Номер 184, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Решение задач с помощью уравнений. § 3. Уравнения с одной переменной. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 184, страница 41.

184. Постройте на координатной плоскости отрезок MN, зная координаты его концов: M(−1; 4) и N(2; − 2). Найдите координаты точек пересечения этого отрезка с осью х и с осью у.

Для нахождения координат точек пересечения отрезка с осями координат, сначала составим уравнение прямой, проходящей через точки $M(-1; 4)$ и $N(2; -2)$.

Уравнение прямой в общем виде: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (точка пересечения с осью y).

Подставим координаты точек M и N в уравнение прямой, чтобы получить систему из двух уравнений:

Для точки $M(-1; 4)$: $4 = k \cdot (-1) + b \implies 4 = -k + b$

Для точки $N(2; -2)$: $-2 = k \cdot 2 + b \implies -2 = 2k + b$

Теперь решим эту систему. Из первого уравнения выразим $b$: $b = 4 + k$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$-2 = 2k + (4 + k)$

$-2 = 3k + 4$

$-6 = 3k$

$k = -2$

Теперь найдем $b$, подставив значение $k$ в выражение для $b$:

$b = 4 + k = 4 + (-2) = 2$

Таким образом, уравнение прямой, содержащей отрезок $MN$, имеет вид: $y = -2x + 2$.

Теперь, зная уравнение прямой, найдем точки ее пересечения с осями координат.

Координаты точки пересечения с осью x

Точка пересечения с осью абсцисс (осью x) имеет координату $y=0$. Подставим это значение в уравнение прямой:

$0 = -2x + 2$

$2x = 2$

$x = 1$

Координаты точки пересечения с осью x: $(1; 0)$.

Проверим, принадлежит ли эта точка отрезку $MN$. Абсцисса $x=1$ находится между абсциссами концов отрезка $(-1 \le 1 \le 2)$, и ордината $y=0$ находится между ординатами концов отрезка $(-2 \le 0 \le 4)$. Следовательно, точка принадлежит отрезку.

Ответ: $(1; 0)$.

Координаты точки пересечения с осью y

Точка пересечения с осью ординат (осью y) имеет координату $x=0$. Подставим это значение в уравнение прямой:

$y = -2 \cdot 0 + 2$

$y = 2$

Координаты точки пересечения с осью y: $(0; 2)$.

Проверим, принадлежит ли эта точка отрезку $MN$. Абсцисса $x=0$ находится между абсциссами концов отрезка $(-1 \le 0 \le 2)$, и ордината $y=2$ находится между ординатами концов отрезка $(-2 \le 2 \le 4)$. Следовательно, точка принадлежит отрезку.

Ответ: $(0; 2)$.