Номер 159, страница 37 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. Параграф 3. Уравнения с одной переменной. 8. Линейное уравнение с одной переменной - номер 159, страница 37.

Условие.

159.Найдите корни уравнения:

а) |х − 2| − 6 = 17;
б) 31 + 4 · |4 − х| = 47.

Решение 1.

а) |х − 2| − 6 = 17;
|х − 2| = 17 + 6;
|х − 2| = 23;
х − 2 = 23 или х − 2 = -23
х = 25 х = -21.
Ответ: -21; 25.

б) 31 + 4 · |4 − х| = 47;
4 · |4 − х| = 47 - 31;
4 · |4 − х| = 16;
|4 − х| = 4;
4 − х = 4 или 4 − х = -4
х = 0 х = 8
Ответ: 0; 8.

Решение 2.

а) Решим уравнение $|x - 2| - 6 = 17$.

Для начала, изолируем модуль в левой части уравнения. Для этого перенесем $-6$ в правую часть, изменив знак на противоположный:

$|x - 2| = 17 + 6$

$|x - 2| = 23$

Уравнение с модулем вида $|A| = B$ (при $B \geq 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$.

Таким образом, получаем два случая:

1) Раскрываем модуль с положительным знаком:

$x - 2 = 23$

$x = 23 + 2$

$x_1 = 25$

2) Раскрываем модуль с отрицательным знаком:

$x - 2 = -23$

$x = -23 + 2$

$x_2 = -21$

Уравнение имеет два корня: $25$ и $-21$.

Ответ: $-21; 25$.

б) Решим уравнение $31 + 4 \cdot |4 - x| = 47$.

Сначала изолируем выражение, содержащее модуль. Перенесем $31$ в правую часть уравнения:

$4 \cdot |4 - x| = 47 - 31$

$4 \cdot |4 - x| = 16$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент перед модулем, то есть на $4$:

$|4 - x| = \frac{16}{4}$

$|4 - x| = 4$

Это уравнение также распадается на два случая. Заметим, что $|4-x| = |x-4|$, поэтому можно решать и уравнение $|x-4|=4$. Но мы продолжим с исходным видом.

1) Раскрываем модуль с положительным знаком:

$4 - x = 4$

$-x = 4 - 4$

$-x = 0$

$x_1 = 0$

2) Раскрываем модуль с отрицательным знаком:

$4 - x = -4$

$-x = -4 - 4$

$-x = -8$

$x_2 = 8$

Уравнение имеет два корня: $0$ и $8$.

Ответ: $0; 8$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.