Номер 227, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 227, страница 49.

227. Докажите, что если одно из чисел кратно 3, а другое кратно 5, то их произведение кратно 15.

Для доказательства данного утверждения обозначим два числа как $a$ и $b$.

Согласно условию, одно из этих чисел кратно 3, а другое кратно 5. Без ограничения общности, предположим, что число $a$ кратно 3, а число $b$ кратно 5. (Если бы мы предположили наоборот, что $a$ кратно 5, а $b$ кратно 3, итоговый результат не изменился бы).

Если число $a$ кратно 3, то по определению кратности его можно представить в виде $a = 3 \cdot k$, где $k$ — некоторое целое число.

Аналогично, если число $b$ кратно 5, то его можно представить в виде $b = 5 \cdot m$, где $m$ — некоторое целое число.

Теперь найдем произведение этих двух чисел $a \cdot b$: $a \cdot b = (3 \cdot k) \cdot (5 \cdot m)$

Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, мы можем перегруппировать множители следующим образом: $a \cdot b = (3 \cdot 5) \cdot (k \cdot m)$

Выполнив умножение, получаем: $a \cdot b = 15 \cdot (k \cdot m)$

Поскольку $k$ и $m$ являются целыми числами, их произведение $(k \cdot m)$ также является целым числом. Обозначим это целое число как $n$, то есть $n = k \cdot m$.

Тогда произведение наших чисел можно записать в виде $a \cdot b = 15 \cdot n$.

По определению, если число можно представить как произведение числа 15 на некоторое целое число, то оно кратно 15. Следовательно, произведение $a \cdot b$ кратно 15. Утверждение доказано.

Ответ: Пусть даны два числа $a$ и $b$. Если $a$ кратно 3, то $a = 3k$ для некоторого целого $k$. Если $b$ кратно 5, то $b = 5m$ для некоторого целого $m$. Их произведение равно $a \cdot b = (3k)(5m) = 15(km)$. Так как произведение целых чисел $k$ и $m$ также является целым числом, то произведение $a \cdot b$ кратно 15, что и требовалось доказать.