Страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

253. На координатной прямой отмечены точки А(−6), В(3), С(6) и D(4). Найдите расстояние между серединами отрезков AD и ВС.

Для решения задачи необходимо выполнить три шага: найти координату середины отрезка AD, найти координату середины отрезка BC, и, наконец, найти расстояние между этими двумя точками.

1. Находим координату середины отрезка AD
Координата середины отрезка на прямой вычисляется как среднее арифметическое координат его концов. Пусть M — середина отрезка AD. Координаты точек A и D равны -6 и 4 соответственно.
Формула для координаты середины M ($x_M$):
$x_M = \frac{x_A + x_D}{2}$
Подставим значения:
$x_M = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Таким образом, координата середины отрезка AD равна -1.

2. Находим координату середины отрезка BC
Аналогично, найдем координату середины отрезка BC. Пусть N — середина отрезка BC. Координаты точек B и C равны 3 и 6 соответственно.
Формула для координаты середины N ($x_N$):
$x_N = \frac{x_B + x_C}{2}$
Подставим значения:
$x_N = \frac{3 + 6}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$
Таким образом, координата середины отрезка BC равна 4.5.

3. Находим расстояние между серединами отрезков AD и BC
Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат. Найдем расстояние $d$ между точками M(-1) и N(4.5).
$d = |x_N - x_M|$
Подставим найденные координаты:
$d = |4.5 - (-1)| = |4.5 + 1| = |5.5| = 5.5$
Расстояние между серединами отрезков AD и BC составляет 5.5.

Ответ: 5.5

254. Между какими из приведённых ниже чисел находится число: 1117; 1519; 1423; 3159?

Чтобы определить, между какими из предложенных пар чисел находится каждое из данных чисел, необходимо перевести обыкновенные дроби в десятичные и сравнить их с границами интервалов.

Проверка числа $\frac{11}{17}$

Для перевода дроби $\frac{11}{17}$ в десятичную, разделим числитель на знаменатель:

$11 \div 17 \approx 0,647$

Сравним полученное значение с предложенными интервалами. Так как $0,6 < 0,647 < 0,7$, число $\frac{11}{17}$ находится между 0,6 и 0,7.

Проверка числа $\frac{15}{19}$

Переведем дробь $\frac{15}{19}$ в десятичную:

$15 \div 19 \approx 0,789$

Сравним значение с интервалами. Так как $0,7 < 0,789 < 0,8$, число $\frac{15}{19}$ находится между 0,7 и 0,8.

Проверка числа $\frac{14}{23}$

Переведем дробь $\frac{14}{23}$ в десятичную:

$14 \div 23 \approx 0,608$

Сравним значение с интервалами. Так как $0,6 < 0,608 < 0,7$, число $\frac{14}{23}$ находится между 0,6 и 0,7.

Проверка числа $\frac{31}{59}$

Переведем дробь $\frac{31}{59}$ в десятичную:

$31 \div 59 \approx 0,525$

Сравним значение с интервалами. Так как $0,5 < 0,525 < 0,6$, число $\frac{31}{59}$ находится между 0,5 и 0,6.

Проанализируем полученные результаты:

• В интервал 1. 0,4 и 0,5 не попадает ни одно из чисел.
• В интервал 2. 0,5 и 0,6 попадает число $\frac{31}{59}$.
• В интервал 3. 0,6 и 0,7 попадают числа $\frac{11}{17}$ и $\frac{14}{23}$.
• В интервал 4. 0,7 и 0,8 попадает число $\frac{15}{19}$.

В условии задачи спрашивается про одно "число", но перечислено четыре, и они попадают в разные интервалы из вариантов ответа. Это указывает на возможную опечатку в условии. Однако, в задачах с выбором одного ответа, если один из вариантов является решением для нескольких случаев, он часто является верным. В данном случае, интервал (0,6; 0,7) содержит два из предложенных чисел. Если же предположить, что вопрос касался только первого числа в списке, $\frac{11}{17}$, то оно также попадает в интервал (0,6; 0,7). Следовательно, наиболее вероятный ответ — 3.

Ответ: 3

255. Из чисел 3523, 5423, 8323, 10123 между числами 4 и 5.

Чтобы найти число из предложенного списка ($\frac{35}{23}$, $\frac{54}{23}$, $\frac{83}{23}$, $\frac{101}{23}$), которое лежит между числами 4 и 5, необходимо определить, какая из этих дробей удовлетворяет неравенству $4 < \text{дробь} < 5$.

Для этого можно представить границы интервала (числа 4 и 5) в виде неправильных дробей со знаменателем 23.

1. Представим число 4 в виде дроби со знаменателем 23:
$4 = \frac{4 \times 23}{23} = \frac{92}{23}$

2. Представим число 5 в виде дроби со знаменателем 23:
$5 = \frac{5 \times 23}{23} = \frac{115}{23}$

Таким образом, нам нужно найти дробь, которая больше $\frac{92}{23}$ и меньше $\frac{115}{23}$. Запишем это в виде двойного неравенства:
$\frac{92}{23} < \text{искомая дробь} < \frac{115}{23}$

Теперь сравним каждую из предложенных дробей с найденными границами. Так как знаменатели у всех дробей одинаковы, достаточно сравнить их числители. Искомый числитель должен быть больше 92 и меньше 115.

Проверим числители предложенных дробей:
- $\frac{35}{23}$: числитель 35. Неравенство $92 < 35 < 115$ неверно.
- $\frac{54}{23}$: числитель 54. Неравенство $92 < 54 < 115$ неверно.
- $\frac{83}{23}$: числитель 83. Неравенство $92 < 83 < 115$ неверно.
- $\frac{101}{23}$: числитель 101. Неравенство $92 < 101 < 115$ верно.

Следовательно, единственная дробь, удовлетворяющая условию, — это $\frac{101}{23}$.

Ответ: $\frac{101}{23}$

256. Отметьте на координатной прямой точки, соответствующие числам: −313; 0,7; 1,5; 267; −2,25.

Для того чтобы отметить заданные числа на координатной прямой, необходимо определить их положение относительно целых чисел. Проанализируем каждое число и определим его точное или приблизительное положение.

$-3\frac{1}{3}$

Это отрицательное смешанное число. Оно находится левее нуля. Целая часть равна -3, значит число расположено левее точки $-3$. Дробная часть $\frac{1}{3}$ показывает, что точка находится на расстоянии одной трети отрезка между $-3$ и $-4$ от точки $-3$. В виде десятичной дроби: $-3\frac{1}{3} = -3,(3)$.

$0,7$

Это положительная десятичная дробь. Она больше $0$, но меньше $1$. Точка расположена на отрезке между $0$ и $1$. Она находится на расстоянии $\frac{7}{10}$ от точки $0$.

$1,5$

Это положительная десятичная дробь. Её можно записать как смешанное число $1\frac{1}{2}$. Эта точка находится ровно посередине между целыми числами $1$ и $2$.

$2\frac{6}{7}$

Это положительное смешанное число. Оно больше $2$, но меньше $3$. Дробная часть $\frac{6}{7}$ очень близка к единице ($1 = \frac{7}{7}$), поэтому точка будет находиться на отрезке между $2$ и $3$, но очень близко к точке $3$. Для более точного позиционирования переведем в десятичную дробь: $2\frac{6}{7} = 2 + 6 \div 7 \approx 2 + 0,857 = 2,857$.

$-2,25$

Это отрицательная десятичная дробь. Число находится левее нуля. Оно меньше $-2$, но больше $-3$. Его можно представить в виде смешанной дроби: $-2,25 = -2\frac{25}{100} = -2\frac{1}{4}$. Это означает, что точка расположена на расстоянии одной четверти отрезка между $-2$ и $-3$ от точки $-2$.

Расположив числа в порядке возрастания (слева направо на координатной прямой), получаем: $-3\frac{1}{3} < -2,25 < 0,7 < 1,5 < 2\frac{6}{7}$.

Теперь отметим эти точки на координатной прямой. Ниже представлена координатная прямая с отмеченными точками.

Ответ:

Точки, соответствующие числам $-3\frac{1}{3}$; $0,7$; $1,5$; $2\frac{6}{7}$; $-2,25$ отмечены на координатной прямой, как показано на рисунке выше. Точка $-3\frac{1}{3}$ находится между $-4$ и $-3$; точка $-2,25$ — между $-3$ и $-2$; точка $0,7$ — между $0$ и $1$; точка $1,5$ — ровно посередине между $1$ и $2$; точка $2\frac{6}{7}$ — между $2$ и $3$, близко к $3$.

257. Составьте формулу для нахождения площади покраски стен складского помещения, длина которого равна а м, ширина − b м, а высота − с м. Заполните таблицу:

Сколько для этого в каждом случае понадобится банок краски, если одной банки хватает на покраску 12 м²?

1. Составление формулы для нахождения площади покраски стен

Площадь покраски стен складского помещения представляет собой площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда. Пусть длина помещения равна $a$ м, ширина — $b$ м, а высота — $c$ м.

Боковая поверхность состоит из двух пар одинаковых прямоугольных стен:

• две стены с размерами «длина ? высота», их общая площадь: $S_1 = 2 \cdot a \cdot c = 2ac$;
• две стены с размерами «ширина ? высота», их общая площадь: $S_2 = 2 \cdot b \cdot c = 2bc$.

Общая площадь покраски $S$ — это сумма площадей всех четырех стен: $S = S_1 + S_2 = 2ac + 2bc$.

Вынесем общий множитель $2c$ за скобки, чтобы получить окончательную формулу: $S = 2c(a + b)$. Эта формула соответствует произведению периметра основания $P = 2(a + b)$ на высоту $c$.

2. Заполнение таблицы и расчет количества банок краски

Расчет для первой строки таблицы (Длина = 6 м, Ширина = 5 м, Высота = 3 м)

Сначала вычислим площадь покраски стен $S_1$, подставив в формулу значения $a = 6$, $b = 5$ и $c = 3$:
$S_1 = 2 \cdot 3 \cdot (6 + 5) = 6 \cdot 11 = 66$ м².
Далее рассчитаем, сколько банок краски понадобится, если одной банки хватает на 12 м². Для этого разделим общую площадь на площадь, которую покрывает одна банка:
$66 \div 12 = 5.5$.
Поскольку количество банок должно быть целым числом, округляем результат в большую сторону.

Ответ: Площадь покраски равна 66 м². Понадобится 6 банок краски.

Расчет для второй строки таблицы (Длина = 10 м, Ширина = 15 м, Высота = 5 м)

Вычислим площадь покраски стен $S_2$, подставив значения $a = 10$, $b = 15$ и $c = 5$:
$S_2 = 2 \cdot 5 \cdot (10 + 15) = 10 \cdot 25 = 250$ м².
Теперь рассчитаем необходимое количество банок краски:
$250 \div 12 = \frac{250}{12} = \frac{125}{6} \approx 20.83$.
Округляем полученное значение в большую сторону до ближайшего целого.

Ответ: Площадь покраски равна 250 м². Понадобится 21 банка краски.

Заполненная таблица: