Страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

137. Какое из уравнений не имеет корней: 3х + 11 = 3(х + 4) + 1 или 33х = 18х?

Для того чтобы определить, какое из предложенных уравнений не имеет корней, необходимо проанализировать и решить каждое из них.

3x + 11 = 3(x + 4) + 1

Решим первое уравнение. Для начала раскроем скобки в правой части уравнения, используя распределительное свойство умножения:

$3(x + 4) = 3 \cdot x + 3 \cdot 4 = 3x + 12$

Теперь подставим это выражение обратно в уравнение:

$3x + 11 = (3x + 12) + 1$

Упростим правую часть, сложив числа:

$3x + 11 = 3x + 13$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. Для этого вычтем $3x$ из обеих частей уравнения:

$3x - 3x + 11 = 3x - 3x + 13$

В результате получаем:

$11 = 13$

Это равенство является ложным, так как 11 не равно 13. Поскольку мы пришли к противоречию, это означает, что исходное уравнение не имеет решений (корней) ни при каком значении $x$.

33x = 18x

Рассмотрим второе уравнение. Перенесем слагаемое из правой части в левую с противоположным знаком:

$33x - 18x = 0$

Упростим левую часть, выполнив вычитание:

$15x = 0$

Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на 15:

$x = \frac{0}{15}$

$x = 0$

Данное уравнение имеет единственный корень $x=0$.

Сравнив результаты решения двух уравнений, мы можем сделать вывод, что первое уравнение не имеет корней, в то время как второе имеет один корень.

Ответ: Уравнение $3x + 11 = 3(x + 4) + 1$ не имеет корней.

138. Составьте какое−нибудь уравнение, корнем которого является число: а) 8; б) −12.

Чтобы составить уравнение, корнем которого является заданное число, нужно создать равенство с переменной (например, $x$), которое становится верным при подстановке этого числа вместо переменной. Самый простой способ — это начать с равенства $x = \text{корень}$ и затем выполнить одинаковые математические операции над обеими частями этого равенства.

а)

Нам нужно составить уравнение, корнем которого является число 8.
1. Начнем с основного равенства:
$x = 8$
2. Это уже является простейшим уравнением. Чтобы получить более стандартный вид, можно преобразовать его. Например, вычтем из обеих частей уравнения число 8:
$x - 8 = 8 - 8$
$x - 8 = 0$
Проверим: если подставить в это уравнение $x = 8$, получим $8 - 8 = 0$, что является верным равенством.
Можно было выполнить и другое действие, например, умножить обе части исходного равенства на 3:
$3 \cdot x = 3 \cdot 8$
$3x = 24$
Это уравнение также имеет корень $x=8$.

Ответ: $x - 8 = 0$ (или, например, $3x=24$).

б)

Составим уравнение, корнем которого является число -12.
1. Исходное равенство:
$x = -12$
2. Преобразуем его. Например, прибавим к обеим частям число 12. Это позволит нам получить 0 в правой части:
$x + 12 = -12 + 12$
$x + 12 = 0$
Проверим: подставим $x = -12$ в полученное уравнение: $-12 + 12 = 0$. Равенство верное.
В качестве другого примера, можно вычесть 10 из обеих частей исходного равенства:
$x - 10 = -12 - 10$
$x - 10 = -22$
Это уравнение также имеет корень $x=-12$.

Ответ: $x + 12 = 0$ (или, например, $x - 10 = -22$).

139. Имеет ли уравнение корни и, если имеет, то сколько:

а) Уравнение $|x| = 1$.

Модуль числа (абсолютная величина) — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Уравнение $|x| = 1$ означает, что мы ищем числа, расстояние от которых до нуля равно 1. На числовой прямой есть две точки, удовлетворяющие этому условию: 1 и -1.

Таким образом, уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Ответ: имеет, 2 корня.

б) Уравнение $|x| = 0$.

Мы ищем число, расстояние от которого до нуля равно 0. Единственное такое число — это сам ноль.

Следовательно, уравнение имеет ровно один корень: $x = 0$.

Ответ: имеет, 1 корень.

в) Уравнение $|x| = -5$.

Модуль любого действительного числа по определению является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x$. Правая часть уравнения, -5, является отрицательным числом. Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений.

Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: не имеет корней.

г) Уравнение $|x| = 1,3$.

Аналогично пункту а), мы ищем числа, расстояние от которых до нуля равно 1,3. Таких чисел два: 1,3 и -1,3.

Следовательно, уравнение имеет два корня: $x_1 = 1,3$ и $x_2 = -1,3$.

Ответ: имеет, 2 корня.

140. Замените:

а) уравнение 0,Зх = − 4 равносильным уравнением с целыми коэффициентами;

б) уравнение 5х − 4 = 21 равносильным уравнением вида ах = Ь, где а и b − некоторые числа.

а) Равносильные уравнения — это уравнения, которые имеют одинаковые множества решений. Чтобы преобразовать уравнение $0,3x = -4$ в равносильное ему уравнение с целыми коэффициентами, нужно умножить обе его части на одно и то же число так, чтобы все коэффициенты стали целыми. В данном случае коэффициент $0,3$ является десятичной дробью. Чтобы он стал целым, достаточно умножить его на 10.

Выполним умножение обеих частей уравнения на 10:

$0,3x \cdot 10 = -4 \cdot 10$

В результате получаем:

$3x = -40$

Это уравнение равносильно исходному, но все его коэффициенты ($3$ и $-40$) являются целыми числами.

Ответ: $3x = -40$

б) Чтобы привести уравнение $5x - 4 = 21$ к равносильному уравнению вида $ax = b$, необходимо выполнить преобразования, которые соберут все слагаемые с переменной $x$ в левой части, а все числовые слагаемые — в правой. Для этого перенесем число $-4$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный. Это равносильное преобразование, основанное на прибавлении одного и того же числа к обеим частям уравнения.

Исходное уравнение:

$5x - 4 = 21$

Прибавим 4 к обеим частям:

$5x - 4 + 4 = 21 + 4$

Упростим обе части:

$5x = 25$

Полученное уравнение имеет вид $ax = b$, где $a = 5$ и $b = 25$. Оно равносильно исходному уравнению.

Ответ: $5x = 25$

141. Упростите выражение:
а) 0,4(7х − 2) − 1,6 + 1,7х;
б) (1,2а − 4) + (40 − 4,8а);
в) 2,5(4 − Зу) − у + 2,3;
г) (14 − 3,6b) − (12 + 10,4b).

а) $0,4(7x - 2) - 1,6 + 1,7x$

Для упрощения выражения сначала раскроем скобки. Для этого умножим число $0,4$ на каждый член внутри скобок $(7x - 2)$:

$0,4 \cdot 7x - 0,4 \cdot 2 - 1,6 + 1,7x = 2,8x - 0,8 - 1,6 + 1,7x$

Теперь приведем подобные слагаемые: сложим члены с переменной $x$ и отдельно сложим числовые коэффициенты.

$(2,8x + 1,7x) + (-0,8 - 1,6) = 4,5x - 2,4$

Ответ: $4,5x - 2,4$

б) $(1,2a - 4) + (40 - 4,8a)$

Раскроем скобки. Поскольку перед обеими скобками стоит знак плюс (или он отсутствует, что эквивалентно плюсу), знаки внутри скобок не меняются:

$1,2a - 4 + 40 - 4,8a$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые: члены с переменной $a$ и свободные члены.

$(1,2a - 4,8a) + (-4 + 40) = -3,6a + 36$

Ответ: $-3,6a + 36$

в) $2,5(4 - 3y) - y + 2,3$

Сначала раскроем скобки, умножив $2,5$ на каждый член в скобках $(4 - 3y)$:

$2,5 \cdot 4 - 2,5 \cdot 3y - y + 2,3 = 10 - 7,5y - y + 2,3$

Теперь приведем подобные слагаемые: члены с переменной $y$ и свободные члены. Учитываем, что $-y$ это то же самое, что и $-1y$.

$(-7,5y - 1y) + (10 + 2,3) = -8,5y + 12,3$

Ответ: $-8,5y + 12,3$

г) $(14 - 3,6b) - (12 + 10,4b)$

Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки всех членов внутри нее меняются на противоположные:

$14 - 3,6b - 12 - 10,4b$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые: члены с переменной $b$ и свободные члены.

$(-3,6b - 10,4b) + (14 - 12) = -14b + 2$

Ответ: $-14b + 2$

142. Найдите значение выражения 8(3 − 3,5m) − 20 + 23m при m = 2,5; 1,2; 40.

Для начала упростим исходное выражение. Для этого раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения, а затем приведем подобные слагаемые.

$8(3 - 3,5m) - 20 + 23m = 8 \cdot 3 - 8 \cdot 3,5m - 20 + 23m$

Выполним умножение:

$24 - 28m - 20 + 23m$

Теперь сгруппируем и сложим отдельно числовые коэффициенты и слагаемые с переменной $m$:

$(24 - 20) + (-28m + 23m) = 4 - 5m$

Теперь, когда выражение упрощено, будем подставлять в него заданные значения $m$.

при m = 2,5

Подставим $m = 2,5$ в упрощенное выражение $4 - 5m$:

$4 - 5 \cdot 2,5 = 4 - 12,5 = -8,5$

Ответ: $-8,5$

при m = 1,2

Подставим $m = 1,2$ в упрощенное выражение $4 - 5m$:

$4 - 5 \cdot 1,2 = 4 - 6 = -2$

Ответ: $-2$

при m = 40

Подставим $m = 40$ в упрощенное выражение $4 - 5m$:

$4 - 5 \cdot 40 = 4 - 200 = -196$

Ответ: $-196$

143. На координатной плоскости (рис. 6) отмечены точки А, В, С, В, Е и F. Найдите их координаты.

Чтобы найти координаты точки на плоскости, необходимо определить ее абсциссу (координату по оси x) и ординату (координату по оси y). Абсцисса — это горизонтальное смещение от начала координат (точки (0; 0)), а ордината — вертикальное.

A
Для точки A смещение от начала координат составляет 2 единицы вправо по оси x и 3 единицы вверх по оси y. Следовательно, ее абсцисса равна 2, а ордината равна 3.
Ответ: $A(2; 3)$

B
Для точки B смещение от начала координат составляет 3 единицы влево по оси x (что соответствует значению -3) и 2 единицы вверх по оси y. Следовательно, ее абсцисса равна -3, а ордината равна 2.
Ответ: $B(-3; 2)$

C
Для точки C смещение от начала координат составляет 2 единицы влево по оси x (значение -2) и 3 единицы вниз по оси y (значение -3). Следовательно, ее абсцисса равна -2, а ордината равна -3.
Ответ: $C(-2; -3)$

D
Для точки D смещение от начала координат составляет 3 единицы вправо по оси x и 2 единицы вниз по оси y (значение -2). Следовательно, ее абсцисса равна 3, а ордината равна -2.
Ответ: $D(3; -2)$

E
Точка E лежит прямо на оси y. Это означает, что ее смещение по горизонтали (по оси x) равно нулю. Смещение по вертикали составляет 1 единицу вниз (значение -1). Следовательно, ее абсцисса равна 0, а ордината равна -1.
Ответ: $E(0; -1)$

F
Для точки F смещение от начала координат составляет 2 единицы вправо по оси x и 1 единицу вверх по оси y. Следовательно, ее абсцисса равна 2, а ордината равна 1.
Ответ: $F(2; 1)$

144. Отметьте на координатной плоскости точки А (−4; −2), В (0; −3), D (3; −3), В (−2; 0), В (−1; 5), F (0; 1).

Для того чтобы отметить точки на координатной плоскости, необходимо использовать прямоугольную (декартову) систему координат. Каждая точка на плоскости определяется парой чисел $(x; y)$, которые называются ее координатами. Первое число, $x$, называется абсциссой и показывает смещение точки по горизонтальной оси (оси $Ox$) относительно начала координат. Второе число, $y$, называется ординатой и показывает смещение по вертикальной оси (оси $Oy$).

Начало координат — это точка пересечения осей $Ox$ и $Oy$, ее координаты $(0; 0)$. Положительные значения по оси $Ox$ откладываются вправо, отрицательные — влево. Положительные значения по оси $Oy$ откладываются вверх, отрицательные — вниз.

Точка A(-4; -2): Абсцисса $x = -4$, ордината $y = -2$. От начала координат смещаемся на 4 единицы влево по оси $Ox$, а затем на 2 единицы вниз параллельно оси $Oy$.

Точка B(0; -3): Абсцисса $x = 0$, ордината $y = -3$. Так как абсцисса равна нулю, точка лежит на оси $Oy$. Смещаемся от начала координат на 3 единицы вниз по оси $Oy$.

Точка C(3; -3): Абсцисса $x = 3$, ордината $y = -3$. От начала координат смещаемся на 3 единицы вправо по оси $Ox$, а затем на 3 единицы вниз параллельно оси $Oy$.

Точка D(-2; 0): Абсцисса $x = -2$, ордината $y = 0$. Так как ордината равна нулю, точка лежит на оси $Ox$. Смещаемся от начала координат на 2 единицы влево по оси $Ox$.

Точка E(-1; 5): Абсцисса $x = -1$, ордината $y = 5$. От начала координат смещаемся на 1 единицу влево по оси $Ox$, а затем на 5 единиц вверх параллельно оси $Oy$.

Точка F(0; 1): Абсцисса $x = 0$, ордината $y = 1$. Точка лежит на оси $Oy$. Смещаемся от начала координат на 1 единицу вверх по оси $Oy$.

Ответ:

Ниже на координатной плоскости отмечены заданные точки A(-4; -2), B(0; -3), C(3; -3), D(-2; 0), E(-1; 5) и F(0; 1).