Страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

130. Является ли число 3 корнем уравнения:

Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, необходимо подставить это число вместо переменной в уравнение. Если в результате получится верное числовое равенство, то число является корнем уравнения. Если равенство неверное, то число корнем не является.

а) Проверим, является ли число 3 корнем уравнения $5(2x - 1) = 8x + 1$.
Подставим $x = 3$ в левую и правую части уравнения.
Левая часть: $5(2 \cdot 3 - 1) = 5(6 - 1) = 5 \cdot 5 = 25$.
Правая часть: $8 \cdot 3 + 1 = 24 + 1 = 25$.
Получаем верное равенство: $25 = 25$.
Следовательно, число 3 является корнем данного уравнения.
Ответ: да, является.

б) Проверим, является ли число 3 корнем уравнения $(x - 4)(x + 4) = 7$.
Подставим $x = 3$ в левую часть уравнения.
Левая часть: $(3 - 4)(3 + 4) = (-1) \cdot 7 = -7$.
Правая часть равна 7.
Получаем неверное равенство: $-7 = 7$.
Следовательно, число 3 не является корнем данного уравнения.
Ответ: нет, не является.

131. Какие из чисел −2, −1, 0, 2, 3 являются корнями уравнения:

Чтобы определить, какие из предложенных чисел являются корнями уравнения, нужно подставить каждое число вместо переменной $x$ в уравнение и проверить, обращается ли оно в верное равенство.

а) $x^2 = 10 - 3x$

Проверим последовательно каждое число из набора $-2, -1, 0, 2, 3$.

При $x = -2$:
Левая часть: $(-2)^2 = 4$.
Правая часть: $10 - 3(-2) = 10 + 6 = 16$.
Поскольку $4 \neq 16$, число $-2$ не является корнем уравнения.

При $x = -1$:
Левая часть: $(-1)^2 = 1$.
Правая часть: $10 - 3(-1) = 10 + 3 = 13$.
Поскольку $1 \neq 13$, число $-1$ не является корнем уравнения.

При $x = 0$:
Левая часть: $0^2 = 0$.
Правая часть: $10 - 3(0) = 10 - 0 = 10$.
Поскольку $0 \neq 10$, число $0$ не является корнем уравнения.

При $x = 2$:
Левая часть: $2^2 = 4$.
Правая часть: $10 - 3(2) = 10 - 6 = 4$.
Поскольку $4 = 4$, число $2$ является корнем уравнения.

При $x = 3$:
Левая часть: $3^2 = 9$.
Правая часть: $10 - 3(3) = 10 - 9 = 1$.
Поскольку $9 \neq 1$, число $3$ не является корнем уравнения.

Ответ: $2$.

б) $x(x^2 - 7) = 6$

Проверим последовательно каждое число из набора $-2, -1, 0, 2, 3$.

При $x = -2$:
$-2((-2)^2 - 7) = -2(4 - 7) = -2(-3) = 6$.
Поскольку $6 = 6$, число $-2$ является корнем уравнения.

При $x = -1$:
$-1((-1)^2 - 7) = -1(1 - 7) = -1(-6) = 6$.
Поскольку $6 = 6$, число $-1$ является корнем уравнения.

При $x = 0$:
$0(0^2 - 7) = 0(-7) = 0$.
Поскольку $0 \neq 6$, число $0$ не является корнем уравнения.

При $x = 2$:
$2(2^2 - 7) = 2(4 - 7) = 2(-3) = -6$.
Поскольку $-6 \neq 6$, число $2$ не является корнем уравнения.

При $x = 3$:
$3(3^2 - 7) = 3(9 - 7) = 3(2) = 6$.
Поскольку $6 = 6$, число $3$ является корнем уравнения.

Ответ: $-2, -1, 3$.

132. Является ли корнем уравнения х(х − 5) = 6 число: 1; −1; 6; −6?

Чтобы определить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число в уравнение вместо переменной $x$. Если в результате подстановки получится верное числовое равенство, то число является корнем. В противном случае — не является. Проверим каждое из предложенных чисел для уравнения $x(x - 5) = 6$.

1

Подставим $x = 1$ в левую часть уравнения:

$1 \cdot (1 - 5) = 1 \cdot (-4) = -4$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $-4 \ne 6$. Равенство неверное.

Ответ: число 1 не является корнем уравнения.

-1

Подставим $x = -1$ в левую часть уравнения:

$-1 \cdot (-1 - 5) = -1 \cdot (-6) = 6$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $6 = 6$. Равенство верное.

Ответ: число -1 является корнем уравнения.

6

Подставим $x = 6$ в левую часть уравнения:

$6 \cdot (6 - 5) = 6 \cdot 1 = 6$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $6 = 6$. Равенство верное.

Ответ: число 6 является корнем уравнения.

-6

Подставим $x = -6$ в левую часть уравнения:

$-6 \cdot (-6 - 5) = -6 \cdot (-11) = 66$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $66 \ne 6$. Равенство неверное.

Ответ: число -6 не является корнем уравнения.

133. Докажите, что каждое из чисел 7, −3 и 0 является корнем уравнения х(х + 3)(х − 7) = 0.

Чтобы доказать, что число является корнем уравнения, необходимо подставить это число в уравнение вместо переменной. Если в результате подстановки левая часть уравнения окажется равной правой, то это будет означать, что число является корнем данного уравнения.

Исходное уравнение: $x(x+3)(x-7) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Проверим каждое из предложенных чисел путем подстановки.

Подставим в уравнение значение $x = 7$:
$7 \cdot (7+3) \cdot (7-7) = 0$
$7 \cdot 10 \cdot 0 = 0$
$0 = 0$
Получено верное равенство. Это доказывает, что 7 является корнем уравнения.
Ответ: Число 7 является корнем уравнения.

Подставим в уравнение значение $x = -3$:
$(-3) \cdot (-3+3) \cdot (-3-7) = 0$
$(-3) \cdot 0 \cdot (-10) = 0$
$0 = 0$
Получено верное равенство. Это доказывает, что -3 является корнем уравнения.
Ответ: Число -3 является корнем уравнения.

Подставим в уравнение значение $x = 0$:
$0 \cdot (0+3) \cdot (0-7) = 0$
$0 \cdot 3 \cdot (-7) = 0$
$0 = 0$
Получено верное равенство. Это доказывает, что 0 является корнем уравнения.
Ответ: Число 0 является корнем уравнения.

134. Докажите, что каждое из чисел 1,2 и −1,2 является корнем уравнения х² = 1,44.

Чтобы доказать, что некоторое число является корнем уравнения, нужно подставить это число в уравнение вместо переменной. Если в результате получится верное числовое равенство, то число действительно является корнем данного уравнения.

Дано уравнение: $x^2 = 1,44$.

Проверка для числа 1,2
Подставим значение $x = 1,2$ в левую часть уравнения и выполним вычисления:
$(1,2)^2 = 1,2 \times 1,2 = 1,44$.
Сравним результат с правой частью уравнения: $1,44 = 1,44$.
Так как получилось верное равенство, число 1,2 является корнем уравнения.

Проверка для числа -1,2
Подставим значение $x = -1,2$ в левую часть уравнения и выполним вычисления:
$(-1,2)^2 = (-1,2) \times (-1,2) = 1,44$.
Сравним результат с правой частью уравнения: $1,44 = 1,44$.
Так как получилось верное равенство, число -1,2 также является корнем уравнения.

Мы показали, что при подстановке каждого из чисел 1,2 и -1,2 в уравнение $x^2 = 1,44$ получается верное равенство. Следовательно, оба числа являются корнями этого уравнения, что и требовалось доказать.

Ответ: при подстановке в уравнение $x^2 = 1,44$ числа 1,2 получаем верное равенство $(1,2)^2 = 1,44$, а при подстановке числа -1,2 получаем верное равенство $(-1,2)^2 = 1,44$. Это доказывает, что оба числа являются корнями уравнения.

135. Докажите, что:

а) корнем уравнения 1,4(у + 5) = 7 + 1,4у является любое число;

б) уравнение у − 3 = у не имеет корней.

а) Чтобы доказать, что корнем уравнения $1,4(y + 5) = 7 + 1,4y$ является любое число, необходимо решить это уравнение.

Раскроем скобки в левой части уравнения, применив распределительное свойство умножения:

$1,4 \cdot y + 1,4 \cdot 5 = 7 + 1,4y$

Выполним умножение в левой части:

$1,4y + 7 = 7 + 1,4y$

Теперь перенесем все слагаемые, содержащие переменную $y$, в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные.

$1,4y - 1,4y = 7 - 7$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$0 \cdot y = 0$

Мы получили равенство $0 = 0$, которое является верным при любом значении переменной $y$. Это означает, что любое число, подставленное вместо $y$, превращает исходное уравнение в верное числовое равенство.

Ответ: Доказано, что корнем уравнения является любое число.

б) Чтобы доказать, что уравнение $y - 3 = y$ не имеет корней, преобразуем его.

Перенесем все слагаемые с переменной $y$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую. Не забудем поменять знаки при переносе.

$y - y = 3$

Упростим левую часть уравнения:

$0 \cdot y = 3$

В результате мы получили равенство $0 = 3$. Данное равенство является ложным, так как $0$ не равно $3$. Поскольку в результате преобразований мы пришли к неверному числовому равенству, которое не зависит от значения $y$, это означает, что не существует такого значения $y$, которое удовлетворяло бы исходному уравнению.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет корней.

136. Имеет ли корни уравнение:

а) Рассмотрим уравнение $2x + 3 = 2x + 8$.

Чтобы решить это уравнение, попробуем выразить переменную $x$. Для этого перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в одну часть уравнения, а свободные члены (числа) — в другую. Перенесем $2x$ из правой части в левую и $3$ из левой части в правую. При переносе слагаемого через знак равенства его знак меняется на противоположный.

$2x - 2x = 8 - 3$

Теперь упростим обе части уравнения:

$0 \cdot x = 5$

$0 = 5$

В результате преобразований мы получили неверное числовое равенство $0 = 5$. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором исходное равенство было бы верным. Следовательно, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет, уравнение не имеет корней.

б) Рассмотрим уравнение $2y = y$.

Для решения этого уравнения перенесем все слагаемые с переменной $y$ в левую часть:

$2y - y = 0$

Упростим левую часть, приведя подобные слагаемые:

$y = 0$

Мы получили конкретное значение для переменной $y$. Это и есть корень уравнения. Чтобы проверить, подставим $y=0$ в исходное уравнение:

$2 \cdot 0 = 0$

$0 = 0$

Получилось верное числовое равенство, значит, корень найден правильно.

Ответ: да, уравнение имеет один корень $y=0$.