Номер 179, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. Параграф 3. Уравнения с одной переменной. 9. Решение задач с помощью уравнений - номер 179, страница 41.

Условие.

179. (Для работы в парах.) В классе учится ... учащихся. Отношение числа девочек к числу мальчиков равно 5 : 4. Сколько девочек и сколько мальчиков учится в классе?

1) Выясните, какие числа, соответствующие смыслу задачи, можно поставить вместо многоточия.

2) Предложите друг другу закончить решение для одного из найденных чисел.

3) Обсудите полученные ответы.

Решение 1.

Так как отношение числа девочек к числу мальчиков равно 5 : 4, то 5 + 4 = 9, значит, в классе должно учиться такое количество учащихся, которое кратно 9. Это может быть 18, 27 или 36 учащихся. По смыслу задачи оптимальное количество учащихся может быть 27 человек в классе.

1) 5 + 4 = 9 (ч.) – составляют 27 учеников;

2) 27 : 9 = 3 (уч.) – в одной части;

3) 3 ∙ 5 = 15 (уч.) – девочки;

4) 3 ∙ 4 = 12 (уч.) – мальчики.

Ответ: 15 и 12 учащихся.

Решение 2.

1) Выясните, какие числа, соответствующие смыслу задачи, можно поставить вместо многоточия.

Отношение числа девочек к числу мальчиков равно $5:4$. Это означает, что на каждые 5 девочек в классе приходится 4 мальчика. Мы можем представить всех учащихся в классе как состоящих из равных групп, где в каждой группе 5 девочек и 4 мальчика.

Найдем, сколько всего "частей" в этом отношении:

$5 + 4 = 9$ (частей)

Общее количество учащихся в классе должно делиться на 9 без остатка, так как количество учеников в одной "части" должно быть целым числом (нельзя иметь дробное количество людей).

Следовательно, вместо многоточия можно поставить любое число, кратное 9. Учитывая, что речь идет о количестве учеников в классе, наиболее вероятными будут числа:

• 18 (если в одной части 2 ученика)
• 27 (если в одной части 3 ученика)
• 36 (если в одной части 4 ученика)

Ответ: Вместо многоточия можно поставить любое натуральное число, кратное 9. Например: 9, 18, 27, 36 и т.д.

2) Предложите друг другу закончить решение для одного из найденных чисел.

Давайте решим задачу для случая, когда в классе 27 учащихся.

1. Найдем общее количество частей в отношении:

$5 + 4 = 9$ (частей)

2. Найдем, сколько учащихся приходится на одну часть. Для этого разделим общее количество учащихся на количество частей:

$27 \div 9 = 3$ (учащихся)

3. Теперь найдем количество девочек. Так как на них приходится 5 частей, умножим количество учащихся в одной части на 5:

$3 \times 5 = 15$ (девочек)

4. Аналогично найдем количество мальчиков. На них приходится 4 части:

$3 \times 4 = 12$ (мальчиков)

Проверим: $15$ девочек $+ 12$ мальчиков $= 27$ учащихся. Отношение $15:12$ после сокращения на 3 дает $5:4$. Все верно.

Ответ: Если в классе 27 учащихся, то в нем 15 девочек и 12 мальчиков.

3) Обсудите полученные ответы.

Обсуждение показывает, что у задачи есть множество правильных ответов, которые зависят от выбранного общего числа учеников. Однако это число не может быть произвольным.

Ключевое условие, которое делает задачу решаемой в целых числах, — это делимость общего количества учащихся на сумму частей в отношении, то есть на $5+4=9$. Если бы мы выбрали число, не кратное 9 (например, 25), то при делении на 9 мы бы получили дробное число ($25 \div 9 \approx 2.78$). Это означало бы, что в одной "части" нецелое количество учеников, что невозможно.

Таким образом, все возможные решения задачи связаны общим правилом: общее число учеников должно быть кратно 9. Для любого такого числа (например, 18, 27, 36) количество девочек будет составлять $\frac{5}{9}$ от общего числа, а количество мальчиков — $\frac{4}{9}$.

Ответ: Задача имеет решение только в том случае, если общее количество учащихся в классе кратно 9. Метод решения остается одинаковым для любого такого числа: общее количество учеников делится на 9, а затем результат умножается на 5 (для девочек) и на 4 (для мальчиков).

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.