Номер 4, страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 3. Уравнения с одной переменной. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 4, страница 42.

4 Дайте определение линейного уравнения с одной переменной. Приведите примеры.

Дайте определение линейного уравнения с одной переменной

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида $ax = b$, где $x$ — это переменная (неизвестное), а $a$ и $b$ — некоторые действительные числа, называемые коэффициентами. Число $a$ является коэффициентом при переменной, а $b$ — свободным членом.
К линейным также относятся любые уравнения, которые можно привести к виду $ax = b$ с помощью тождественных преобразований (например, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, приведение подобных слагаемых, умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число).

В зависимости от значений коэффициентов $a$ и $b$ линейное уравнение может:

• иметь один корень, если $a \neq 0$ (корень равен $x = b/a$);
• не иметь корней, если $a = 0$ и $b \neq 0$ (уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$, что невозможно);
• иметь бесконечно много корней, если $a = 0$ и $b = 0$ (уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что верно для любого значения $x$).

Ответ: Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа.

Приведите примеры

1. Классический вид:
$5x = 15$
Здесь $a = 5$, $b = 15$. Уравнение имеет один корень $x = 15 / 5 = 3$.

2. Уравнение, требующее преобразования:
$4x - 7 = x + 5$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$4x - x = 5 + 7$
$3x = 12$
Это уравнение приведено к стандартному виду $ax=b$, где $a=3$, $b=12$. Корень уравнения $x = 4$.

3. Уравнение, не имеющее корней:
$2(x - 3) = 2x + 1$
Раскроем скобки:
$2x - 6 = 2x + 1$
$2x - 2x = 1 + 6$
$0 \cdot x = 7$
Здесь $a = 0$, $b = 7$. Уравнение не имеет решений, так как нет такого числа $x$, которое при умножении на 0 дало бы 7.

4. Уравнение, имеющее бесконечно много корней:
$3x + 9 = 3(x + 3)$
Раскроем скобки в правой части:
$3x + 9 = 3x + 9$
$3x - 3x = 9 - 9$
$0 \cdot x = 0$
Здесь $a = 0$, $b = 0$. Равенство верно при любом значении $x$, следовательно, уравнение имеет бесконечно много решений.

Ответ: Примеры линейных уравнений с одной переменной: $5x = 15$; $4x - 7 = x + 5$; $2(x - 3) = 2x + 1$.