Номер 230, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 230, страница 49.

230. Имеет ли корни уравнение:

а) 3х + 7 = (9 + х) + 2х;
б) 5х − 1 = 4(х + 2) − (9 − х);

в) х² = х;
г) х + 1 = х − 1?

а) Чтобы определить, имеет ли уравнение $3x + 7 = (9 + x) + 2x$ корни, упростим его.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в правой части:
$3x + 7 = 9 + x + 2x$
$3x + 7 = 9 + 3x$
Теперь перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$3x - 3x = 9 - 7$
$0 \cdot x = 2$
$0 = 2$
Получилось неверное числовое равенство. Это означает, что ни при каком значении $x$ уравнение не станет верным.
Ответ: уравнение не имеет корней.

б) Рассмотрим уравнение $5x - 1 = 4(x + 2) - (9 - x)$.
Раскроем скобки в правой части:
$5x - 1 = 4x + 4 \cdot 2 - 9 + x$
$5x - 1 = 4x + 8 - 9 + x$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$5x - 1 = (4x + x) + (8 - 9)$
$5x - 1 = 5x - 1$
Мы получили тождество, то есть верное равенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что любое число является корнем данного уравнения.
Ответ: да, уравнение имеет бесконечно много корней (любое число является корнем).

в) Рассмотрим уравнение $x^2 = x$.
Это квадратное уравнение. Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Следовательно, либо $x = 0$, либо $x - 1 = 0$.
Из второго уравнения получаем $x = 1$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: да, уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

г) Рассмотрим уравнение $x + 1 = x - 1$.
Перенесем все члены с $x$ в левую сторону, а свободные члены — в правую:
$x - x = -1 - 1$
$0 \cdot x = -2$
$0 = -2$
Получилось неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение не имеет решений.
Ответ: уравнение не имеет корней.