Страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

237. Решите уравнение:
а) 0,15(х − 4) = 9,9 − 0,3(х − 1);
б) 1,6(а − 4) − 0,6 = 3(0,4а − 7);
в) (0,7х − 2,1) − (0,5 − 2х) = 0,9(3х − 1) + 0,1;
г) −3(2 − 0,4у) + 5,6 = 0,4(3у + 1).

а) $0,15(x - 4) = 9,9 - 0,3(x - 1)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$0,15x - 0,15 \cdot 4 = 9,9 - 0,3x - 0,3 \cdot (-1)$
$0,15x - 0,6 = 9,9 - 0,3x + 0,3$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$0,15x - 0,6 = 10,2 - 0,3x$
Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а постоянные слагаемые — в правую, изменяя при этом их знаки на противоположные:
$0,15x + 0,3x = 10,2 + 0,6$
$0,45x = 10,8$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0,45:
$x = \frac{10,8}{0,45}$
Для удобства деления умножим числитель и знаменатель на 100:
$x = \frac{1080}{45}$
$x = 24$
Ответ: $24$.

б) $1,6(a - 4) - 0,6 = 3(0,4a - 7)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$1,6a - 1,6 \cdot 4 - 0,6 = 3 \cdot 0,4a - 3 \cdot 7$
$1,6a - 6,4 - 0,6 = 1,2a - 21$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$1,6a - 7 = 1,2a - 21$
Перенесем слагаемые с переменной $a$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$1,6a - 1,2a = -21 + 7$
$0,4a = -14$
Найдем $a$, разделив обе части уравнения на 0,4:
$a = \frac{-14}{0,4}$
$a = \frac{-140}{4}$
$a = -35$
Ответ: $-35$.

в) $(0,7x - 2,1) - (0,5 - 2x) = 0,9(3x - 1) + 0,1$
Раскроем скобки. Обратим внимание, что перед второй скобкой в левой части стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри нее изменятся на противоположные:
$0,7x - 2,1 - 0,5 + 2x = 0,9 \cdot 3x - 0,9 \cdot 1 + 0,1$
$0,7x - 2,1 - 0,5 + 2x = 2,7x - 0,9 + 0,1$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
$(0,7x + 2x) + (-2,1 - 0,5) = 2,7x + (-0,9 + 0,1)$
$2,7x - 2,6 = 2,7x - 0,8$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$2,7x - 2,7x = -0,8 + 2,6$
$0 \cdot x = 1,8$
$0 = 1,8$
В результате мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.

г) $-3(2 - 0,4y) + 5,6 = 0,4(3y + 1)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$-3 \cdot 2 - 3 \cdot (-0,4y) + 5,6 = 0,4 \cdot 3y + 0,4 \cdot 1$
$-6 + 1,2y + 5,6 = 1,2y + 0,4$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(-6 + 5,6) + 1,2y = 1,2y + 0,4$
$-0,4 + 1,2y = 1,2y + 0,4$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числа — в правую:
$1,2y - 1,2y = 0,4 + 0,4$
$0 \cdot y = 0,8$
$0 = 0,8$
Получено неверное числовое равенство, следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

238. При каком значении переменной:

а) сумма выражений 2x + 7 и −х + 12 равна 24;
б) разность выражений −5у + 1 и −3у − 2 равна −9;
в) сумма выражений 15x − 1и 6x − 8 равна их разности;
г) разность выражений 25р + 1 и р − 12 равна их сумме?

а) Для нахождения значения переменной составим и решим уравнение, где сумма выражений $2x + 7$ и $-x + 12$ равна 24.
$(2x + 7) + (-x + 12) = 24$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2x + 7 - x + 12 = 24$
$(2x - x) + (7 + 12) = 24$
$x + 19 = 24$
Чтобы найти $x$, вычтем 19 из обеих частей уравнения:
$x = 24 - 19$
$x = 5$
Ответ: $x = 5$.

б) Для нахождения значения переменной составим и решим уравнение, где разность выражений $-5y + 1$ и $-3y - 2$ равна -9.
$(-5y + 1) - (-3y - 2) = -9$
Раскроем скобки. Знак минус перед второй скобкой меняет знаки слагаемых внутри нее на противоположные:
$-5y + 1 + 3y + 2 = -9$
Приведем подобные слагаемые:
$(-5y + 3y) + (1 + 2) = -9$
$-2y + 3 = -9$
Перенесем 3 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$-2y = -9 - 3$
$-2y = -12$
Разделим обе части уравнения на -2:
$y = \frac{-12}{-2}$
$y = 6$
Ответ: $y = 6$.

в) Условие гласит, что сумма выражений $15x - 1$ и $6x - 8$ равна их разности. Составим уравнение.
Сумма: $(15x - 1) + (6x - 8)$
Разность: $(15x - 1) - (6x - 8)$
Приравняем их:
$(15x - 1) + (6x - 8) = (15x - 1) - (6x - 8)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$15x - 1 + 6x - 8 = 15x - 1 - 6x + 8$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$21x - 9 = 9x + 7$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$21x - 9x = 7 + 9$
$12x = 16$
Найдем $x$:
$x = \frac{16}{12}$
Сократим дробь на 4:
$x = \frac{4}{3}$
Ответ: $x = \frac{4}{3}$.

г) Условие гласит, что разность выражений $25p + 1$ и $p - 12$ равна их сумме. Составим уравнение.
Разность: $(25p + 1) - (p - 12)$
Сумма: $(25p + 1) + (p - 12)$
Приравняем их:
$(25p + 1) - (p - 12) = (25p + 1) + (p - 12)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$25p + 1 - p + 12 = 25p + 1 + p - 12$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$24p + 13 = 26p - 11$
Перенесем слагаемые с $p$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$13 + 11 = 26p - 24p$
$24 = 2p$
Найдем $p$:
$p = \frac{24}{2}$
$p = 12$
Ответ: $p = 12$.

239. Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения ах = 6 является целым числом.

Дано уравнение $ax = 6$. По условию задачи, нам нужно найти все целые значения параметра $a$, при которых корень уравнения $x$ также является целым числом.

Для нахождения корня $x$, выразим его из уравнения. Рассмотрим два возможных случая для значения $a$.

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 6$, что равносильно $0 = 6$. Это неверное равенство, значит, при $a = 0$ уравнение не имеет корней. Следовательно, значение $a=0$ не удовлетворяет условию.

2. Если $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:
$x = \frac{6}{a}$

По условию, корень $x$ должен быть целым числом. Из полученной формулы видно, что $x$ будет целым числом тогда и только тогда, когда число $6$ делится на $a$ без остатка. Поскольку по условию $a$ также должно быть целым числом, это означает, что $a$ должно быть целым делителем числа $6$.

Найдем все целые делители числа $6$.
Положительные делители: $1, 2, 3, 6$.
Отрицательные делители: $-1, -2, -3, -6$.

Таким образом, все целые значения $a$, при которых корень уравнения является целым числом, — это множество всех целых делителей числа $6$.

Ответ: $\{-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6\}$.

240.Не решая уравнения 7(2х + 1) = 13, докажите, что его корень не является целым числом.

Для того чтобы доказать, что корень уравнения $7(2x + 1) = 13$ не является целым числом, воспользуемся методом доказательства от противного.

Шаг 1: Делаем предположение.

Предположим, что корень уравнения $x$ – это целое число.

Шаг 2: Анализируем следствия из предположения.

Если $x$ — целое число, то выражение в скобках $(2x + 1)$ также должно быть целым числом, так как произведение целого числа на 2 есть целое число, и сумма двух целых чисел также является целым числом.

Пусть $k = 2x + 1$, где $k$ — некоторое целое число.

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде: $7k = 13$

Шаг 3: Ищем противоречие.

В полученном уравнении $7k = 13$ левая часть ($7k$) представляет собой произведение целого числа 7 и целого числа $k$. Это означает, что левая часть уравнения должна быть кратна 7.

Правая часть уравнения равна 13. Число 13 не делится нацело на 7. $13 \div 7 = 1$ (остаток 6).

Таким образом, мы получаем противоречие: левая часть уравнения ($7k$) должна быть кратна 7, а равная ей правая часть (13) на 7 не делится. Это означает, что не существует такого целого числа $k$, которое удовлетворяло бы уравнению $7k = 13$.

Шаг 4: Делаем вывод.

Противоречие возникло из-за нашего первоначального предположения о том, что $x$ является целым числом. Следовательно, это предположение неверно.

Таким образом, корень уравнения $7(2x + 1) = 13$ не является целым числом, что и требовалось доказать.

Ответ: Так как 13 не делится нацело на 7, то не существует такого целого числа $x$, при котором выражение $7(2x+1)$ было бы равно 13. Следовательно, корень уравнения не является целым числом.

241. На ферме 1000 кроликов и кур, у них 3150 ног. Сколько кроликов и сколько кур на ферме?

Данную задачу можно решить двумя основными способами: алгебраическим (через систему уравнений) и арифметическим (логическим).

Способ 1: Решение с помощью системы уравнений

1. Введем переменные. Пусть $x$ — количество кроликов, а $y$ — количество кур на ферме.

2. Составим уравнения. Всего на ферме 1000 животных, что дает нам первое уравнение: $x + y = 1000$ У каждого кролика 4 ноги, а у каждой курицы — 2. Общее число ног равно 3150, что дает нам второе уравнение: $4x + 2y = 3150$

3. Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x + y = 1000 \\ 4x + 2y = 3150 \end{cases} $ Из первого уравнения выразим $y$: $y = 1000 - x$ Подставим это выражение во второе уравнение: $4x + 2(1000 - x) = 3150$ Теперь решим полученное уравнение относительно $x$: $4x + 2000 - 2x = 3150$ $2x = 3150 - 2000$ $2x = 1150$ $x = \frac{1150}{2}$ $x = 575$ Таким образом, на ферме 575 кроликов.

4. Найдем количество кур. Подставим значение $x$ в выражение для $y$: $y = 1000 - 575 = 425$ Следовательно, на ферме 425 кур.

Способ 2: Арифметическое решение

1. Сделаем предположение. Допустим, что все 1000 животных на ферме — это куры. У каждой курицы по 2 ноги, тогда общее количество ног было бы: $1000 \times 2 = 2000$ ног.

2. Найдем разницу в количестве ног. По условию, у животных 3150 ног, а не 2000. Разница составляет: $3150 - 2000 = 1150$ ног.

3. Определим причину разницы. Эта разница ("лишние" ноги) возникает из-за того, что некоторые животные — кролики, а не куры. Каждый кролик добавляет к общему числу ног на $4 - 2 = 2$ ноги больше, чем курица.

4. Вычислим количество кроликов. Чтобы узнать, сколько кроликов создали эту разницу в 1150 ног, нужно разделить общую разницу на разницу в количестве ног на одно животное: $1150 \div 2 = 575$ Значит, на ферме 575 кроликов.

5. Найдем количество кур. Остальные животные — куры: $1000 - 575 = 425$ кур.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: на ферме 575 кроликов и 425 кур.

242. На первом участке было посажено на 9 кустов смородины больше, чем на втором. Если со второго участка пересадить на первый 3 куста, то на первом участке станет в 1,5 раза больше кустов смородины, чем на втором. Сколько кустов смородины на первом участке?

Пусть $x$ — это первоначальное количество кустов смородины на втором участке. Тогда, согласно условию, на первом участке было $x + 9$ кустов.

После того как 3 куста пересадили со второго участка на первый, количество кустов на каждом участке изменилось. На первом участке стало $(x + 9) + 3 = x + 12$ кустов, а на втором участке осталось $x - 3$ кустов.

По условию, новое количество кустов на первом участке стало в 1,5 раза больше, чем на втором. На основе этого можно составить уравнение:

$x + 12 = 1.5 \cdot (x - 3)$

Теперь решим это уравнение для нахождения $x$. Сначала раскроем скобки:

$x + 12 = 1.5x - 4.5$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а числовые значения — в левую:

$12 + 4.5 = 1.5x - x$

$16.5 = 0.5x$

Найдем $x$:

$x = \frac{16.5}{0.5}$

$x = 33$

Таким образом, мы выяснили, что первоначально на втором участке было 33 куста смородины.

Вопрос задачи — сколько кустов было на первом участке. Найдем это количество, подставив значение $x$ в исходное выражение для первого участка:

$x + 9 = 33 + 9 = 42$ (куста).

Ответ: 42 куста.

243. У Миши в 4 раза больше марок, чем у Андрея. Если Миша отдаст Андрею 8 марок, то у него станет марок вдвое больше, чем у Андрея. Сколько марок у каждого мальчика?

Для решения задачи введём неизвестную. Пусть $x$ — это количество марок, которое было у Андрея изначально.

Согласно условию, у Миши было в 4 раза больше марок, чем у Андрея. Значит, у Миши было $4x$ марок.

Когда Миша отдал Андрею 8 марок, у него стало $(4x - 8)$ марок.

В то же время у Андрея стало $(x + 8)$ марок.

После этого, по условию задачи, количество марок у Миши стало вдвое больше, чем у Андрея. Можем составить уравнение:

$4x - 8 = 2 \cdot (x + 8)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

1. Раскроем скобки в правой части уравнения:
$4x - 8 = 2x + 16$

2. Перенесём все члены с $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую, не забывая менять знаки при переносе:
$4x - 2x = 16 + 8$

3. Упростим обе части уравнения:
$2x = 24$

4. Найдём $x$, разделив обе части на 2:
$x = \frac{24}{2}$
$x = 12$

Итак, мы выяснили, что у Андрея изначально было 12 марок.

Теперь найдём, сколько марок было у Миши. Мы знаем, что у него было в 4 раза больше, чем у Андрея:
$4 \cdot x = 4 \cdot 12 = 48$

Следовательно, у Миши было 48 марок.

Ответ: Изначально у Миши было 48 марок, а у Андрея — 12 марок.

244. Чтобы сдать в срок книгу в библиотеку, ученик должен был читать ежедневно по 40 страниц, но он читал в день на 15 страниц меньше и сдал книгу на 6 дней позже срока. За сколько дней ученик должен был прочитать книгу?

Пусть $x$ — это количество дней, за которое ученик должен был прочитать книгу по плану.

Согласно плану, ученик должен был читать по 40 страниц в день. Таким образом, общее количество страниц в книге можно выразить как произведение количества страниц в день на количество дней: $40x$.

На самом деле ученик читал на 15 страниц в день меньше, то есть его фактическая скорость чтения составляла:
$40 - 15 = 25$ страниц в день.

Из-за этого на чтение всей книги он потратил на 6 дней больше запланированного срока. Фактическое время чтения составило $x + 6$ дней.

Общее количество страниц в книге, исходя из фактических данных, можно выразить как $25(x + 6)$.

Поскольку общее количество страниц в книге в обоих случаях одинаково, мы можем приравнять два полученных выражения и составить уравнение:
$40x = 25(x + 6)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$40x = 25x + 25 \cdot 6$
$40x = 25x + 150$
$40x - 25x = 150$
$15x = 150$
$x = \frac{150}{15}$
$x = 10$

Таким образом, ученик должен был прочитать книгу за 10 дней.
Ответ: 10 дней.

245. Чтобы сделать вовремя заказ, артель стеклодувов должна была изготовлять в день по 40 изделий. Однако она изготовляла ежедневно на 20 изделий больше и, благодаря этому, выполнила заказ на 3 дня раньше срока. Каков был срок выполнения заказа?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $t$ — это первоначально запланированный срок выполнения заказа в днях.

Согласно плану, артель должна была изготавливать по 40 изделий в день. Тогда общее количество изделий в заказе можно вычислить по формуле:
Общее количество изделий = (Плановая производительность) × (Плановый срок)
$N = 40t$

По условию задачи, артель работала с большей производительностью. Фактическая производительность была на 20 изделий в день больше плановой:
Фактическая производительность = $40 + 20 = 60$ изделий в день.

Благодаря увеличению производительности, заказ был выполнен на 3 дня раньше срока. Значит, фактическое время, затраченное на выполнение заказа, составило:
Фактический срок = $t - 3$ дня.

Общее количество изделий можно также выразить через фактические показатели:
Общее количество изделий = (Фактическая производительность) × (Фактический срок)
$N = 60(t - 3)$

Поскольку общее количество изделий в заказе в обоих случаях одинаково, мы можем приравнять два полученных выражения для $N$ и составить уравнение:
$40t = 60(t - 3)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $t$:
$40t = 60t - 180$ (раскрыли скобки)
$180 = 60t - 40t$ (перенесли слагаемые)
$180 = 20t$ (упростили выражение)
$t = \frac{180}{20}$
$t = 9$

Таким образом, плановый срок выполнения заказа составлял 9 дней.

Ответ: 9 дней.

246. Если к задуманному числу прибавить 7, полученную сумму умножить на 3 и из произведения вычесть 47, то получится задуманное число. Какое число задумано?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть задуманное число равно $x$.

Согласно условию, мы выполняем следующие действия:
1. К задуманному числу прибавляем 7: $x + 7$.
2. Полученную сумму умножаем на 3: $(x + 7) \cdot 3$.
3. Из полученного произведения вычитаем 47: $(x + 7) \cdot 3 - 47$.
В результате этих операций мы должны получить исходное задуманное число $x$. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$(x + 7) \cdot 3 - 47 = x$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:
$3x + 21 - 47 = x$
Затем приведем подобные слагаемые в левой части:
$3x - 26 = x$
Теперь перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а числа — в правую. При переносе через знак равенства знак меняется на противоположный.
$3x - x = 26$
$2x = 26$
Наконец, разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:
$x = \frac{26}{2}$
$x = 13$

Мы нашли, что задуманное число равно 13. Сделаем проверку, подставив это значение в исходные условия:
1. К 13 прибавить 7: $13 + 7 = 20$.
2. Полученную сумму 20 умножить на 3: $20 \cdot 3 = 60$.
3. Из произведения 60 вычесть 47: $60 - 47 = 13$.
Результат совпадает с задуманным числом, значит, задача решена верно.

Ответ: 13.