Номер 227, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. Дополнительные упражнения к главе I. К параграфу 2 - номер 227, страница 49.

Условие.

227. Докажите, что если одно из чисел кратно 3, а другое кратно 5, то их произведение кратно 15.

Решение 1.

Если число кратно 3, то оно равно 3a, второе число кратно 5, то оно равно 5b. Произведение этих чисел равно 3a ∙ 5b = 15ab. Значит, оно кратно 15.

Решение 2.

Для доказательства данного утверждения обозначим два числа как $a$ и $b$.

Согласно условию, одно из этих чисел кратно 3, а другое кратно 5. Без ограничения общности, предположим, что число $a$ кратно 3, а число $b$ кратно 5. (Если бы мы предположили наоборот, что $a$ кратно 5, а $b$ кратно 3, итоговый результат не изменился бы).

Если число $a$ кратно 3, то по определению кратности его можно представить в виде $a = 3 \cdot k$, где $k$ — некоторое целое число.

Аналогично, если число $b$ кратно 5, то его можно представить в виде $b = 5 \cdot m$, где $m$ — некоторое целое число.

Теперь найдем произведение этих двух чисел $a \cdot b$: $a \cdot b = (3 \cdot k) \cdot (5 \cdot m)$

Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, мы можем перегруппировать множители следующим образом: $a \cdot b = (3 \cdot 5) \cdot (k \cdot m)$

Выполнив умножение, получаем: $a \cdot b = 15 \cdot (k \cdot m)$

Поскольку $k$ и $m$ являются целыми числами, их произведение $(k \cdot m)$ также является целым числом. Обозначим это целое число как $n$, то есть $n = k \cdot m$.

Тогда произведение наших чисел можно записать в виде $a \cdot b = 15 \cdot n$.

По определению, если число можно представить как произведение числа 15 на некоторое целое число, то оно кратно 15. Следовательно, произведение $a \cdot b$ кратно 15. Утверждение доказано.

Ответ: Пусть даны два числа $a$ и $b$. Если $a$ кратно 3, то $a = 3k$ для некоторого целого $k$. Если $b$ кратно 5, то $b = 5m$ для некоторого целого $m$. Их произведение равно $a \cdot b = (3k)(5m) = 15(km)$. Так как произведение целых чисел $k$ и $m$ также является целым числом, то произведение $a \cdot b$ кратно 15, что и требовалось доказать.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.