Страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

179. (Для работы в парах.) В классе учится ... учащихся. Отношение числа девочек к числу мальчиков равно 5 : 4. Сколько девочек и сколько мальчиков учится в классе?

1) Выясните, какие числа, соответствующие смыслу задачи, можно поставить вместо многоточия.

2) Предложите друг другу закончить решение для одного из найденных чисел.

3) Обсудите полученные ответы.

1) Выясните, какие числа, соответствующие смыслу задачи, можно поставить вместо многоточия.

Отношение числа девочек к числу мальчиков равно $5:4$. Это означает, что на каждые 5 девочек в классе приходится 4 мальчика. Мы можем представить всех учащихся в классе как состоящих из равных групп, где в каждой группе 5 девочек и 4 мальчика.

Найдем, сколько всего "частей" в этом отношении:

$5 + 4 = 9$ (частей)

Общее количество учащихся в классе должно делиться на 9 без остатка, так как количество учеников в одной "части" должно быть целым числом (нельзя иметь дробное количество людей).

Следовательно, вместо многоточия можно поставить любое число, кратное 9. Учитывая, что речь идет о количестве учеников в классе, наиболее вероятными будут числа:

• 18 (если в одной части 2 ученика)
• 27 (если в одной части 3 ученика)
• 36 (если в одной части 4 ученика)

Ответ: Вместо многоточия можно поставить любое натуральное число, кратное 9. Например: 9, 18, 27, 36 и т.д.

2) Предложите друг другу закончить решение для одного из найденных чисел.

Давайте решим задачу для случая, когда в классе 27 учащихся.

1. Найдем общее количество частей в отношении:

$5 + 4 = 9$ (частей)

2. Найдем, сколько учащихся приходится на одну часть. Для этого разделим общее количество учащихся на количество частей:

$27 \div 9 = 3$ (учащихся)

3. Теперь найдем количество девочек. Так как на них приходится 5 частей, умножим количество учащихся в одной части на 5:

$3 \times 5 = 15$ (девочек)

4. Аналогично найдем количество мальчиков. На них приходится 4 части:

$3 \times 4 = 12$ (мальчиков)

Проверим: $15$ девочек $+ 12$ мальчиков $= 27$ учащихся. Отношение $15:12$ после сокращения на 3 дает $5:4$. Все верно.

Ответ: Если в классе 27 учащихся, то в нем 15 девочек и 12 мальчиков.

3) Обсудите полученные ответы.

Обсуждение показывает, что у задачи есть множество правильных ответов, которые зависят от выбранного общего числа учеников. Однако это число не может быть произвольным.

Ключевое условие, которое делает задачу решаемой в целых числах, — это делимость общего количества учащихся на сумму частей в отношении, то есть на $5+4=9$. Если бы мы выбрали число, не кратное 9 (например, 25), то при делении на 9 мы бы получили дробное число ($25 \div 9 \approx 2.78$). Это означало бы, что в одной "части" нецелое количество учеников, что невозможно.

Таким образом, все возможные решения задачи связаны общим правилом: общее число учеников должно быть кратно 9. Для любого такого числа (например, 18, 27, 36) количество девочек будет составлять $\frac{5}{9}$ от общего числа, а количество мальчиков — $\frac{4}{9}$.

Ответ: Задача имеет решение только в том случае, если общее количество учащихся в классе кратно 9. Метод решения остается одинаковым для любого такого числа: общее количество учеников делится на 9, а затем результат умножается на 5 (для девочек) и на 4 (для мальчиков).

180. В корзине было в 2 раза меньше винограда, чем в ящике. После того как в корзину добавили 2 кг, в ней стало винограда на 0,5 кг больше, чем в ящике. Сколько винограда было в корзине?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ кг — это первоначальное количество винограда в корзине.

Из условия известно, что в корзине было в 2 раза меньше винограда, чем в ящике. Это означает, что в ящике было в 2 раза больше винограда, то есть $2x$ кг.

Затем в корзину добавили 2 кг винограда. Новое количество винограда в корзине стало $(x + 2)$ кг.

После этого в корзине стало на 0,5 кг винограда больше, чем в ящике. Составим уравнение, приравняв количество винограда в корзине к количеству винограда в ящике плюс 0,5 кг:

$x + 2 = 2x + 0.5$

Теперь решим это линейное уравнение. Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$2 - 0.5 = 2x - x$

$1.5 = x$

Таким образом, первоначально в корзине было 1,5 кг винограда.

Проверим найденное решение:
Изначально в корзине было 1,5 кг, а в ящике $2 \cdot 1.5 = 3$ кг. (1,5 в 2 раза меньше, чем 3).
После добавления 2 кг в корзине стало $1.5 + 2 = 3.5$ кг.
Сравним новое количество в корзине (3,5 кг) с количеством в ящике (3 кг): $3.5 - 3 = 0.5$ кг. В корзине действительно стало на 0,5 кг больше.

Ответ: 1,5 кг.

181. Один арбуз на 2 кг легче, чем другой, и в 5 раз легче, чем третий. Первый и третий арбузы вместе в 3 раза тяжелее, чем второй. Найдите массу каждого арбуза.

Для решения задачи введем переменные, обозначающие массу каждого арбуза. Пусть:

• $m_1$ – масса первого арбуза (в кг),
• $m_2$ – масса второго арбуза (в кг),
• $m_3$ – масса третьего арбуза (в кг).

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. «Один арбуз на 2 кг легче, чем другой» — это означает, что масса первого арбуза меньше массы второго на 2 кг:
   $m_1 = m_2 - 2$, или, что то же самое, $m_2 = m_1 + 2$.
2. «...и в 5 раз легче, чем третий» — это означает, что масса третьего арбуза в 5 раз больше массы первого:
   $m_3 = 5 \cdot m_1$.
3. «Первый и третий арбузы вместе в 3 раза тяжелее, чем второй» — это означает, что сумма масс первого и третьего арбузов в 3 раза больше массы второго:
   $m_1 + m_3 = 3 \cdot m_2$.

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными. Для ее решения воспользуемся методом подстановки. Подставим выражения для $m_2$ и $m_3$ из первого и второго уравнений в третье:

$m_1 + (5 \cdot m_1) = 3 \cdot (m_1 + 2)$

Упростим и решим полученное уравнение относительно $m_1$:

$6m_1 = 3m_1 + 6$

Перенесем слагаемые с $m_1$ в левую часть уравнения:

$6m_1 - 3m_1 = 6$

$3m_1 = 6$

$m_1 = \frac{6}{3}$

$m_1 = 2$

Таким образом, масса первого арбуза равна 2 кг.

Теперь, зная массу первого арбуза, мы можем найти массы второго и третьего:

• Масса второго арбуза: $m_2 = m_1 + 2 = 2 + 2 = 4$ кг.
• Масса третьего арбуза: $m_3 = 5 \cdot m_1 = 5 \cdot 2 = 10$ кг.

Проведем проверку найденных значений:

• Первый арбуз (2 кг) легче второго (4 кг) на $4 - 2 = 2$ кг. Условие выполняется.
• Первый арбуз (2 кг) легче третьего (10 кг) в $10 / 2 = 5$ раз. Условие выполняется.
• Сумма масс первого и третьего арбузов ($2 + 10 = 12$ кг) тяжелее второго арбуза (4 кг) в $12 / 4 = 3$ раза. Условие выполняется.

Все условия задачи соблюдены.

Ответ: масса первого арбуза – 2 кг, масса второго арбуза – 4 кг, масса третьего арбуза – 10 кг.

182. В двух мешках было по 50 кг сахара. После того как из одного мешка взяли в 3 раза больше сахара, чем из другого, в нём осталось в 2 раза меньше сахара, чем в другом. Сколько сахара осталось в каждом мешке?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ кг сахара взяли из второго мешка. Согласно условию, из первого мешка взяли в 3 раза больше, то есть $3x$ кг сахара.

Изначально в каждом мешке было по 50 кг сахара. Выразим, сколько сахара осталось в каждом мешке после того, как из них взяли часть:

• В первом мешке осталось: $50 - 3x$ кг.
• Во втором мешке осталось: $50 - x$ кг.

Из условия известно, что в первом мешке осталось в 2 раза меньше сахара, чем во втором. Это можно записать в виде уравнения: количество сахара во втором мешке равно удвоенному количеству сахара в первом.

$50 - x = 2 \cdot (50 - 3x)$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$.

1. Раскроем скобки в правой части уравнения:
$50 - x = 100 - 6x$

2. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые значения — в правой. Для этого перенесем $-6x$ влево, а $50$ вправо, не забывая менять знаки при переносе:
$6x - x = 100 - 50$

3. Упростим обе части уравнения:
$5x = 50$

4. Найдем $x$, разделив обе части на 5:
$x = \frac{50}{5}$
$x = 10$

Мы нашли, что $x=10$ кг — это количество сахара, которое взяли из второго мешка. Тогда из первого мешка взяли $3x = 3 \cdot 10 = 30$ кг.

Осталось найти, сколько сахара осталось в каждом мешке:

• В первом мешке осталось: $50 - 30 = 20$ кг.
• Во втором мешке осталось: $50 - 10 = 40$ кг.

Проверим: 20 кг действительно в 2 раза меньше, чем 40 кг, что соответствует условию задачи.

Ответ: в первом мешке осталось 20 кг сахара, а во втором — 40 кг.

183. Постройте в координатной плоскости точку, у которой:
а) абсцисса равна 3, а ордината противоположна абсциссе;
б) абсцисса равна −2, а ордината на единицу больше;
в) абсцисса равна 1,5, а ордината на единицу меньше;
г) абсцисса равна 6, а ордината − противоположному числу.

а)

Абсцисса точки — это ее координата по горизонтальной оси $Ox$. По условию, абсцисса равна $3$. Ордината точки — это ее координата по вертикальной оси $Oy$. По условию, она противоположна абсциссе. Противоположное число для $3$ — это $-3$. Следовательно, координаты точки: $(3, -3)$.

Для построения этой точки в координатной плоскости необходимо от начала координат (точки $(0,0)$) отложить $3$ единицы вправо по оси $Ox$, а затем $3$ единицы вниз параллельно оси $Oy$. Точка будет расположена в IV координатной четверти.

Ответ: Координаты искомой точки $(3, -3)$.

б)

Абсцисса точки равна $-2$. Ордината на единицу больше абсциссы. Вычисляем значение ординаты: $y = -2 + 1 = -1$. Следовательно, координаты точки: $(-2, -1)$.

Для построения этой точки необходимо от начала координат отложить $2$ единицы влево по оси $Ox$, а затем $1$ единицу вниз параллельно оси $Oy$. Точка будет расположена в III координатной четверти.

Ответ: Координаты искомой точки $(-2, -1)$.

в)

Абсцисса точки равна $1,5$. Ордината на единицу меньше абсциссы. Вычисляем значение ординаты: $y = 1,5 - 1 = 0,5$. Следовательно, координаты точки: $(1,5, 0,5)$.

Для построения этой точки необходимо от начала координат отложить $1,5$ единицы вправо по оси $Ox$, а затем $0,5$ единицы вверх параллельно оси $Oy$. Точка будет расположена в I координатной четверти.

Ответ: Координаты искомой точки $(1,5, 0,5)$.

г)

Абсцисса точки равна $6$. Ордината равна "противоположному числу". Подразумевается, что она противоположна значению абсциссы. Противоположное число для $6$ — это $-6$. Следовательно, координаты точки: $(6, -6)$.

Для построения этой точки необходимо от начала координат отложить $6$ единиц вправо по оси $Ox$, а затем $6$ единиц вниз параллельно оси $Oy$. Точка будет расположена в IV координатной четверти.

Ответ: Координаты искомой точки $(6, -6)$.

184. Постройте на координатной плоскости отрезок MN, зная координаты его концов: M(−1; 4) и N(2; − 2). Найдите координаты точек пересечения этого отрезка с осью х и с осью у.

Для нахождения координат точек пересечения отрезка с осями координат, сначала составим уравнение прямой, проходящей через точки $M(-1; 4)$ и $N(2; -2)$.

Уравнение прямой в общем виде: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (точка пересечения с осью y).

Подставим координаты точек M и N в уравнение прямой, чтобы получить систему из двух уравнений:

Для точки $M(-1; 4)$: $4 = k \cdot (-1) + b \implies 4 = -k + b$

Для точки $N(2; -2)$: $-2 = k \cdot 2 + b \implies -2 = 2k + b$

Теперь решим эту систему. Из первого уравнения выразим $b$: $b = 4 + k$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$-2 = 2k + (4 + k)$

$-2 = 3k + 4$

$-6 = 3k$

$k = -2$

Теперь найдем $b$, подставив значение $k$ в выражение для $b$:

$b = 4 + k = 4 + (-2) = 2$

Таким образом, уравнение прямой, содержащей отрезок $MN$, имеет вид: $y = -2x + 2$.

Теперь, зная уравнение прямой, найдем точки ее пересечения с осями координат.

Координаты точки пересечения с осью x

Точка пересечения с осью абсцисс (осью x) имеет координату $y=0$. Подставим это значение в уравнение прямой:

$0 = -2x + 2$

$2x = 2$

$x = 1$

Координаты точки пересечения с осью x: $(1; 0)$.

Проверим, принадлежит ли эта точка отрезку $MN$. Абсцисса $x=1$ находится между абсциссами концов отрезка $(-1 \le 1 \le 2)$, и ордината $y=0$ находится между ординатами концов отрезка $(-2 \le 0 \le 4)$. Следовательно, точка принадлежит отрезку.

Ответ: $(1; 0)$.

Координаты точки пересечения с осью y

Точка пересечения с осью ординат (осью y) имеет координату $x=0$. Подставим это значение в уравнение прямой:

$y = -2 \cdot 0 + 2$

$y = 2$

Координаты точки пересечения с осью y: $(0; 2)$.

Проверим, принадлежит ли эта точка отрезку $MN$. Абсцисса $x=0$ находится между абсциссами концов отрезка $(-1 \le 0 \le 2)$, и ордината $y=2$ находится между ординатами концов отрезка $(-2 \le 2 \le 4)$. Следовательно, точка принадлежит отрезку.

Ответ: $(0; 2)$.

185. Найдите значение выражения −0,5(7b − 12а) − (8,4а − 14b) при а = − 10, b = − 6.

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые. Для этого умножим множитель перед каждой скобкой на каждый член внутри скобки.

$-0,5(7b - 12a) - (8,4a - 14b) = -0,5 \cdot 7b - 0,5 \cdot (-12a) - 1 \cdot 8,4a - 1 \cdot (-14b)$

Выполним умножение:

$-3,5b + 6a - 8,4a + 14b$

Теперь сгруппируем и сложим подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной):

$(6a - 8,4a) + (-3,5b + 14b) = -2,4a + 10,5b$

Мы получили упрощенное выражение: $-2,4a + 10,5b$.

Теперь подставим в это выражение заданные значения $a = -10$ и $b = -6$:

$-2,4 \cdot (-10) + 10,5 \cdot (-6)$

Выполним вычисления по порядку:

1. $-2,4 \cdot (-10) = 24$

2. $10,5 \cdot (-6) = -63$

3. $24 + (-63) = 24 - 63 = -39$

Ответ: -39

186. Сравните с нулём значение выражения:

$\mathrm{а}) -3,52 · 1,7:$

$\mathrm{б}) (-2,8) : (-0,9);$

$\mathrm{в}) 42\frac{3}{7} - 53\frac{2}{3};$

$\mathrm{г}) \frac{6,4 - 6{\displaystyle \frac{2}{5}}}{8};$

$\mathrm{д}) \frac{17{\displaystyle \frac{1}{3}} - 17{\displaystyle \frac{5}{6}}}{7};$

$\mathrm{е}) \frac{1 - 2{\displaystyle \frac{1}{3}}}{1 + 2{\displaystyle \frac{1}{3}}}.$

а) В выражении $-3,52 \cdot 1,7$ мы умножаем отрицательное число ($-3,52$) на положительное число ($1,7$). Произведение чисел с разными знаками всегда является отрицательным числом. Следовательно, значение выражения меньше нуля.
$-3,52 \cdot 1,7 < 0$.
Ответ: значение выражения меньше нуля.

б) В выражении $(-2,88) : (-0,9)$ мы делим отрицательное число ($-2,88$) на отрицательное число ($-0,9$). Частное от деления двух чисел с одинаковыми знаками всегда является положительным числом. Следовательно, значение выражения больше нуля.
$(-2,88) : (-0,9) > 0$.
Ответ: значение выражения больше нуля.

в) В выражении $42\frac{3}{7} - 53\frac{2}{3}$ мы вычитаем из меньшего числа большее. Сравним целые части чисел: $42 < 53$. Это означает, что $42\frac{3}{7} < 53\frac{2}{3}$. Результат вычитания большего числа из меньшего всегда отрицателен. Следовательно, значение выражения меньше нуля.
$42\frac{3}{7} - 53\frac{2}{3} < 0$.
Ответ: значение выражения меньше нуля.

г) Рассмотрим числитель выражения $\frac{6,4 - 6\frac{2}{5}}{8}$. Преобразуем смешанную дробь $6\frac{2}{5}$ в десятичную: $\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0,4$, поэтому $6\frac{2}{5} = 6,4$. Тогда числитель равен $6,4 - 6,4 = 0$. Значение всего выражения равно $\frac{0}{8} = 0$. Следовательно, значение выражения равно нулю.
$\frac{6,4 - 6\frac{2}{5}}{8} = \frac{6,4 - 6,4}{8} = \frac{0}{8} = 0$.
Ответ: значение выражения равно нулю.

д) Рассмотрим числитель выражения $\frac{17\frac{1}{3} - 17\frac{5}{6}}{7}$. Сравним числа $17\frac{1}{3}$ и $17\frac{5}{6}$. Их целые части равны. Сравним дробные части $\frac{1}{3}$ и $\frac{5}{6}$. Приведем $\frac{1}{3}$ к знаменателю 6: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Поскольку $\frac{2}{6} < \frac{5}{6}$, то $17\frac{1}{3} < 17\frac{5}{6}$. Значит, числитель является отрицательным числом. Знаменатель равен 7, что является положительным числом. При делении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным. Следовательно, значение выражения меньше нуля.
$\frac{17\frac{1}{3} - 17\frac{5}{6}}{7} < 0$.
Ответ: значение выражения меньше нуля.

е) Рассмотрим выражение $\frac{1 - 2\frac{1}{3}}{1 + 2\frac{1}{3}}$. В числителе из меньшего числа $1$ вычитается большее число $2\frac{1}{3}$, поэтому результат будет отрицательным. В знаменателе складываются два положительных числа $1$ и $2\frac{1}{3}$, поэтому результат будет положительным. При делении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным. Следовательно, значение выражения меньше нуля.
$\frac{1 - 2\frac{1}{3}}{1 + 2\frac{1}{3}} < 0$.
Ответ: значение выражения меньше нуля.