Страница 44 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

187. Пользуясь формулой b = 1,067а, где а − расстояние в вёрстах, b − расстояние в километрах, выразите в километрах расстояние, равное:

а) 6 верстам; б) 12,5 версты; в) 104 верстам.

Для решения задачи воспользуемся формулой $b = 1,067a$, где $a$ — расстояние в вёрстах, а $b$ — расстояние в километрах. Мы последовательно подставим заданные значения расстояния в вёрстах в эту формулу.

а)

Подставим значение $a = 6$ в формулу, чтобы найти расстояние в километрах:

$b = 1,067 \cdot 6 = 6,402$

Ответ: 6,402 км.

б)

Подставим значение $a = 12,5$ в формулу:

$b = 1,067 \cdot 12,5 = 13,3375$

Ответ: 13,3375 км.

в)

Подставим значение $a = 104$ в формулу:

$b = 1,067 \cdot 104 = 110,968$

Ответ: 110,968 км.

188. Выразите в килограммах массу, равную 3 пудам, 20,5 пуда, воспользовавшись формулой р = 16,38m, где m − масса в пудах, р − масса в килограммах.

Для того чтобы выразить массу в килограммах, воспользуемся данной в условии формулой $p = 16,38m$, где $m$ — это масса в пудах, а $p$ — масса в килограммах.

3 пудам

Чтобы найти массу в килограммах, соответствующую 3 пудам, подставим значение $m = 3$ в формулу:

$p = 16,38 \cdot 3$

$p = 49,14$

Таким образом, масса, равная 3 пудам, составляет 49,14 кг.

Ответ: 49,14 кг.

20,5 пуда

Чтобы найти массу в килограммах, соответствующую 20,5 пуда, подставим значение $m = 20,5$ в формулу:

$p = 16,38 \cdot 20,5$

$p = 335,79$

Таким образом, масса, равная 20,5 пуда, составляет 335,79 кг.

Ответ: 335,79 кг.

189. Пользуясь формулой с = 0,454f, где f − масса в фунтах, с − масса в килограммах, выразите в килограммах массу, равную:

а) 8 фунтам; б) 30,5 фунта.

Для решения этой задачи мы воспользуемся данной формулой $c = 0,454f$, где $f$ — это масса в фунтах, а $c$ — масса в килограммах. Нам нужно подставить заданные значения массы в фунтах в эту формулу, чтобы найти соответствующую массу в килограммах.

а) 8 фунтам;

Подставим значение $f = 8$ в формулу:

$c = 0,454 \cdot f$

$c = 0,454 \cdot 8$

Выполним умножение:

$0,454 \cdot 8 = 3,632$

Таким образом, масса 8 фунтов равна 3,632 килограммам.

Ответ: 3,632 кг.

б) 30,5 фунта.

Подставим значение $f = 30,5$ в формулу:

$c = 0,454 \cdot f$

$c = 0,454 \cdot 30,5$

Выполним умножение:

$0,454 \cdot 30,5 = 13,847$

Таким образом, масса 30,5 фунтов равна 13,847 килограммам.

Ответ: 13,847 кг.

190. Подсчитать приближённо пройденное человеком расстояние можно, используя формулу s = nl, где s − пройденное расстояние в метрах, n − число шагов, I − длина шага. Сколько километров прошёл человек, если длина его шага 60 см, а сделал он 1800 шагов?

Для решения задачи воспользуемся приведённой формулой $s = nl$, где $s$ — это пройденное расстояние в метрах, $n$ — число сделанных шагов, а $l$ — длина одного шага.

Из условия задачи нам известны следующие величины:
Число шагов $n = 1800$.
Длина шага $l = 60$ см.

Формула для расчёта расстояния $s$ предполагает, что длина шага $l$ выражена в метрах. Поэтому сначала переведём длину шага из сантиметров в метры. Поскольку $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, получаем:
$l = 60 \text{ см} = \frac{60}{100} \text{ м} = 0,6 \text{ м}$.

Теперь мы можем рассчитать общее пройденное расстояние в метрах, подставив значения в формулу:
$s = n \cdot l = 1800 \cdot 0,6 = 1080 \text{ м}$.

В вопросе требуется выразить расстояние в километрах. Для этого переведём метры в километры. Зная, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$:
$1080 \text{ м} = \frac{1080}{1000} \text{ км} = 1,08 \text{ км}$.

Ответ: человек прошёл 1,08 км.

191.Как изменится площадь прямоугольника, если:
а) его длину и ширину уменьшить на 10%;
6) его длину увеличить на 30%, а ширину уменьшить на 30% ?

а) его длину и ширину уменьшить на 10% ;

Пусть первоначальные длина и ширина прямоугольника равны $l$ и $w$ соответственно. Тогда его площадь $S$ равна $S = l \cdot w$. При уменьшении каждой стороны на 10%, новые стороны будут составлять $100\% - 10\% = 90\%$ от первоначальных, то есть будут равны $0,9$ от их исходной величины. Новая длина $l_1 = 0,9l$. Новая ширина $w_1 = 0,9w$. Новая площадь $S_1$ будет равна: $S_1 = l_1 \cdot w_1 = (0,9l) \cdot (0,9w) = 0,81 \cdot (l \cdot w) = 0,81S$. Новая площадь составляет 81% от первоначальной. Следовательно, площадь уменьшилась на $100\% - 81\% = 19\%$.

Ответ: площадь прямоугольника уменьшится на 19%.

б) его длину увеличить на 30%, а ширину уменьшить на 30% ?

Пусть первоначальные длина и ширина прямоугольника равны $l$ и $w$, а площадь $S = l \cdot w$. При увеличении длины на 30%, новая длина $l_2$ составит $100\% + 30\% = 130\%$ от первоначальной, то есть $l_2 = 1,3l$. При уменьшении ширины на 30%, новая ширина $w_2$ составит $100\% - 30\% = 70\%$ от первоначальной, то есть $w_2 = 0,7w$. Новая площадь $S_2$ будет равна: $S_2 = l_2 \cdot w_2 = (1,3l) \cdot (0,7w) = 0,91 \cdot (l \cdot w) = 0,91S$. Новая площадь составляет 91% от первоначальной. Следовательно, площадь уменьшилась на $100\% - 91\% = 9\%$.

Ответ: площадь прямоугольника уменьшится на 9%.

192.Как изменится объём куба, если длину его ребра увеличить на 20%?

Пусть первоначальная длина ребра куба равна $a$. Тогда его первоначальный объём $V_1$ вычисляется по формуле:

$V_1 = a^3$

Длину ребра увеличили на 20%. Новая длина ребра, обозначим её $a_{нов}$, будет равна 120% от первоначальной длины, то есть:

$a_{нов} = a + 0,2a = 1,2a$

Теперь найдём новый объём куба $V_2$ с ребром $a_{нов}$:

$V_2 = (a_{нов})^3 = (1,2a)^3 = 1,2^3 \cdot a^3 = 1,728a^3$

Чтобы определить, на сколько процентов увеличился объём, найдём отношение изменения объёма к первоначальному объёму и умножим на 100%. Изменение объёма равно $V_2 - V_1$.

Процентное увеличение = $\frac{V_2 - V_1}{V_1} \times 100\% = \frac{1,728a^3 - a^3}{a^3} \times 100\% = \frac{0,728a^3}{a^3} \times 100\% = 0,728 \times 100\% = 72,8\%$

Таким образом, объём куба увеличится на 72,8%.

Ответ: объём куба увеличится на 72,8%.

193.Цену на товар сначала повысили на 15%, а затем снизили на 15%, так как товар перестал пользоваться спросом. Первоначальная цена товара составляла а р., а окончательная − b р. Сравните числа а и b (выберите верный ответ).

1. а > b.
2. а < b.
3. а = b.
4. Сравнить нельзя, так как неизвестно значение а.

Для того чтобы сравнить первоначальную цену $a$ и окончательную цену $b$, проанализируем изменения цены товара поэтапно.

1. Повышение цены на 15%
Первоначальная цена товара составляет $a$ рублей. Повышение цены на 15% означает, что к первоначальной цене добавили 15% от неё самой. В виде десятичной дроби 15% — это $0.15$. Цена после повышения будет равна: $a + 0.15 \times a = a \times (1 + 0.15) = 1.15a$

2. Снижение цены на 15%
Теперь новую цену ($1.15a$) снижают на 15%. Важно отметить, что 15% вычисляются уже от новой, повышенной цены, а не от первоначальной. Снижение на 15% эквивалентно умножению на коэффициент $(1 - 0.15) = 0.85$. Окончательная цена $b$ будет равна: $b = (1.15a) \times 0.85$

3. Сравнение $a$ и $b$
Чтобы сравнить $a$ и $b$, выразим $b$ через $a$, вычислив произведение коэффициентов: $b = (1.15 \times 0.85) \times a$ $1.15 \times 0.85 = 0.9775$ Следовательно, окончательная цена $b$ связана с первоначальной ценой $a$ следующим соотношением: $b = 0.9775a$ Так как коэффициент $0.9775$ меньше единицы ($0.9775 < 1$), то окончательная цена $b$ будет меньше первоначальной цены $a$ (при условии, что $a > 0$, что всегда верно для цены товара). Таким образом, мы получаем неравенство $b < a$, что эквивалентно $a > b$.
Ответ: 1. $a > b$

194.На распродаже цену на костюм снизили на 20%. На сколько процентов надо повысить новую цену, чтобы вернуться к первоначальной?

Пусть первоначальная цена костюма составляет $C$.

1. Найдем новую цену после скидки.
Цену снизили на 20%. Это значит, что от первоначальной цены осталось $100\% - 20\% = 80\%$. Чтобы найти новую цену, умножим первоначальную цену на 0,8 (что соответствует 80%).
Новая цена $C_{новая} = C \times (1 - 0.20) = 0.8C$.

2. Найдем, на сколько процентов нужно повысить новую цену.
Теперь нам нужно повысить новую цену $0.8C$ на некоторый процент $p$, чтобы вернуться к первоначальной цене $C$. За базу для расчета повышения мы берем новую цену $0.8C$. Сумма, на которую нужно повысить цену, составляет:
$C - C_{новая} = C - 0.8C = 0.2C$.

Чтобы найти, какой процент ($p$) эта сумма повышения ($0.2C$) составляет от новой цены ($0.8C$), нужно разделить сумму повышения на новую цену и умножить на 100%.
$p = \frac{\text{сумма повышения}}{\text{новая цена}} \times 100\%$
$p = \frac{0.2C}{0.8C} \times 100\%$

Переменная $C$ в числителе и знаменателе сокращается:
$p = \frac{0.2}{0.8} \times 100\% = \frac{2}{8} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\%$
$p = 0.25 \times 100\% = 25\%$

Ответ: новую цену надо повысить на 25%.