Номер 177, страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. Параграф 3. Уравнения с одной переменной. 9. Решение задач с помощью уравнений - номер 177, страница 40.

Условие.

177. Старинная задача. Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему проходить во всякий день по 40 вёрст. На следующий день вслед ему был послан другой человек, и велено ему проходить по 45 вёрст в день. Через сколько дней второй догонит первого?

Решение 1.

Пусть через х дней второй человек догонит первого, тогда 40 + 40х вёрст пройдёт первый человек и 45х вёрст пройдёт второй человек до момента встречи. По условию задачи составим и решим уравнение:

45x = 40 + 40x
45x - 40x = 40
5x = 40
x = 8

Ответ: через 8 дней.

Решение 2.

Для решения этой задачи можно использовать два подхода: арифметический (с использованием скорости сближения) или алгебраический (составление уравнения). Рассмотрим оба.

Способ 1: Арифметический

1. Когда второй человек выезжает, первый уже находится в пути один день. За этот день он успел пройти расстояние:
$S_{1} = 40 \frac{вёрст}{день} \times 1 \text{ день} = 40$ вёрст.
Это расстояние является начальной форой первого человека.

2. Второй человек движется быстрее первого. Найдем скорость, с которой он догоняет первого (скорость сближения). Она равна разности их скоростей:
$v_{сближения} = v_{2} - v_{1} = 45 - 40 = 5$ вёрст в день.

3. Чтобы найти время, за которое второй человек догонит первого, нужно разделить начальное расстояние между ними на скорость сближения:
$t = \frac{40 \text{ вёрст}}{5 \frac{вёрст}{день}} = 8$ дней.

Способ 2: Алгебраический

Пусть $t$ — количество дней, которое будет в пути второй человек до встречи.
Тогда первый человек, который вышел на день раньше, будет в пути $t+1$ дней.

К моменту встречи они пройдут одинаковое расстояние от Москвы. Составим уравнение, приравняв пути, пройденные каждым человеком.
Путь первого человека: $S_1 = 40 \times (t + 1)$.
Путь второго человека: $S_2 = 45 \times t$.

Приравняем расстояния: $S_1 = S_2$.
$40 \times (t + 1) = 45 \times t$

Теперь решим это уравнение:
$40t + 40 = 45t$
$45t - 40t = 40$
$5t = 40$
$t = \frac{40}{5}$
$t = 8$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: второй человек догонит первого через 8 дней.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.