8c + 5,2 = -13,2 + 32c + 4,8c + 5,2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(32c + 4,8c) + (-13,2 + 5,2) = 36,8c - 8$

Ответ: $36,8c - 8$

125. Упростите выражение и найдите его значение:

а) 0,6(p – 3) + p + 2 при p = 0,5;

б) 4(0,5q – 6) – 14q + 21 при q = 13.

а)

Сначала упростим выражение $0,6(p - 3) + p + 2$.

1. Раскроем скобки, умножив $0,6$ на каждый член внутри скобок:

$0,6 \cdot p - 0,6 \cdot 3 + p + 2 = 0,6p - 1,8 + p + 2$

2. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с переменной $p$ и свободные члены):

$(0,6p + p) + (-1,8 + 2) = 1,6p + 0,2$

Теперь, когда выражение упрощено до $1,6p + 0,2$, подставим в него заданное значение $p = 0,5$.

$1,6 \cdot 0,5 + 0,2 = 0,8 + 0,2 = 1$

Ответ: 1

б)

Сначала упростим выражение $4(0,5q - 6) - 14q + 21$.

1. Раскроем скобки, умножив $4$ на каждый член внутри скобок:

$4 \cdot 0,5q - 4 \cdot 6 - 14q + 21 = 2q - 24 - 14q + 21$

2. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с переменной $q$ и свободные члены):

$(2q - 14q) + (-24 + 21) = -12q - 3$

Теперь, когда выражение упрощено до $-12q - 3$, подставим в него заданное значение $q = \frac{1}{3}$.

$-12 \cdot (\frac{1}{3}) - 3 = -\frac{12}{3} - 3 = -4 - 3 = -7$

Ответ: -7

126. Составьте выражение по условию задачи и упростите его:

а) У Игоря 3 альбома с марками. В первом альбоме a марок, во втором — на 15 марок больше, чем в первом, а в третьем — втрое больше, чем во втором. Сколько марок в трёх альбомах?

б) Пётр приобрёл 8 билетов лотереи «Надежда» и 6 билетов лотереи «Удача». Билет лотереи «Удача» стоил a р., а лотереи «Надежда» был на 10% дороже. Найдите стоимость покупки.

а)

Для того чтобы найти общее количество марок в трёх альбомах, нужно сложить количество марок в каждом из них.

1. Количество марок в первом альбоме по условию равно $a$.

2. Во втором альбоме на 15 марок больше, чем в первом. Значит, количество марок во втором альбоме равно $a + 15$.

3. В третьем альбоме втрое больше марок, чем во втором. Значит, количество марок в третьем альбоме равно $3 \cdot (a + 15)$.

4. Составим выражение для общего количества марок, сложив количество марок в каждом альбоме:

$a + (a + 15) + 3 \cdot (a + 15)$

5. Теперь упростим полученное выражение. Сначала раскроем скобки:

$a + a + 15 + 3 \cdot a + 3 \cdot 15 = a + a + 15 + 3a + 45$

6. Приведём подобные слагаемые (сложим все члены с переменной $a$ и все числовые члены):

$(a + a + 3a) + (15 + 45) = 5a + 60$

Ответ: $5a + 60$

б)

Чтобы найти общую стоимость покупки, нужно сложить стоимость всех билетов лотереи «Надежда» и всех билетов лотереи «Удача».

1. Стоимость одного билета лотереи «Удача» по условию равна $a$ р. Пётр купил 6 таких билетов, значит, их общая стоимость составляет $6 \cdot a = 6a$ р.

2. Билет лотереи «Надежда» на 10% дороже билета «Удачи». Найдём его стоимость. 10% от $a$ — это $0.1a$. Значит, стоимость одного билета «Надежда» равна:

$a + 0.1a = 1.1a$ р.

3. Пётр купил 8 билетов лотереи «Надежда». Их общая стоимость составляет:

$8 \cdot (1.1a) = 8.8a$ р.

4. Составим выражение для общей стоимости всей покупки, сложив стоимость билетов обоих видов:

$6a + 8.8a$

5. Упростим выражение:

$6a + 8.8a = (6 + 8.8)a = 14.8a$

Ответ: $14.8a$

127. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

а) 15 – 16 и 16 – 15;

б) 3,7 · 13 и 3,7 : 13;

в) 5,6 : 2,5 и 5,6 · 2,5.

Ответ запишите в виде неравенства.

Чтобы сравнить значения выражений, не вычисляя их, проанализируем каждое из них. Сравним дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Поскольку $5 < 6$, то $\frac{1}{5} > \frac{1}{6}$.
В первом выражении $\frac{1}{5} - \frac{1}{6}$ из большего числа вычитается меньшее, следовательно, результат будет положительным числом.
Во втором выражении $\frac{1}{6} - \frac{1}{5}$ из меньшего числа вычитается большее, следовательно, результат будет отрицательным числом.
Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Таким образом, первое выражение больше второго.

Ответ: $\frac{1}{5} - \frac{1}{6} > \frac{1}{6} - \frac{1}{5}$

Рассмотрим оба выражения. В первом выражении $3,7 \cdot \frac{1}{3}$ положительное число $3,7$ умножается на правильную дробь $\frac{1}{3}$ (т.е. на число, меньшее 1). В результате умножения положительного числа на число, меньшее 1, получается произведение, которое меньше исходного числа. Значит, $3,7 \cdot \frac{1}{3} < 3,7$.
Во втором выражении $3,7 : \frac{1}{3}$ происходит деление на правильную дробь. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Число, обратное к $\frac{1}{3}$, это $3$. Таким образом, $3,7 : \frac{1}{3} = 3,7 \cdot 3$. Так как $3 > 1$, результат умножения будет больше исходного числа $3,7$.
Поскольку первое выражение меньше $3,7$, а второе больше $3,7$, то первое выражение меньше второго.

Ответ: $3,7 \cdot \frac{1}{3} < 3,7 : \frac{1}{3}$

В данном случае мы сравниваем результат деления и умножения одного и того же положительного числа $5,6$ на число $2,5$, которое больше 1.
В первом выражении $5,6 : 2,5$ происходит деление положительного числа на число, большее 1. Результат такого деления всегда меньше делимого. Следовательно, $5,6 : 2,5 < 5,6$.
Во втором выражении $5,6 \cdot 2,5$ происходит умножение положительного числа на число, большее 1. Результат такого умножения всегда больше исходного числа. Следовательно, $5,6 \cdot 2,5 > 5,6$.
Так как значение первого выражения меньше $5,6$, а значение второго выражения больше $5,6$, то первое выражение меньше второго.

Ответ: $5,6 : 2,5 < 5,6 \cdot 2,5$

128. Техническое перевооружение цеха позволило выпускать в сутки 180 станков вместо 160. На сколько процентов повысился выпуск станков в сутки?

Для решения этой задачи необходимо найти, на сколько процентов новый выпуск станков (180 штук) больше первоначального (160 штук). Первоначальный выпуск принимается за 100%.

1. Сначала найдем абсолютное увеличение выпуска станков. Для этого вычтем из нового количества станков первоначальное:

$180 - 160 = 20$ станков.

2. Теперь найдем, какую долю составляет это увеличение (20 станков) от первоначального выпуска (160 станков).

$ \frac{20}{160} $

Сократим эту дробь:

$ \frac{20}{160} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} $

3. Чтобы выразить эту долю в процентах, умножим полученное значение на 100%.

$ \frac{1}{8} \times 100\% = \frac{100}{8}\% = 12.5\% $

Таким образом, выпуск станков повысился на 12,5%.

Ответ: Выпуск станков повысился на 12,5%.

129. Отметьте на координатной прямой точки, соответствующие числам:

–3,9; 2,6; –0,7; 3,2; –1,5; 1,25.

Для того чтобы отметить заданные числа на координатной прямой, необходимо сначала нарисовать саму прямую, выбрать на ней начало отсчета (точку $0$), единичный отрезок и положительное направление (обычно вправо). Затем нужно определить положение каждого числа относительно начала отсчета и других чисел.

Заданные для отметки числа: $-3,9; 2,6; -0,7; 3,2; -1,5; 1,25$.

Чтобы правильно расположить точки, удобно сначала упорядочить числа по возрастанию.
1. Сначала сравним отрицательные числа: $-3,9; -0,7; -1,5$. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Таким образом, самое маленькое число — это $-3,9$, за ним следует $-1,5$, а затем $-0,7$. Получаем: $-3,9 < -1,5 < -0,7$.
2. Теперь сравним положительные числа: $2,6; 3,2; 1,25$. Здесь все просто: $1,25 < 2,6 < 3,2$.
3. Объединяя обе группы, получаем общую последовательность от меньшего к большему: $-3,9 < -1,5 < -0,7 < 0 < 1,25 < 2,6 < 3,2$.

Теперь отметим эти точки на координатной прямой.
• Точка $-3,9$ находится очень близко к $-4$, левее $-3$.
• Точка $-1,5$ находится ровно посередине между $-1$ и $-2$.
• Точка $-0,7$ находится между $0$ и $-1$, ближе к $-1$.
• Точка $1,25$ находится между $1$ и $2$, на четверть расстояния от $1$ к $2$.
• Точка $2,6$ находится между $2$ и $3$, немного дальше середины.
• Точка $3,2$ находится между $3$ и $4$, близко к $3$.

Ниже представлено графическое решение задачи.

Ответ:

Переместительное свойство сложения (коммутативность сложения): от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Для любых чисел a и b справедливо равенство:
Ответ: $a + b = b + a$

Сочетательное свойство сложения (ассоциативность сложения): чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел. Для любых чисел a, b и c справедливо равенство:
Ответ: $(a + b) + c = a + (b + c)$

Переместительное свойство умножения (коммутативность умножения): от перестановки мест множителей произведение не меняется. Для любых чисел a и b справедливо равенство:
Ответ: $a \cdot b = b \cdot a$

Сочетательное свойство умножения (ассоциативность умножения): чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. Для любых чисел a, b и c справедливо равенство:
Ответ: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Распределительное свойство умножения относительно сложения (дистрибутивность): чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. Для любых чисел a, b и c справедливо равенство:
Ответ: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Распределительное свойство умножения относительно вычитания (дистрибутивность): чтобы умножить число на разность двух чисел, можно это число умножить на уменьшаемое и на вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе. Для любых чисел a, b и c справедливо равенство:
Ответ: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

Какие выражения называются тождественно равными?

Два выражения называются тождественно равными, если их значения равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных. Допустимыми называются такие значения переменных, при которых оба выражения имеют смысл (например, для выражения $1/x$ значение $x=0$ не является допустимым, так как деление на ноль не определено).

Равенство, которое является верным при любых допустимых значениях переменных, называется тождеством. Например, $a+b=b+a$ — это тождество, так как оно верно при любых $a$ и $b$. Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием.

Ответ: Два выражения называются тождественно равными, если их значения равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных.

Приведите пример тождественно равных выражений.

Примером тождественно равных выражений могут служить выражения $a(b+c)$ и $ab+ac$.

Эти выражения являются тождественно равными, так как равенство $a(b+c) = ab+ac$ является верным для любых значений переменных $a$, $b$ и $c$ на основании распределительного свойства умножения.

Рассмотрим конкретный пример: $5(x+2)$ и $5x+10$.
Для любого значения $x$ эти выражения будут равны. Проверим, подставив $x=3$:
Левая часть: $5(3+2) = 5 \cdot 5 = 25$
Правая часть: $5 \cdot 3 + 10 = 15 + 10 = 25$
Значения совпали. Мы можем доказать, что они равны для любого $x$, выполнив тождественное преобразование: $5(x+2) = 5 \cdot x + 5 \cdot 2 = 5x+10$.

Другой классический пример — формулы сокращенного умножения, например, формула разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. Выражения $(a-b)(a+b)$ и $a^2-b^2$ также являются тождественно равными.

Ответ: Примером тождественно равных выражений являются $a(b+c)$ и $ab+ac$.

Какое равенство называется тождеством?

Тождеством называют равенство, которое является верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Допустимые значения переменных — это такие значения, при которых обе части равенства (левая и правая) имеют смысл. Например, в выражении $\frac{a}{x-1}$ значение $x=1$ является недопустимым, так как оно приводит к делению на ноль, что является неопределенной операцией.

Ответ: Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях переменных, которые в него входят.

Приведите пример тождества.

В математике существует множество тождеств. К ним относятся, например, свойства арифметических операций, формулы сокращенного умножения, тригонометрические тождества и другие. Чтобы доказать, что равенство является тождеством, нужно выполнить тождественные преобразования одной из его частей так, чтобы она стала равна другой части.

Вот несколько примеров тождеств:

1. Распределительный закон умножения: $a(b + c) = ab + ac$. Это равенство верно для любых чисел $a$, $b$ и $c$.
2. Формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Это равенство справедливо для любых значений $a$ и $b$.
3. Формула разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$. Это тождество также верно для любых $x$ и $y$.
4. Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Равенство выполняется для любого значения угла $\alpha$.

Ответ: Примером тождества является формула разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Какие слагаемые называют подобными?

Подобными слагаемыми называют слагаемые в алгебраической сумме, которые имеют одинаковую буквенную часть, а отличаются друг от друга только числовыми коэффициентами (или не отличаются вовсе). Слагаемые, не имеющие буквенной части (свободные члены), также считаются подобными друг другу. Например, в выражении $12a + 7b - 5a - 3$ слагаемые $12a$ и $-5a$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $a$.

Ответ: Подобные слагаемые — это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть.

Что означает выражение «привести подобные слагаемые»?

Выражение «привести подобные слагаемые» означает упростить алгебраическое выражение путем сложения или вычитания подобных слагаемых. Чтобы это сделать, нужно сложить их коэффициенты, а результат умножить на их общую буквенную часть. Эта операция основана на распределительном свойстве умножения относительно сложения: $ac + bc = (a + b)c$. Например, привести подобные слагаемые в выражении $9x - 2x$ означает выполнить действие $(9 - 2)x$, что равно $7x$.

Ответ: «Привести подобные слагаемые» — это значит сложить коэффициенты этих слагаемых, а результат умножить на их общую буквенную часть, тем самым упрощая выражение.

Приведите подобные слагаемые в сумме $-5x + 4y - y - 3x$.

Для того чтобы привести подобные слагаемые в данном выражении, нужно выполнить следующие шаги:

1. Сгруппировать слагаемые с одинаковой буквенной частью. В выражении $-5x + 4y - y - 3x$ есть две группы подобных слагаемых:

• слагаемые с переменной $x$: $-5x$ и $-3x$;
• слагаемые с переменной $y$: $4y$ и $-y$.

2. Выполнить сложение внутри каждой группы. Для этого складываем их коэффициенты:

• Для слагаемых с $x$: $-5 - 3 = -8$. Результат: $-8x$.
• Для слагаемых с $y$ (учитывая, что коэффициент у $-y$ равен $-1$): $4 - 1 = 3$. Результат: $3y$.

3. Записать полученную сумму.

Полное решение выглядит так: $-5x + 4y - y - 3x = (-5x - 3x) + (4y - y) = (-5-3)x + (4-1)y = -8x + 3y$.

Ответ: $-8x + 3y$.