Номер 3, страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. Параграф 3. Уравнения с одной переменной. Контрольные вопросы и задания - номер 3, страница 42.

Условие.

3 Какие уравнения называются равносильными? Сформулируйте свойства уравнений. Приведите пример уравнения, равносильного уравнению:

5х − 1 = 3; 0,2х = 1,1; 3х − 4х + 6 = 0.

Решение 1.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также являются равносильными.

• если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
• если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Уравнение 5х − 1 = 3
равносильно уравнению
6,25х = 5.

Уравнение 0,2х = 1,1
равносильно уравнению
22х = 121.

Уравнение 3х − 4х + 6 = 0
равносильно уравнению
6х = 36.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Какие уравнения называются равносильными?

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если они имеют одинаковые корни (решения) или если оба уравнения не имеют корней. Иными словами, любое решение первого уравнения является решением второго, и любое решение второго является решением первого.

Сформулируйте свойства уравнений

Основные свойства, которые позволяют преобразовывать уравнение в равносильное ему:

• Свойство 1: Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.
• Свойство 2: Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение, равносильное данному.

Приведите пример уравнения, равносильного уравнению:

$5x - 1 = 3$

Используя первое свойство, перенесем слагаемое $-1$ из левой части в правую, изменив знак на "+":

$5x = 3 + 1$

Упростив правую часть, получаем уравнение $5x = 4$. Это уравнение равносильно исходному, так как оба имеют единственный корень $x = 0,8$.

Ответ: $5x = 4$.

$0,2x = 1,1$

Используя второе свойство, умножим обе части уравнения на $10$, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$0,2x \cdot 10 = 1,1 \cdot 10$

Получаем уравнение $2x = 11$. Это уравнение равносильно исходному, так как оба имеют единственный корень $x = 5,5$.

Ответ: $2x = 11$.

$3x - 4x + 6 = 0$

Выполним тождественное преобразование — приведение подобных слагаемых в левой части уравнения:

$(3-4)x + 6 = 0$

Получаем уравнение $-x + 6 = 0$. Это уравнение равносильно исходному, так как оба имеют единственный корень $x = 6$.

Ответ: $-x + 6 = 0$.