Номер 224, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 224, страница 49.

224. Докажите, что:

а) выражение х(−1) + х(−2) + х(−3) + 6х тождественно равно нулю;

б) выражение а(−5) + а · 4 + а(−3) + а · 2 тождественно равно − 2а.

а) Чтобы доказать, что выражение $x(-1) + x(-2) + x(-3) + 6x$ тождественно равно нулю, необходимо выполнить тождественные преобразования, то есть упростить его.

1. Сначала раскроем скобки, выполнив умножение переменной $x$ на числа. Помним, что $x(n)$ — это краткая запись для $x \cdot n$.

$x(-1) = -1 \cdot x = -x$

$x(-2) = -2 \cdot x = -2x$

$x(-3) = -3 \cdot x = -3x$

2. Подставим полученные произведения в исходное выражение:

$-x - 2x - 3x + 6x$

3. Все слагаемые в данном выражении являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть ($x$). Чтобы их сложить, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

$(-1 - 2 - 3 + 6)x$

4. Вычислим значение в скобках:

$-1 - 2 - 3 + 6 = -3 - 3 + 6 = -6 + 6 = 0$

5. Таким образом, выражение равно:

$0 \cdot x = 0$

Поскольку результат равен 0 при любом значении переменной $x$, мы доказали, что исходное выражение тождественно равно нулю.

Ответ: $x(-1) + x(-2) + x(-3) + 6x = -x - 2x - 3x + 6x = (-1-2-3+6)x = 0x = 0$.

б) Чтобы доказать, что выражение $a(-5) + a \cdot 4 + a(-3) + a \cdot 2$ тождественно равно $-2a$, выполним его упрощение путем тождественных преобразований.

1. Сначала выполним все операции умножения:

$a(-5) = -5a$

$a \cdot 4 = 4a$

$a(-3) = -3a$

$a \cdot 2 = 2a$

2. Подставим полученные значения в выражение:

$-5a + 4a - 3a + 2a$

3. Все слагаемые являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть ($a$). Приведем их, сложив коэффициенты:

$(-5 + 4 - 3 + 2)a$

4. Вычислим сумму коэффициентов в скобках:

$-5 + 4 - 3 + 2 = -1 - 3 + 2 = -4 + 2 = -2$

5. В результате получаем:

$-2a$

Поскольку исходное выражение приводится к виду $-2a$ для любого значения переменной $a$, мы доказали, что оно тождественно равно $-2a$.

Ответ: $a(-5) + a \cdot 4 + a(-3) + a \cdot 2 = -5a + 4a - 3a + 2a = (-5+4-3+2)a = -2a$.