Страница 46 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

203. Найдите значение выражения:

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{m}{m-1}$ при $m = -\frac{1}{3}$, подставим данное значение $m$ в выражение.

1. Подставляем $m = -\frac{1}{3}$ в числитель и знаменатель:

$\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3} - 1}$

2. Вычислим значение знаменателя. Для этого приведем 1 к дроби со знаменателем 3:

$-\frac{1}{3} - 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{3} = \frac{-1-3}{3} = -\frac{4}{3}$

3. Теперь выражение принимает вид:

$\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{4}{3}}$

4. Разделить одну дробь на другую — это то же самое, что умножить первую дробь на дробь, обратную второй:

$(-\frac{1}{3}) \div (-\frac{4}{3}) = (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{3}{4})$

5. Произведение двух отрицательных чисел положительно. Сократим тройки в числителе и знаменателе:

$\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{2a+1}{a-4}$ при $a=3,5$, подставим данное значение $a$ в выражение.

1. Подставляем $a=3,5$ в числитель и знаменатель:

$\frac{2 \cdot 3,5 + 1}{3,5 - 4}$

2. Вычислим значение числителя:

$2 \cdot 3,5 + 1 = 7 + 1 = 8$

3. Вычислим значение знаменателя:

$3,5 - 4 = -0,5$

4. Теперь выполним деление:

$\frac{8}{-0,5}$

5. Разделить на $-0,5$ — это то же самое, что умножить на $-2$:

$8 \cdot (-2) = -16$

Ответ: $-16$.

204.Известно, что при некоторых значениях а и b значение выражения 2(а + b) равно −8,1. Найдите при тех же значениях а и b значение выражения:

а) 3(а + b); б) −0,5(а + b); в) 4а + 46; г) −5а − 5b.

По условию задачи известно, что при некоторых значениях $a$ и $b$ значение выражения $2(a+b)$ равно $-8,1$.

Для решения задачи сначала найдем значение выражения $(a+b)$. Для этого разделим обе части известного равенства на 2:

$2(a+b) = -8,1$

$(a+b) = -8,1 \div 2$

$(a+b) = -4,05$

Теперь, зная значение суммы $(a+b)$, мы можем найти значения требуемых выражений, подставив в них найденное значение.

а)

Найдем значение выражения $3(a+b)$. Подставим значение $(a+b) = -4,05$:

$3(a+b) = 3 \cdot (-4,05) = -12,15$

Ответ: $-12,15$

б)

Найдем значение выражения $-0,5(a+b)$. Подставим значение $(a+b) = -4,05$:

$-0,5(a+b) = -0,5 \cdot (-4,05) = 2,025$

Ответ: $2,025$

в)

Найдем значение выражения $4a+4b$. Сначала вынесем общий множитель 4 за скобки, чтобы получить выражение, содержащее $(a+b)$:

$4a+4b = 4(a+b)$

Теперь подставим известное значение $(a+b) = -4,05$:

$4(a+b) = 4 \cdot (-4,05) = -16,2$

Ответ: $-16,2$

г)

Найдем значение выражения $-5a-5b$. Вынесем общий множитель $-5$ за скобки:

$-5a-5b = -5(a+b)$

Подставим значение $(a+b) = -4,05$:

$-5(a+b) = -5 \cdot (-4,05) = 20,25$

Ответ: $20,25$

205. При каких значениях переменных не имеет смысла выражение:

а) 52x − 4 ; б) 34y + 2; в) aa − b ; г) ba + b?

Алгебраическое выражение в виде дроби не имеет смысла в том случае, когда его знаменатель равен нулю, поскольку операция деления на ноль не определена. Чтобы найти значения переменных, при которых выражение не имеет смысла, необходимо приравнять его знаменатель к нулю и решить полученное уравнение.

а) В выражении $\frac{5}{2x-4}$ знаменатель равен $2x-4$.

Приравняем знаменатель к нулю:

$2x - 4 = 0$

$2x = 4$

$x = \frac{4}{2}$

$x = 2$

Ответ: выражение не имеет смысла при $x=2$.

б) В выражении $\frac{3}{4y+2}$ знаменатель равен $4y+2$.

Приравняем знаменатель к нулю:

$4y + 2 = 0$

$4y = -2$

$y = -\frac{2}{4}$

$y = -0.5$

Ответ: выражение не имеет смысла при $y=-0.5$.

в) В выражении $\frac{a}{a-b}$ знаменатель равен $a-b$.

Приравняем знаменатель к нулю:

$a - b = 0$

$a = b$

Ответ: выражение не имеет смысла при $a=b$.

г) В выражении $\frac{b}{a+b}$ знаменатель равен $a+b$.

Приравняем знаменатель к нулю:

$a + b = 0$

$a = -b$

Ответ: выражение не имеет смысла при $a=-b$.

206. Составьте выражение для решения задачи:

а) Периметр прямоугольника 16 см, одна из его сторон m см. Какова площадь прямоугольника?

б) Площадь прямоугольника 28 м², а одна из его сторон равна а м. Чему равен периметр прямоугольника?

в)Из двух городов, расстояние между которыми s км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Скорость одного из них v₁ км/ч, а скорость другого v₂ км/ч. Через сколько часов они встретятся?

г)Через какое время мотоциклист догонит велосипедиста, если расстояние между ними s км, скорость велосипедиста v₁ км/ч, а скорость мотоциклиста v₂ км/ч?

а) Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ – его стороны. По условию, периметр $P=16$ см, а одна из сторон, назовем ее $a$, равна $m$ см. Подставим известные значения в формулу периметра: $16 = 2(m+b)$. Чтобы найти вторую сторону $b$, сначала разделим обе части уравнения на 2: $8 = m+b$. Отсюда выразим $b$: $b = 8-m$ см. Площадь прямоугольника $S$ находится по формуле $S=a \cdot b$. Подставив выражения для сторон, получим выражение для площади: $S = m \cdot (8-m)$.
Ответ: $m(8-m)$ см?.

б) Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ – его стороны. По условию, площадь $S=28$ м?, а одна из сторон равна $a$ м. Из формулы площади мы можем выразить вторую сторону $b$: $b = \frac{S}{a} = \frac{28}{a}$ м. Периметр прямоугольника $P$ находится по формуле $P=2(a+b)$. Подставим в эту формулу найденное выражение для стороны $b$: $P = 2(a + \frac{28}{a})$.
Ответ: $2(a + \frac{28}{a})$ м.

в) Данная задача описывает встречное движение. Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их общая скорость, называемая скоростью сближения, равна сумме их индивидуальных скоростей. В данном случае, скорость сближения автомобилей равна $v_{сбл} = v_1 + v_2$. Чтобы найти время $t$, через которое они встретятся, необходимо разделить начальное расстояние $s$ между ними на скорость сближения. Таким образом, формула для нахождения времени имеет вид: $t = \frac{s}{v_{сбл}}$.
Ответ: $\frac{s}{v_1 + v_2}$ ч.

г) Эта задача на движение вдогонку. Мотоциклист догоняет велосипедиста. Скорость, с которой расстояние между ними сокращается (скорость сближения), равна разности их скоростей. Поскольку мотоциклист догоняет, его скорость $v_2$ больше скорости велосипедиста $v_1$. Скорость сближения равна $v_{сбл} = v_2 - v_1$. Время $t$, необходимое мотоциклисту, чтобы догнать велосипедиста, равно начальному расстоянию $s$ между ними, деленному на скорость сближения: $t = \frac{s}{v_{сбл}}$.
Ответ: $\frac{s}{v_2 - v_1}$ ч.

207. От прямоугольного листа картона со сторонами а см и b см отрезали по углам квадраты со сторонами х см (рис. 8). Из оставшейся части сделали открытую коробку. Запишите формулу для вычисления объёма V коробки. Вычислите по формуле объём коробки, если а = 35, b = 25, х = 5. Какие значения может принимать переменная х при указанных значениях а и b?

Запишите формулу для вычисления объёма V коробки.

Чтобы изготовить открытую коробку, от прямоугольного листа картона со сторонами $a$ и $b$ по углам отрезают квадраты со стороной $x$. После этого боковые части сгибают по пунктирным линиям.

В результате получается коробка в форме прямоугольного параллелепипеда. Размеры основания этой коробки будут:

• Длина: $a - 2x$ (так как с каждой стороны отрезали по $x$ см)
• Ширина: $b - 2x$ (так как с каждой стороны отрезали по $x$ см)

Высота коробки будет равна стороне вырезанного квадрата, то есть $x$.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение его длины, ширины и высоты. Таким образом, формула для объёма $V$ коробки будет:

$V = (a - 2x)(b - 2x)x$

Ответ: $V = (a - 2x)(b - 2x)x$.

Вычислите по формуле объём коробки, если a = 35, b = 25, x = 5.

Подставим данные значения $a=35$, $b=25$ и $x=5$ в выведенную формулу:

$V = (35 - 2 \cdot 5)(25 - 2 \cdot 5) \cdot 5$

Выполним вычисления в скобках:

$V = (35 - 10)(25 - 10) \cdot 5$

$V = 25 \cdot 15 \cdot 5$

Теперь перемножим полученные значения:

$V = 375 \cdot 5 = 1875$

Так как все размеры даны в сантиметрах, объём будет в кубических сантиметрах.

Ответ: $1875$ см?.

Какие значения может принимать переменная x при указанных значениях a и b?

Чтобы можно было изготовить коробку, все её размеры (длина, ширина, высота) должны быть положительными числами.

1. Высота коробки $x$ должна быть больше нуля: $x > 0$.

2. Длина основания $a - 2x$ должна быть больше нуля. При $a = 35$:
$35 - 2x > 0$
$35 > 2x$
$x < 17.5$

3. Ширина основания $b - 2x$ должна быть больше нуля. При $b = 25$:
$25 - 2x > 0$
$25 > 2x$
$x < 12.5$

Таким образом, переменная $x$ должна удовлетворять всем трём неравенствам одновременно: $x > 0$, $x < 17.5$ и $x < 12.5$. Наиболее строгим ограничением является $x < 12.5$. Объединяя это с условием $x > 0$, получаем допустимый диапазон значений для $x$.

Ответ: $0 < x < 12.5$.

208. Составьте формулу числа: а) кратного 11; б) кратного 21.

а) кратного 11

Число называется кратным 11, если оно делится на 11 без остатка. Это означает, что такое число можно получить, умножив 11 на некоторое целое число. Обозначим это целое число буквой $k$. Таким образом, любое число $A$, кратное 11, можно представить в виде формулы, где $k$ — любое целое число (положительное, отрицательное или ноль).

Например:

• если $k = 2$, то $A = 11 \cdot 2 = 22$;
• если $k = -5$, то $A = 11 \cdot (-5) = -55$;
• если $k = 0$, то $A = 11 \cdot 0 = 0$.

Общая формула для числа, кратного 11, выглядит следующим образом:

Ответ: $A = 11k$, где $k \in \Z$ (k — целое число).

б) кратного 21

Аналогично предыдущему пункту, число, кратное 21, — это число, которое делится на 21 без остатка. Следовательно, его можно представить как произведение числа 21 на некоторое целое число, которое мы также можем обозначить буквой $k$.

Например:

• если $k = 1$, то $B = 21 \cdot 1 = 21$;
• если $k = 3$, то $B = 21 \cdot 3 = 63$;
• если $k = -2$, то $B = 21 \cdot (-2) = -42$.

Таким образом, формула для числа, кратного 21, имеет следующий вид:

Ответ: $B = 21k$, где $k \in \Z$ (k — целое число).