Страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

224. Докажите, что:

а) выражение х(−1) + х(−2) + х(−3) + 6х тождественно равно нулю;

б) выражение а(−5) + а · 4 + а(−3) + а · 2 тождественно равно − 2а.

а) Чтобы доказать, что выражение $x(-1) + x(-2) + x(-3) + 6x$ тождественно равно нулю, необходимо выполнить тождественные преобразования, то есть упростить его.

1. Сначала раскроем скобки, выполнив умножение переменной $x$ на числа. Помним, что $x(n)$ — это краткая запись для $x \cdot n$.

$x(-1) = -1 \cdot x = -x$

$x(-2) = -2 \cdot x = -2x$

$x(-3) = -3 \cdot x = -3x$

2. Подставим полученные произведения в исходное выражение:

$-x - 2x - 3x + 6x$

3. Все слагаемые в данном выражении являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть ($x$). Чтобы их сложить, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

$(-1 - 2 - 3 + 6)x$

4. Вычислим значение в скобках:

$-1 - 2 - 3 + 6 = -3 - 3 + 6 = -6 + 6 = 0$

5. Таким образом, выражение равно:

$0 \cdot x = 0$

Поскольку результат равен 0 при любом значении переменной $x$, мы доказали, что исходное выражение тождественно равно нулю.

Ответ: $x(-1) + x(-2) + x(-3) + 6x = -x - 2x - 3x + 6x = (-1-2-3+6)x = 0x = 0$.

б) Чтобы доказать, что выражение $a(-5) + a \cdot 4 + a(-3) + a \cdot 2$ тождественно равно $-2a$, выполним его упрощение путем тождественных преобразований.

1. Сначала выполним все операции умножения:

$a(-5) = -5a$

$a \cdot 4 = 4a$

$a(-3) = -3a$

$a \cdot 2 = 2a$

2. Подставим полученные значения в выражение:

$-5a + 4a - 3a + 2a$

3. Все слагаемые являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть ($a$). Приведем их, сложив коэффициенты:

$(-5 + 4 - 3 + 2)a$

4. Вычислим сумму коэффициентов в скобках:

$-5 + 4 - 3 + 2 = -1 - 3 + 2 = -4 + 2 = -2$

5. В результате получаем:

$-2a$

Поскольку исходное выражение приводится к виду $-2a$ для любого значения переменной $a$, мы доказали, что оно тождественно равно $-2a$.

Ответ: $a(-5) + a \cdot 4 + a(-3) + a \cdot 2 = -5a + 4a - 3a + 2a = (-5+4-3+2)a = -2a$.

225. Найдите значение выражения 8а − (4b + За) − (4а − Зb):

а) при а = 6,8, b = 7,3; б) при а = −8,9, b = −9,9.

Для решения задачи сначала упростим исходное выражение. Это позволит сделать вычисления проще.

Исходное выражение: $8a - (4b + 3a) - (4a - 3b)$

Шаг 1: Раскроем скобки. Перед каждой скобкой стоит знак минус, поэтому все знаки внутри скобок меняются на противоположные.

$8a - (4b + 3a) - (4a - 3b) = 8a - 4b - 3a - 4a + 3b$

Шаг 2: Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с переменной a и члены с переменной b).

$(8a - 3a - 4a) + (-4b + 3b)$

Шаг 3: Выполним вычисления в каждой группе.

$(8 - 3 - 4)a + (-4 + 3)b = 1a - 1b = a - b$

Таким образом, упрощенное выражение равно $a - b$. Теперь найдем его значение для каждой пары чисел.

а) при $a = 6,8$, $b = 7,3$

Подставляем значения в упрощенное выражение $a - b$:

$6,8 - 7,3 = -0,5$

Ответ: -0,5

б) при $a = -8,9$, $b = -9,9$

Подставляем значения в упрощенное выражение $a - b$:

$-8,9 - (-9,9) = -8,9 + 9,9 = 1$

Ответ: 1

226. Докажите, что значение выражения не зависит от а:

а) а + (2а − (3а − 5)); б) а − (6а − (5а − 8)).

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $a$, необходимо его упростить. Для этого последовательно раскроем скобки, начиная с самых внутренних. Перед внутренними скобками $(3a - 5)$ стоит знак минус, поэтому при их раскрытии знаки слагаемых меняются на противоположные.

$a + (2a - (3a - 5)) = a + (2a - 3a + 5)$

Теперь приведем подобные слагаемые внутри оставшихся скобок:

$a + (2a - 3a + 5) = a + (-a + 5)$

Раскроем последние скобки. Так как перед ними стоит знак плюс, знаки слагаемых не меняются:

$a - a + 5 = 5$

В результате упрощения переменная $a$ сократилась, и мы получили числовое значение 5. Это доказывает, что значение исходного выражения не зависит от $a$.

Ответ: 5

б) Аналогично упростим второе выражение. Начнем с раскрытия внутренних скобок $(5a - 8)$. Перед ними стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри меняются.

$a - (6a - (5a - 8)) = a - (6a - 5a + 8)$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$a - (6a - 5a + 8) = a - (a + 8)$

Теперь раскроем оставшиеся скобки. Перед ними стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых снова меняются на противоположные:

$a - a - 8 = -8$

В результате упрощения мы получили число -8. Это означает, что значение выражения не зависит от переменной $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: -8

227. Докажите, что если одно из чисел кратно 3, а другое кратно 5, то их произведение кратно 15.

Для доказательства данного утверждения обозначим два числа как $a$ и $b$.

Согласно условию, одно из этих чисел кратно 3, а другое кратно 5. Без ограничения общности, предположим, что число $a$ кратно 3, а число $b$ кратно 5. (Если бы мы предположили наоборот, что $a$ кратно 5, а $b$ кратно 3, итоговый результат не изменился бы).

Если число $a$ кратно 3, то по определению кратности его можно представить в виде $a = 3 \cdot k$, где $k$ — некоторое целое число.

Аналогично, если число $b$ кратно 5, то его можно представить в виде $b = 5 \cdot m$, где $m$ — некоторое целое число.

Теперь найдем произведение этих двух чисел $a \cdot b$: $a \cdot b = (3 \cdot k) \cdot (5 \cdot m)$

Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, мы можем перегруппировать множители следующим образом: $a \cdot b = (3 \cdot 5) \cdot (k \cdot m)$

Выполнив умножение, получаем: $a \cdot b = 15 \cdot (k \cdot m)$

Поскольку $k$ и $m$ являются целыми числами, их произведение $(k \cdot m)$ также является целым числом. Обозначим это целое число как $n$, то есть $n = k \cdot m$.

Тогда произведение наших чисел можно записать в виде $a \cdot b = 15 \cdot n$.

По определению, если число можно представить как произведение числа 15 на некоторое целое число, то оно кратно 15. Следовательно, произведение $a \cdot b$ кратно 15. Утверждение доказано.

Ответ: Пусть даны два числа $a$ и $b$. Если $a$ кратно 3, то $a = 3k$ для некоторого целого $k$. Если $b$ кратно 5, то $b = 5m$ для некоторого целого $m$. Их произведение равно $a \cdot b = (3k)(5m) = 15(km)$. Так как произведение целых чисел $k$ и $m$ также является целым числом, то произведение $a \cdot b$ кратно 15, что и требовалось доказать.

228. Является ли корнем уравнения (2х − 3,8)(4,2 + 3х) = 0 число:

а) 1,9; б) 2; в) −1,4; г) −3?

Чтобы определить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число в уравнение вместо переменной. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то число является корнем уравнения. Если равенство неверное, то число корнем не является.

Исходное уравнение: $(2x - 3,8)(4,2 + 3x) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому, чтобы найти все корни, можно решить два более простых уравнения:

$2x - 3,8 = 0$ или $4,2 + 3x = 0$

1) $2x = 3,8 \Rightarrow x = 3,8 / 2 \Rightarrow x = 1,9$

2) $3x = -4,2 \Rightarrow x = -4,2 / 3 \Rightarrow x = -1,4$

Таким образом, корнями уравнения являются числа $1,9$ и $-1,4$. Теперь проверим каждое из предложенных чисел.

а) 1,9

Подставим значение $x = 1,9$ в уравнение:

$(2 \cdot 1,9 - 3,8)(4,2 + 3 \cdot 1,9) = (3,8 - 3,8)(4,2 + 5,7) = 0 \cdot 9,9 = 0$.

Мы получили верное равенство $0=0$. Следовательно, число 1,9 является корнем уравнения.

Ответ: да, является.

б) 2

Подставим значение $x = 2$ в уравнение:

$(2 \cdot 2 - 3,8)(4,2 + 3 \cdot 2) = (4 - 3,8)(4,2 + 6) = 0,2 \cdot 10,2 = 2,04$.

Мы получили $2,04 \neq 0$, что является неверным равенством. Следовательно, число 2 не является корнем уравнения.

Ответ: нет, не является.

в) -1,4

Подставим значение $x = -1,4$ в уравнение:

$(2 \cdot (-1,4) - 3,8)(4,2 + 3 \cdot (-1,4)) = (-2,8 - 3,8)(4,2 - 4,2) = -6,6 \cdot 0 = 0$.

Мы получили верное равенство $0=0$. Следовательно, число -1,4 является корнем уравнения.

Ответ: да, является.

г) -3

Подставим значение $x = -3$ в уравнение:

$(2 \cdot (-3) - 3,8)(4,2 + 3 \cdot (-3)) = (-6 - 3,8)(4,2 - 9) = (-9,8) \cdot (-4,8) = 47,04$.

Мы получили $47,04 \neq 0$, что является неверным равенством. Следовательно, число -3 не является корнем уравнения.

Ответ: нет, не является.

229. Какие из чисел −4, −3, −1, 3, 4 являются корнями уравнения:

а) х² + 4х + 3 = 0; б) х² + х = 12?

Для того чтобы определить, какие из предложенных чисел являются корнями уравнений, нужно последовательно подставить каждое из чисел ($-4, -3, -1, 3, 4$) в каждое уравнение и проверить, обращается ли оно в верное числовое равенство.

Проверяем уравнение $x^2 + 4x + 3 = 0$:

• Подставляем $x = -4$:
  $(-4)^2 + 4(-4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3$.
  Равенство $3 = 0$ неверно, следовательно, $-4$ не является корнем уравнения.
• Подставляем $x = -3$:
  $(-3)^2 + 4(-3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$.
  Равенство $0 = 0$ верно, следовательно, $-3$ является корнем уравнения.
• Подставляем $x = -1$:
  $(-1)^2 + 4(-1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$.
  Равенство $0 = 0$ верно, следовательно, $-1$ является корнем уравнения.
• Подставляем $x = 3$:
  $(3)^2 + 4(3) + 3 = 9 + 12 + 3 = 24$.
  Равенство $24 = 0$ неверно, следовательно, $3$ не является корнем уравнения.
• Подставляем $x = 4$:
  $(4)^2 + 4(4) + 3 = 16 + 16 + 3 = 35$.
  Равенство $35 = 0$ неверно, следовательно, $4$ не является корнем уравнения.

Таким образом, из предложенного списка чисел корнями уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$ являются числа $-3$ и $-1$.

Ответ: $-3, -1$.

Проверяем уравнение $x^2 + x = 12$:

• Подставляем $x = -4$:
  $(-4)^2 + (-4) = 16 - 4 = 12$.
  Равенство $12 = 12$ верно, следовательно, $-4$ является корнем уравнения.
• Подставляем $x = -3$:
  $(-3)^2 + (-3) = 9 - 3 = 6$.
  Равенство $6 = 12$ неверно, следовательно, $-3$ не является корнем уравнения.
• Подставляем $x = -1$:
  $(-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$.
  Равенство $0 = 12$ неверно, следовательно, $-1$ не является корнем уравнения.
• Подставляем $x = 3$:
  $(3)^2 + 3 = 9 + 3 = 12$.
  Равенство $12 = 12$ верно, следовательно, $3$ является корнем уравнения.
• Подставляем $x = 4$:
  $(4)^2 + 4 = 16 + 4 = 20$.
  Равенство $20 = 12$ неверно, следовательно, $4$ не является корнем уравнения.

Таким образом, из предложенного списка чисел корнями уравнения $x^2 + x = 12$ являются числа $-4$ и $3$.

Ответ: $-4, 3$.

230. Имеет ли корни уравнение:

а) Чтобы определить, имеет ли уравнение $3x + 7 = (9 + x) + 2x$ корни, упростим его.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в правой части:
$3x + 7 = 9 + x + 2x$
$3x + 7 = 9 + 3x$
Теперь перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$3x - 3x = 9 - 7$
$0 \cdot x = 2$
$0 = 2$
Получилось неверное числовое равенство. Это означает, что ни при каком значении $x$ уравнение не станет верным.
Ответ: уравнение не имеет корней.

б) Рассмотрим уравнение $5x - 1 = 4(x + 2) - (9 - x)$.
Раскроем скобки в правой части:
$5x - 1 = 4x + 4 \cdot 2 - 9 + x$
$5x - 1 = 4x + 8 - 9 + x$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$5x - 1 = (4x + x) + (8 - 9)$
$5x - 1 = 5x - 1$
Мы получили тождество, то есть верное равенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что любое число является корнем данного уравнения.
Ответ: да, уравнение имеет бесконечно много корней (любое число является корнем).

в) Рассмотрим уравнение $x^2 = x$.
Это квадратное уравнение. Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Следовательно, либо $x = 0$, либо $x - 1 = 0$.
Из второго уравнения получаем $x = 1$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: да, уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

г) Рассмотрим уравнение $x + 1 = x - 1$.
Перенесем все члены с $x$ в левую сторону, а свободные члены — в правую:
$x - x = -1 - 1$
$0 \cdot x = -2$
$0 = -2$
Получилось неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение не имеет решений.
Ответ: уравнение не имеет корней.

231. Почему не имеет корней уравнение:

а) |х| = −1; б) |х| + 3 = 0?

а) Уравнение $|x| = -1$ не имеет корней, потому что по определению модуль числа — это неотрицательная величина. Модуль числа $x$, обозначаемый $|x|$, показывает расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой, а расстояние не может быть отрицательным. Таким образом, для любого числа $x$ справедливо неравенство $|x| \ge 0$. Уравнение же требует, чтобы неотрицательная величина $|x|$ была равна отрицательному числу $-1$, что невозможно.
Ответ: Уравнение не имеет корней, так как модуль числа не может быть отрицательным.

б) Чтобы понять, почему уравнение $|x| + 3 = 0$ не имеет корней, преобразуем его. Перенесем 3 в правую часть уравнения, изменив знак:
$|x| = 0 - 3$
$|x| = -3$
Мы получили, что модуль числа $x$ должен быть равен отрицательному числу $-3$. Как и в предыдущем пункте, это невозможно, потому что модуль любого числа всегда является неотрицательной величиной ($|x| \ge 0$).
Ответ: Уравнение не имеет корней, так как оно сводится к виду $|x| = -3$, а модуль числа не может быть отрицательным.

232.Решите уравнение:

а) $|x| = 5$

По определению, модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Уравнение $|x| = 5$ означает, что мы ищем все числа $x$, расстояние от которых до нуля равно 5. На числовой прямой есть две такие точки: 5 и -5.

Следовательно, уравнение имеет два корня:

$x_1 = 5$

$x_2 = -5$

Ответ: -5; 5.

б) $|a| - 17 = 0$

Чтобы решить это уравнение, сначала нужно изолировать выражение с модулем. Для этого перенесем -17 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный:

$|a| = 0 + 17$

$|a| = 17$

Теперь мы получили уравнение, аналогичное предыдущему. Мы ищем числа $a$, модуль которых равен 17. Таких чисел два: 17 и -17.

Корни уравнения:

$a_1 = 17$

$a_2 = -17$

Ответ: -17; 17.

в) $6 - |b| = 0$

Снова начнем с преобразования уравнения, чтобы выделить модуль. Перенесем $-|b|$ в правую часть уравнения (это эквивалентно прибавлению $|b|$ к обеим частям уравнения):

$6 = |b|$

Это уравнение равносильно уравнению $|b| = 6$. Мы ищем числа $b$, модуль которых равен 6. Этому условию удовлетворяют два числа: 6 и -6.

Корни уравнения:

$b_1 = 6$

$b_2 = -6$

Ответ: -6; 6.

233.При каких значениях коэффициента m уравнение mх = 5 имеет единственный корень? Существует ли такое значение m, при котором это уравнение не имеет корней; имеет бесконечно много корней?

Рассмотрим уравнение $mx = 5$. Это линейное уравнение относительно $x$ с параметром $m$. Количество решений уравнения зависит от значения этого параметра.

Для того чтобы линейное уравнение имело единственный корень, коэффициент при неизвестной переменной должен быть отличен от нуля. В данном уравнении коэффициент при $x$ равен $m$.
Если $m \neq 0$, то мы можем разделить обе части уравнения на $m$ и найти единственное значение $x$:
$x = \frac{5}{m}$
Таким образом, при любом ненулевом значении $m$ уравнение имеет единственный корень.
Ответ: Уравнение имеет единственный корень при $m \neq 0$.

Проанализируем случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $m = 0$. Подставив это значение в исходное уравнение, получим:
$0 \cdot x = 5$
$0 = 5$
Это равенство является ложным, так как $0$ не равно $5$. Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором это равенство было бы верным. Это означает, что при $m=0$ уравнение не имеет корней.
Ответ: Да, существует. Уравнение не имеет корней при $m = 0$.

Линейное уравнение имеет бесконечно много корней тогда и только тогда, когда оно сводится к тождеству $0=0$. Для уравнения вида $ax=b$ это возможно при одновременном выполнении двух условий: $a=0$ и $b=0$.
В нашем уравнении $mx=5$ имеем $a=m$ и $b=5$.
Условие $a=0$ означает, что $m=0$.
Условие $b=0$ означает, что $5=0$, что, очевидно, неверно.
Поскольку второе условие ($b=0$) не может быть выполнено ни при каком значении $m$, не существует такого $m$, при котором данное уравнение имело бы бесконечно много корней.
Ответ: Нет, такого значения $m$ не существует.

234.При каких значениях коэффициента р уравнение рх = 10 имеет корень, равный −5; 1; 20?

Чтобы найти значение коэффициента p, при котором уравнение $px = 10$ имеет заданный корень, необходимо подставить значение этого корня (x) в уравнение и решить его относительно p.

-5

Если корень уравнения равен -5, это значит, что $x = -5$. Подставим это значение в исходное уравнение:
$p \cdot (-5) = 10$
Теперь решим полученное уравнение относительно p:
$-5p = 10$
$p = \frac{10}{-5}$
$p = -2$

Ответ: -2

1

Если корень уравнения равен 1, это значит, что $x = 1$. Подставим это значение в уравнение:
$p \cdot 1 = 10$
Из этого уравнения сразу следует:
$p = 10$

Ответ: 10

20

Если корень уравнения равен 20, это значит, что $x = 20$. Подставим это значение в уравнение:
$p \cdot 20 = 10$
Решим это уравнение относительно p:
$20p = 10$
$p = \frac{10}{20}$
Сократим дробь:
$p = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

235. Решите уравнение:

а) 3,8х − (1,6 − 1,2х) = 9,6 + (3,7 − 5х);
б) (4,5у + 9) − (6,2 − 3,1у) = 7,2у + 2,8;
в) 0,6m − 1,4 = (3,5m + 1,7) − (2,7m − 3,4);
г) (5,3а − 0,8) − (1,6 − 4,7а) = 2а − (а − 0,3).

а) Исходное уравнение: $3,8x - (1,6 - 1,2x) = 9,6 + (3,7 - 5x)$.
Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения. Перед первой скобкой стоит знак минус, поэтому знаки внутри скобки меняются на противоположные. Перед второй скобкой стоит знак плюс, поэтому знаки не меняются.
$3,8x - 1,6 + 1,2x = 9,6 + 3,7 - 5x$
Теперь приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения.
В левой части: $3,8x + 1,2x = 5x$.
В правой части: $9,6 + 3,7 = 13,3$.
Получаем уравнение:
$5x - 1,6 = 13,3 - 5x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя знак при переносе.
$5x + 5x = 13,3 + 1,6$
$10x = 14,9$
Найдем $x$, разделив обе части на 10.
$x = \frac{14,9}{10}$
$x = 1,49$
Ответ: $1,49$.

б) Исходное уравнение: $(4,5y + 9) - (6,2 - 3,1y) = 7,2y + 2,8$.
Раскроем скобки в левой части уравнения. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки внутри нее меняются.
$4,5y + 9 - 6,2 + 3,1y = 7,2y + 2,8$
Приведем подобные слагаемые в левой части.
$(4,5y + 3,1y) + (9 - 6,2) = 7,2y + 2,8$
$7,6y + 2,8 = 7,2y + 2,8$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числа — в правую.
$7,6y - 7,2y = 2,8 - 2,8$
$0,4y = 0$
Найдем $y$, разделив обе части на 0,4.
$y = \frac{0}{0,4}$
$y = 0$
Ответ: $0$.

в) Исходное уравнение: $0,6m - 1,4 = (3,5m + 1,7) - (2,7m - 3,4)$.
Раскроем скобки в правой части уравнения.
$0,6m - 1,4 = 3,5m + 1,7 - 2,7m + 3,4$
Приведем подобные слагаемые в правой части.
$(3,5m - 2,7m) + (1,7 + 3,4) = 0,8m + 5,1$
Уравнение принимает вид:
$0,6m - 1,4 = 0,8m + 5,1$
Перенесем слагаемые с переменной $m$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую.
$-1,4 - 5,1 = 0,8m - 0,6m$
$-6,5 = 0,2m$
Чтобы найти $m$, разделим обе части на 0,2.
$m = \frac{-6,5}{0,2}$
$m = -\frac{65}{2}$
$m = -32,5$
Ответ: $-32,5$.

г) Исходное уравнение: $(5,3a - 0,8) - (1,6 - 4,7a) = 2a - (a - 0,3)$.
Раскроем все скобки в уравнении.
$5,3a - 0,8 - 1,6 + 4,7a = 2a - a + 0,3$
Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения.
В левой части: $(5,3a + 4,7a) - (0,8 + 1,6) = 10a - 2,4$.
В правой части: $(2a - a) + 0,3 = a + 0,3$.
Уравнение принимает вид:
$10a - 2,4 = a + 0,3$
Перенесем слагаемые с переменной $a$ в левую часть, а числа — в правую.
$10a - a = 0,3 + 2,4$
$9a = 2,7$
Найдем $a$, разделив обе части на 9.
$a = \frac{2,7}{9}$
$a = 0,3$
Ответ: $0,3$.

236.Может ли иметь положительный корень уравнение:

а) (х + 5)(х + 6) + 9 = 0; б) х² + 3х + 1 = 0?

а) Чтобы ответить на вопрос, может ли уравнение $(x + 5)(x + 6) + 9 = 0$ иметь положительный корень, проанализируем его левую часть. Предположим, что у уравнения есть положительный корень $x$, то есть $x > 0$.

Если $x$ является положительным числом, то:

Выражение $(x + 5)$ будет положительным, и его значение будет больше, чем $0 + 5 = 5$.

Выражение $(x + 6)$ также будет положительным, и его значение будет больше, чем $0 + 6 = 6$.

Произведение двух положительных множителей $(x + 5)$ и $(x + 6)$ будет положительным числом. Более того, это произведение будет строго больше, чем $5 \cdot 6 = 30$.

Теперь рассмотрим всю левую часть уравнения: $(x + 5)(x + 6) + 9$. Так как $(x + 5)(x + 6) > 30$, то сумма $(x + 5)(x + 6) + 9$ будет строго больше, чем $30 + 9 = 39$.

Таким образом, для любого положительного значения $x$ левая часть уравнения всегда будет положительным числом (даже больше 39) и никогда не сможет равняться нулю. Следовательно, уравнение не может иметь положительных корней.

Ответ: нет, не может.

б) Рассмотрим уравнение $x^2 + 3x + 1 = 0$. Проверим, может ли оно иметь положительный корень. Предположим, что такой корень $x$ существует, то есть $x > 0$.

Если $x$ — положительное число, то проанализируем каждое слагаемое в левой части уравнения:

1. Слагаемое $x^2$ будет положительным, так как квадрат любого положительного числа положителен.

2. Слагаемое $3x$ будет положительным, так как это произведение двух положительных чисел (3 и $x$).

3. Слагаемое 1 также является положительным числом.

Сумма трех положительных слагаемых ($x^2$, $3x$ и $1$) всегда является положительным числом. Это означает, что при любом $x > 0$ значение выражения $x^2 + 3x + 1$ будет строго больше нуля.

Следовательно, левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю, если $x$ является положительным числом. Это доказывает, что у данного уравнения нет положительных корней.

Ответ: нет, не может.