Номер 5, страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. Параграф 3. Уравнения с одной переменной. Контрольные вопросы и задания - номер 5, страница 42.

Условие.

5 В каком случае уравнение ах = b имеет единственный корень; имеет бесконечно много корней; не имеет корней? Приведите примеры.

Решение 1.

Линейное уравнение ax=b при a≠0 имеет один корень, при a=0 и b≠0 не имеет корней, при a=0 и b=0 имеет бесконечно много корней (любое число является его корнем).

Уравнение 55x = 120 имеет один корень;

уравнение 4x - 3x = x имеет бесконечно много корней;

уравнение 4x - 3x = x + 2 не имеет корней.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Рассмотрим линейное уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа (параметры). Количество корней этого уравнения зависит от значений этих параметров.

имеет единственный корень

Уравнение $ax = b$ имеет единственный корень, если коэффициент $a$ при переменной $x$ не равен нулю. При условии $a \neq 0$ мы можем разделить обе части уравнения на $a$ и получить уникальное решение: $x = \frac{b}{a}$. Это решение является единственным для любого значения $b$.
Пример: В уравнении $2x = 10$, коэффициент $a = 2 \neq 0$. Решение единственно и равно $x = \frac{10}{2} = 5$.
Ответ: при $a \neq 0$.

имеет бесконечно много корней

Уравнение $ax = b$ имеет бесконечно много корней, если оба коэффициента равны нулю: $a = 0$ и $b = 0$. В этом случае уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Данное равенство является верным для любого значения $x$, поскольку любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Следовательно, решением является любое число.
Пример: Уравнение $0x = 0$. Любое число, например $x=1$, $x=-7.5$ или $x=\pi$, является корнем этого уравнения.
Ответ: при $a = 0$ и $b = 0$.

не имеет корней

Уравнение $ax = b$ не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю, а свободный член — нет: $a = 0$ и $b \neq 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$. Левая часть этого выражения всегда равна нулю, в то время как правая часть $b$ — ненулевое число. Мы получаем ложное равенство $0 = b$, которое не может быть выполнено ни при каком значении $x$.
Пример: Уравнение $0x = 4$. Это уравнение равносильно ложному утверждению $0 = 4$, поэтому оно не имеет решений.
Ответ: при $a = 0$ и $b \neq 0$.