Номер 233, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 233, страница 49.

233.При каких значениях коэффициента m уравнение mх = 5 имеет единственный корень? Существует ли такое значение m, при котором это уравнение не имеет корней; имеет бесконечно много корней?

Рассмотрим уравнение $mx = 5$. Это линейное уравнение относительно $x$ с параметром $m$. Количество решений уравнения зависит от значения этого параметра.

Уравнение имеет единственный корень

Для того чтобы линейное уравнение имело единственный корень, коэффициент при неизвестной переменной должен быть отличен от нуля. В данном уравнении коэффициент при $x$ равен $m$.
Если $m \neq 0$, то мы можем разделить обе части уравнения на $m$ и найти единственное значение $x$:
$x = \frac{5}{m}$
Таким образом, при любом ненулевом значении $m$ уравнение имеет единственный корень.
Ответ: Уравнение имеет единственный корень при $m \neq 0$.

Уравнение не имеет корней

Проанализируем случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $m = 0$. Подставив это значение в исходное уравнение, получим:
$0 \cdot x = 5$
$0 = 5$
Это равенство является ложным, так как $0$ не равно $5$. Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором это равенство было бы верным. Это означает, что при $m=0$ уравнение не имеет корней.
Ответ: Да, существует. Уравнение не имеет корней при $m = 0$.

Уравнение имеет бесконечно много корней

Линейное уравнение имеет бесконечно много корней тогда и только тогда, когда оно сводится к тождеству $0=0$. Для уравнения вида $ax=b$ это возможно при одновременном выполнении двух условий: $a=0$ и $b=0$.
В нашем уравнении $mx=5$ имеем $a=m$ и $b=5$.
Условие $a=0$ означает, что $m=0$.
Условие $b=0$ означает, что $5=0$, что, очевидно, неверно.
Поскольку второе условие ($b=0$) не может быть выполнено ни при каком значении $m$, не существует такого $m$, при котором данное уравнение имело бы бесконечно много корней.
Ответ: Нет, такого значения $m$ не существует.