Страница 37 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

152. Решите уравнение:

а) $5x + (3x - 3) = 6x + 11$
Раскроем скобки в левой части уравнения. Так как перед скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых в скобках не меняются:
$5x + 3x - 3 = 6x + 11$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$8x - 3 = 6x + 11$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные:
$8x - 6x = 11 + 3$
Упростим обе части уравнения:
$2x = 14$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{14}{2}$
$x = 7$
Ответ: 7

б) $3a - (10 + 5a) = 54$
Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:
$3a - 10 - 5a = 54$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-2a - 10 = 54$
Перенесем свободный член $-10$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$-2a = 54 + 10$
Выполним сложение в правой части:
$-2a = 64$
Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на -2:
$a = \frac{64}{-2}$
$a = -32$
Ответ: -32

в) $(x - 7) - (2x + 9) = -13$
Раскроем скобки. Перед первыми скобками нет знака, поэтому просто убираем их. Перед вторыми скобками стоит минус, поэтому меняем знаки слагаемых внутри на противоположные:
$x - 7 - 2x - 9 = -13$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(x - 2x) + (-7 - 9) = -13$
$-x - 16 = -13$
Перенесем свободный член $-16$ в правую часть с противоположным знаком:
$-x = -13 + 16$
Выполним сложение в правой части:
$-x = 3$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на -1:
$x = -3$
Ответ: -3

г) $0,6 + (0,5y - 1) = y + 0,5$
Раскроем скобки в левой части. Так как перед скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых не меняются:
$0,6 + 0,5y - 1 = y + 0,5$
Приведем подобные слагаемые (числа) в левой части:
$0,5y - 0,4 = y + 0,5$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую:
$-0,4 - 0,5 = y - 0,5y$
Выполним вычисления в обеих частях:
$-0,9 = 0,5y$
Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на $0,5$:
$y = \frac{-0,9}{0,5}$
$y = -1,8$
Ответ: -1,8

153. При каком значении переменной значение выражения 8b − 27 равно: а) 5; б) −11; в) 1,8; г) −1?

Для того чтобы найти значение переменной $b$, при котором выражение $8b - 27$ принимает заданное значение, необходимо для каждого случая составить и решить линейное уравнение.

а)

Составим уравнение, приравняв выражение к 5:

$8b - 27 = 5$

Чтобы найти $8b$, перенесем слагаемое -27 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$8b = 5 + 27$

$8b = 32$

Теперь найдем $b$, разделив обе части уравнения на 8:

$b = \frac{32}{8}$

$b = 4$

Ответ: 4

б)

Составим уравнение, приравняв выражение к -11:

$8b - 27 = -11$

Перенесем -27 в правую часть уравнения:

$8b = -11 + 27$

$8b = 16$

Разделим обе части уравнения на 8:

$b = \frac{16}{8}$

$b = 2$

Ответ: 2

в)

Составим уравнение, приравняв выражение к 1,8:

$8b - 27 = 1,8$

Перенесем -27 в правую часть уравнения:

$8b = 1,8 + 27$

$8b = 28,8$

Разделим обе части уравнения на 8:

$b = \frac{28,8}{8}$

$b = 3,6$

Ответ: 3,6

г)

Составим уравнение, приравняв выражение к -1:

$8b - 27 = -1$

Перенесем -27 в правую часть уравнения:

$8b = -1 + 27$

$8b = 26$

Разделим обе части уравнения на 8:

$b = \frac{26}{8}$

Сократим полученную дробь на 2:

$b = \frac{13}{4}$

Представим результат в виде десятичной дроби:

$b = 3,25$

Ответ: 3,25

154. При каком значении переменной:
а) значения выражений 2m − 13 и m + 3 равны;
б) значение выражения 3 − 5с на 1 меньше значения выражения 1 − с;
в) значение выражения 2x + 1 на 20 больше значения выражения 8х + 5;
г) значение х в 3 раза меньше значения выражения 45 − 10х;
д) значение выражения 9 − у в 2 раза больше значения у?

а) Чтобы значения выражений $2m - 13$ и $m + 3$ были равны, необходимо их приравнять и решить полученное уравнение:

$2m - 13 = m + 3$

Перенесем члены, содержащие переменную $m$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую, меняя знак при переносе:

$2m - m = 3 + 13$

Выполним вычисления в обеих частях уравнения:

$m = 16$

Ответ: $m = 16$.

б) Условие "значение выражения $3 - 5c$ на 1 меньше значения выражения $1 - c$" означает, что если к первому выражению прибавить 1, оно станет равно второму. Составим уравнение:

$(3 - 5c) + 1 = 1 - c$

Упростим левую часть уравнения:

$4 - 5c = 1 - c$

Перенесем члены, содержащие переменную $c$, в правую часть, а постоянные члены — в левую:

$4 - 1 = 5c - c$

Выполним вычисления:

$3 = 4c$

Чтобы найти $c$, разделим обе части на 4:

$c = \frac{3}{4}$

Ответ: $c = \frac{3}{4}$.

в) Условие "значение выражения $2x + 1$ на 20 больше значения выражения $8x + 5$" означает, что первое выражение равно второму, сложенному с 20. Составим уравнение:

$2x + 1 = (8x + 5) + 20$

Упростим правую часть уравнения:

$2x + 1 = 8x + 25$

Перенесем члены, содержащие переменную $x$, в правую часть, а постоянные члены — в левую:

$1 - 25 = 8x - 2x$

Выполним вычисления:

$-24 = 6x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 6:

$x = \frac{-24}{6}$

$x = -4$

Ответ: $x = -4$.

г) Условие "значение $x$ в 3 раза меньше значения выражения $45 - 10x$" означает, что если умножить $x$ на 3, результат будет равен выражению $45 - 10x$. Составим уравнение:

$3 \cdot x = 45 - 10x$

Перенесем член, содержащий переменную $x$, из правой части в левую:

$3x + 10x = 45$

Выполним сложение в левой части:

$13x = 45$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 13:

$x = \frac{45}{13}$

Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $x = 3 \frac{6}{13}$.

Ответ: $x = \frac{45}{13}$.

д) Условие "значение выражения $9 - y$ в 2 раза больше значения $y$" означает, что выражение $9 - y$ равно удвоенному значению $y$. Составим уравнение:

$9 - y = 2 \cdot y$

Перенесем член, содержащий переменную $y$, из левой части в правую:

$9 = 2y + y$

Выполним сложение в правой части:

$9 = 3y$

Чтобы найти $y$, разделим обе части на 3:

$y = \frac{9}{3}$

$y = 3$

Ответ: $y = 3$.

155. При каком значении у:
а) значения выражений 5у + 3 и 36 − у равны;
б) значение выражения 7у − 2 больше значения выражения 2у на 10;
в) значение выражения 1,7у + 37 меньше значения выражения 9,3у − 25 на 14?

а) Чтобы найти значение $y$, при котором значения выражений $5y+3$ и $36-y$ равны, необходимо составить и решить уравнение, приравняв эти выражения друг к другу.

Составляем уравнение:
$5y + 3 = 36 - y$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые (константы) — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.
$5y + y = 36 - 3$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
$6y = 33$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 6:
$y = \frac{33}{6}$
$y = 5,5$

Ответ: $5,5$.

б) Условие "значение выражения $7y-2$ больше значения выражения $2y$ на 10" означает, что если из первого выражения вычесть второе, то получится 10. Это можно записать в виде следующего уравнения.

Составляем уравнение:
$(7y - 2) - 2y = 10$
Это уравнение эквивалентно следующему:
$7y - 2 = 2y + 10$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а константы — в правую:
$7y - 2y = 10 + 2$

Приведем подобные слагаемые:
$5y = 12$

Найдем $y$, разделив обе части на 5:
$y = \frac{12}{5}$
$y = 2,4$

Ответ: $2,4$.

в) Условие "значение выражения $1,7y+37$ меньше значения выражения $9,3y-25$ на 14" означает, что разность между большим выражением ($9,3y-25$) и меньшим выражением ($1,7y+37$) равна 14.

Составляем уравнение:
$(9,3y - 25) - (1,7y + 37) = 14$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак "минус", знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:
$9,3y - 25 - 1,7y - 37 = 14$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: слагаемые с $y$ и числовые слагаемые:
$(9,3y - 1,7y) + (-25 - 37) = 14$
$7,6y - 62 = 14$

Перенесем -62 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$7,6y = 14 + 62$
$7,6y = 76$

Найдем $y$, разделив обе части на 7,6:
$y = \frac{76}{7,6}$
$y = 10$

Ответ: $10$.

156. Решите уравнение:

а) $2x + 5 = 2(x + 1) + 11$

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения, умножив 2 на каждое слагаемое в скобках:

$2x + 5 = 2 \cdot x + 2 \cdot 1 + 11$

$2x + 5 = 2x + 2 + 11$

Теперь сложим числа в правой части:

$2x + 5 = 2x + 13$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а все числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный:

$2x - 2x = 13 - 5$

Выполним вычисления в обеих частях:

$0 \cdot x = 8$

$0 = 8$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение не имеет решений (корней).

Ответ: корней нет.

б) $5(2y - 4) = 2(5y - 10)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$5 \cdot 2y - 5 \cdot 4 = 2 \cdot 5y - 2 \cdot 10$

$10y - 20 = 10y - 20$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числа — в правую:

$10y - 10y = -20 + 20$

Выполним вычисления:

$0 \cdot y = 0$

$0 = 0$

Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от значения переменной $y$. Это означает, что любое число является решением данного уравнения.

Ответ: $y$ — любое число.

в) $3y - (y - 19) = 2y$

Раскроем скобки в левой части. Поскольку перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$3y - y + 19 = 2y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2y + 19 = 2y$

Перенесем слагаемое $2y$ из правой части в левую:

$2y - 2y + 19 = 0$

$19 = 0$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что у уравнения нет корней.

Ответ: корней нет.

г) $6x = 1 - (4 - 6x)$

Раскроем скобки в правой части уравнения. Знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее:

$6x = 1 - 4 + 6x$

Выполним вычитание чисел в правой части:

$6x = -3 + 6x$

Перенесем слагаемое $6x$ из правой части в левую:

$6x - 6x = -3$

Выполним вычитание в левой части:

$0 = -3$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

157. Решите уравнение:

а) $15(x + 2) - 30 = 12x$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, умножив 15 на каждый член в скобках:

$15 \cdot x + 15 \cdot 2 - 30 = 12x$

$15x + 30 - 30 = 12x$

Упростим левую часть, выполнив вычитание:

$15x = 12x$

Теперь перенесем член $12x$ из правой части в левую с противоположным знаком, чтобы собрать все члены с $x$ в одной стороне:

$15x - 12x = 0$

Выполним вычитание:

$3x = 0$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{0}{3}$

$x = 0$

Ответ: $0$.

б) $6(1 + 5x) = 5(1 + 6x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$6 \cdot 1 + 6 \cdot 5x = 5 \cdot 1 + 5 \cdot 6x$

$6 + 30x = 5 + 30x$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены (числа) - в правую:

$30x - 30x = 5 - 6$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$0 \cdot x = -1$

$0 = -1$

Мы получили неверное равенство, которое не зависит от значения $x$. Это означает, что ни при каком значении $x$ равенство не будет верным. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

в) $3y + (y - 2) = 2(2y - 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части просто убираем скобки, так как перед ними стоит знак плюс. В правой части умножаем 2 на каждый член в скобках:

$3y + y - 2 = 2 \cdot 2y - 2 \cdot 1$

$3y + y - 2 = 4y - 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4y - 2 = 4y - 2$

Мы видим, что левая и правая части уравнения идентичны. Такое равенство называется тождеством, и оно верно при любом значении переменной $y$.

Ответ: $y$ - любое число.

г) $6y - (y - 1) = 4 + 5y$

Раскроем скобки в левой части. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки всех членов внутри скобки меняются на противоположные:

$6y - y + 1 = 4 + 5y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5y + 1 = 4 + 5y$

Перенесем все члены с переменной $y$ в левую часть, а постоянные члены - в правую:

$5y - 5y = 4 - 1$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$0 \cdot y = 3$

$0 = 3$

Мы получили неверное равенство, которое не зависит от значения $y$. Это означает, что уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

158.Решите уравнение:

а) Дано уравнение $|x - 6| = 0$.
Модуль выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение, стоящее под знаком модуля, равно нулю.
Следовательно, мы можем записать:
$x - 6 = 0$
Переносим -6 в правую часть уравнения, меняя знак на противоположный:
$x = 6$
Ответ: 6

б) Дано уравнение $|x - 1| = 5$.
Если модуль выражения равен положительному числу $a$, то само выражение равно либо $a$, либо $-a$. В данном случае $a=5$.
Рассмотрим два возможных случая:
1) Выражение под модулем равно 5:
$x - 1 = 5$
$x = 5 + 1$
$x_1 = 6$
2) Выражение под модулем равно -5:
$x - 1 = -5$
$x = -5 + 1$
$x_2 = -4$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: -4; 6

в) Дано уравнение $16 - 3|x| = 4$.
Сначала необходимо изолировать член, содержащий модуль. Для этого перенесем 16 в правую часть:
$-3|x| = 4 - 16$
$-3|x| = -12$
Теперь разделим обе части уравнения на -3:
$|x| = \frac{-12}{-3}$
$|x| = 4$
Это уравнение имеет два решения, так как модуль 4 имеют два числа: 4 и -4.
$x_1 = 4$
$x_2 = -4$
Ответ: -4; 4

г) Дано уравнение $26 + 6|x| = 144$.
Изолируем член с модулем. Перенесем 26 в правую часть:
$6|x| = 144 - 26$
$6|x| = 118$
Разделим обе части уравнения на 6:
$|x| = \frac{118}{6}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$|x| = \frac{59}{3}$
Это уравнение имеет два корня:
$x_1 = \frac{59}{3}$
$x_2 = -\frac{59}{3}$
Эти дроби можно представить в виде смешанных чисел: $19\frac{2}{3}$ и $-19\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{59}{3}; \frac{59}{3}$

159.Найдите корни уравнения:

а) |х − 2| − 6 = 17;
б) 31 + 4 · |4 − х| = 47.

а) Решим уравнение $|x - 2| - 6 = 17$.

Для начала, изолируем модуль в левой части уравнения. Для этого перенесем $-6$ в правую часть, изменив знак на противоположный:

$|x - 2| = 17 + 6$

$|x - 2| = 23$

Уравнение с модулем вида $|A| = B$ (при $B \geq 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$.

Таким образом, получаем два случая:

1) Раскрываем модуль с положительным знаком:

$x - 2 = 23$

$x = 23 + 2$

$x_1 = 25$

2) Раскрываем модуль с отрицательным знаком:

$x - 2 = -23$

$x = -23 + 2$

$x_2 = -21$

Уравнение имеет два корня: $25$ и $-21$.

Ответ: $-21; 25$.

б) Решим уравнение $31 + 4 \cdot |4 - x| = 47$.

Сначала изолируем выражение, содержащее модуль. Перенесем $31$ в правую часть уравнения:

$4 \cdot |4 - x| = 47 - 31$

$4 \cdot |4 - x| = 16$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент перед модулем, то есть на $4$:

$|4 - x| = \frac{16}{4}$

$|4 - x| = 4$

Это уравнение также распадается на два случая. Заметим, что $|4-x| = |x-4|$, поэтому можно решать и уравнение $|x-4|=4$. Но мы продолжим с исходным видом.

1) Раскрываем модуль с положительным знаком:

$4 - x = 4$

$-x = 4 - 4$

$-x = 0$

$x_1 = 0$

2) Раскрываем модуль с отрицательным знаком:

$4 - x = -4$

$-x = -4 - 4$

$-x = -8$

$x_2 = 8$

Уравнение имеет два корня: $0$ и $8$.

Ответ: $0; 8$.

160. Выполните действия:

$\mathrm{а}) \left(3\frac{7}{30} - 1\frac{5}{12}\right) : 18\frac{1}{6};$

$\mathrm{б}) \left(1\frac{1}{2} + 2\frac{2}{3}\right) : 1\frac{2}{3};$

$\mathrm{в}) \left(\frac{11}{18} - 1\frac{7}{12}\right) · \left(2\frac{1}{6} + \frac{7}{30}\right);$

$\mathrm{г}) \left(3\frac{2}{5} - 5\right) · (\frac{31}{48} + \frac{7}{24}).$

а) $\left(3\frac{7}{30}-1\frac{5}{12}\right):18\frac{1}{6}$
1) Сначала выполним действие в скобках. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$3\frac{7}{30} = \frac{3 \cdot 30 + 7}{30} = \frac{97}{30}$
$1\frac{5}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{17}{12}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 30 и 12 это 60.
$\frac{97}{30} - \frac{17}{12} = \frac{97 \cdot 2}{60} - \frac{17 \cdot 5}{60} = \frac{194}{60} - \frac{85}{60} = \frac{194-85}{60} = \frac{109}{60}$
2) Теперь преобразуем делитель $18\frac{1}{6}$ в неправильную дробь:
$18\frac{1}{6} = \frac{18 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{108+1}{6} = \frac{109}{6}$
3) Выполним деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$\frac{109}{60} : \frac{109}{6} = \frac{109}{60} \cdot \frac{6}{109}$
Сократим общие множители 109 и 6:
$\frac{109}{60} \cdot \frac{6}{109} = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{10}$
Ответ: $\frac{1}{10}$.

б) $\left(1\frac{1}{2}+2\frac{2}{3}\right):1\frac{2}{3}$
1) Выполним сложение в скобках. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{3}{2} + \frac{8}{3} = \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{8 \cdot 2}{6} = \frac{9}{6} + \frac{16}{6} = \frac{9+16}{6} = \frac{25}{6}$
2) Преобразуем делитель $1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь:
$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$
3) Выполним деление:
$\frac{25}{6} : \frac{5}{3} = \frac{25}{6} \cdot \frac{3}{5}$
Сократим дроби (25 и 5 на 5, 6 и 3 на 3):
$\frac{25}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$
Ответ: $2\frac{1}{2}$.

в) $\left(\frac{11}{18}-1\frac{7}{12}\right)\cdot\left(2\frac{1}{6}+\frac{7}{30}\right)$
1) Выполним действие в первых скобках. Преобразуем $1\frac{7}{12}$ в неправильную дробь и найдем разность:
$1\frac{7}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 7}{12} = \frac{19}{12}$
Общий знаменатель для 18 и 12 это 36.
$\frac{11}{18} - \frac{19}{12} = \frac{11 \cdot 2}{36} - \frac{19 \cdot 3}{36} = \frac{22-57}{36} = -\frac{35}{36}$
2) Выполним действие во вторых скобках. Преобразуем $2\frac{1}{6}$ в неправильную дробь и найдем сумму:
$2\frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{13}{6}$
Общий знаменатель для 6 и 30 это 30.
$\frac{13}{6} + \frac{7}{30} = \frac{13 \cdot 5}{30} + \frac{7}{30} = \frac{65+7}{30} = \frac{72}{30}$
Сократим дробь $\frac{72}{30}$ на 6: $\frac{72:6}{30:6} = \frac{12}{5}$
3) Перемножим результаты:
$-\frac{35}{36} \cdot \frac{12}{5}$
Сократим дроби (35 и 5 на 5, 36 и 12 на 12):
$-\frac{35}{36} \cdot \frac{12}{5} = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$
Ответ: $-2\frac{1}{3}$.

г) $\left(3\frac{2}{5}-5\right)\cdot\left(\frac{31}{48}+\frac{7}{24}\right)$
1) Выполним действие в первых скобках:
$3\frac{2}{5} - 5 = \frac{17}{5} - \frac{25}{5} = \frac{17-25}{5} = -\frac{8}{5}$
2) Выполним действие во вторых скобках. Общий знаменатель для 48 и 24 это 48.
$\frac{31}{48} + \frac{7}{24} = \frac{31}{48} + \frac{7 \cdot 2}{48} = \frac{31+14}{48} = \frac{45}{48}$
Сократим дробь $\frac{45}{48}$ на 3: $\frac{45:3}{48:3} = \frac{15}{16}$
3) Перемножим результаты:
$-\frac{8}{5} \cdot \frac{15}{16}$
Сократим дроби (8 и 16 на 8, 15 и 5 на 5):
$-\frac{8}{5} \cdot \frac{15}{16} = -\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$
Ответ: $-1\frac{1}{2}$.