Номер 220, страница 48 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 220, страница 48.

220.Объясните, почему равенство является тождеством:

а) |х| = |−х|;

б) |х − у| = |у − х|;

в) |2с| = 2|с|.

а) Тождество $|x| = |-x|$ верно, потому что модуль числа (или его абсолютная величина) — это расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета (точки 0). Противоположные числа, такие как $x$ и $-x$, находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него. Например, числа 7 и -7 оба удалены от 0 на 7 единиц.

Алгебраически это можно доказать, рассмотрев все возможные случаи для переменной $x$:

1. Если $x > 0$ (положительное число), то по определению $|x| = x$. В этом случае $-x$ будет отрицательным числом, и его модуль будет равен $|-x| = -(-x) = x$. Таким образом, левая и правая части равны: $x = x$.

2. Если $x < 0$ (отрицательное число), то по определению $|x| = -x$. В этом случае $-x$ будет положительным числом, и его модуль будет равен $|-x| = -x$. Таким образом, левая и правая части снова равны: $-x = -x$.

3. Если $x = 0$, то $|x| = |0| = 0$ и $|-x| = |-0| = |0| = 0$. Равенство $0 = 0$ верно.

Так как равенство выполняется при любых действительных значениях $x$, оно является тождеством.

Ответ: Равенство является тождеством, так как для любого числа $x$ его модуль (расстояние до нуля) равен модулю противоположного ему числа $-x$.

б) Тождество $|x - y| = |y - x|$ является прямым следствием свойства, доказанного в пункте а).

Рассмотрим выражения, стоящие под знаком модуля: $x - y$ и $y - x$. Эти выражения являются противоположными, поскольку $y - x = -1 \cdot (x - y) = -(x - y)$.

Если мы обозначим выражение $x - y$ новой переменной, например, $z = x - y$, то выражение $y - x$ будет равно $-z$. Тогда исходное равенство примет вид $|z| = |-z|$.

Из пункта а) мы знаем, что $|z| = |-z|$ является тождеством и верно для любого значения $z$. Поскольку $z$ (равное $x - y$) может принимать любое действительное значение в зависимости от $x$ и $y$, то и исходное равенство $|x - y| = |y - x|$ всегда будет верным.

Геометрический смысл этого тождества заключается в том, что $|x - y|$ — это расстояние между точками $x$ и $y$ на числовой прямой. Расстояние от точки $x$ до точки $y$ всегда равно расстоянию от точки $y$ до точки $x$.

Ответ: Равенство является тождеством, потому что выражения $x - y$ и $y - x$ являются противоположными, а модули противоположных выражений всегда равны.

в) Тождество $|2c| = 2|c|$ можно доказать, используя одно из основных свойств модуля, а именно свойство модуля произведения: $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$.

Применим это свойство к левой части нашего равенства:

$|2c| = |2 \cdot c| = |2| \cdot |c|$

Поскольку число 2 является положительным, его модуль $|2|$ равен самому числу 2. Подставив это значение, получаем:

$|2c| = 2 \cdot |c|$

Это доказывает, что равенство является тождеством. В общем случае, любой неотрицательный множитель можно выносить за знак модуля.

Также можно провести доказательство, рассмотрев случаи:

1. Если $c \ge 0$, то $|c| = c$. Правая часть: $2|c| = 2c$. Левая часть: так как $c \ge 0$, то $2c \ge 0$, следовательно $|2c| = 2c$. Равенство $2c = 2c$ верно.

2. Если $c < 0$, то $|c| = -c$. Правая часть: $2|c| = 2(-c) = -2c$. Левая часть: так как $c < 0$, то $2c < 0$, следовательно $|2c| = -(2c) = -2c$. Равенство $-2c = -2c$ верно.

Так как равенство выполняется при любых значениях $c$, оно является тождеством.

Ответ: Равенство является тождеством, так как оно следует из свойства модуля произведения $|ab| = |a||b|$, и того факта, что $|2| = 2$.