Номер 181, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Решение задач с помощью уравнений. § 3. Уравнения с одной переменной. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 181, страница 41.

181. Один арбуз на 2 кг легче, чем другой, и в 5 раз легче, чем третий. Первый и третий арбузы вместе в 3 раза тяжелее, чем второй. Найдите массу каждого арбуза.

Для решения задачи введем переменные, обозначающие массу каждого арбуза. Пусть:

• $m_1$ – масса первого арбуза (в кг),
• $m_2$ – масса второго арбуза (в кг),
• $m_3$ – масса третьего арбуза (в кг).

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. «Один арбуз на 2 кг легче, чем другой» — это означает, что масса первого арбуза меньше массы второго на 2 кг:
   $m_1 = m_2 - 2$, или, что то же самое, $m_2 = m_1 + 2$.
2. «...и в 5 раз легче, чем третий» — это означает, что масса третьего арбуза в 5 раз больше массы первого:
   $m_3 = 5 \cdot m_1$.
3. «Первый и третий арбузы вместе в 3 раза тяжелее, чем второй» — это означает, что сумма масс первого и третьего арбузов в 3 раза больше массы второго:
   $m_1 + m_3 = 3 \cdot m_2$.

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными. Для ее решения воспользуемся методом подстановки. Подставим выражения для $m_2$ и $m_3$ из первого и второго уравнений в третье:

$m_1 + (5 \cdot m_1) = 3 \cdot (m_1 + 2)$

Упростим и решим полученное уравнение относительно $m_1$:

$6m_1 = 3m_1 + 6$

Перенесем слагаемые с $m_1$ в левую часть уравнения:

$6m_1 - 3m_1 = 6$

$3m_1 = 6$

$m_1 = \frac{6}{3}$

$m_1 = 2$

Таким образом, масса первого арбуза равна 2 кг.

Теперь, зная массу первого арбуза, мы можем найти массы второго и третьего:

• Масса второго арбуза: $m_2 = m_1 + 2 = 2 + 2 = 4$ кг.
• Масса третьего арбуза: $m_3 = 5 \cdot m_1 = 5 \cdot 2 = 10$ кг.

Проведем проверку найденных значений:

• Первый арбуз (2 кг) легче второго (4 кг) на $4 - 2 = 2$ кг. Условие выполняется.
• Первый арбуз (2 кг) легче третьего (10 кг) в $10 / 2 = 5$ раз. Условие выполняется.
• Сумма масс первого и третьего арбузов ($2 + 10 = 12$ кг) тяжелее второго арбуза (4 кг) в $12 / 4 = 3$ раза. Условие выполняется.

Все условия задачи соблюдены.

Ответ: масса первого арбуза – 2 кг, масса второго арбуза – 4 кг, масса третьего арбуза – 10 кг.