Номер 61, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Выражения с переменными. § 1. Числа и выражения. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 61, страница 18.

61. (Для работы в парах.) Докажите, что всякое простое число, начиная с 5, либо увеличенное, либо уменьшенное на 1, делится на 6.

1) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому — из седьмого десятка.

2) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства.

3) Проведите доказательство.

1) Проверим утверждение на примерах.

Простые числа из третьего десятка (от 21 до 30): это числа 23 и 29.

• Для числа 23: $p-1 = 23-1=22$. 22 не делится на 6. $p+1 = 23+1=24$. 24 делится на 6 ($24 \div 6 = 4$). Утверждение верно.
• Для числа 29: $p-1 = 29-1=28$. 28 не делится на 6. $p+1 = 29+1=30$. 30 делится на 6 ($30 \div 6 = 5$). Утверждение верно.

Простые числа из седьмого десятка (от 61 до 70): это числа 61 и 67.

• Для числа 61: $p-1 = 61-1=60$. 60 делится на 6 ($60 \div 6 = 10$). $p+1 = 61+1=62$. 62 не делится на 6. Утверждение верно.
• Для числа 67: $p-1 = 67-1=66$. 66 делится на 6 ($66 \div 6 = 11$). $p+1 = 67+1=68$. 68 не делится на 6. Утверждение верно.

Ответ: На всех приведенных примерах утверждение справедливо.

2) Обсудим, из чего следует справедливость указанного свойства.

Число делится на 6, если оно одновременно делится на 2 и на 3 (так как 2 и 3 — взаимно простые числа и $2 \times 3 = 6$).

Пусть $p$ — простое число, и $p \ge 5$.

1. Делимость на 2: любое простое число $p \ge 5$ является нечётным. Числа 2 и 3 — единственные простые, которые не подходят под это условие. Если $p$ — нечётное, то числа $p-1$ и $p+1$ — это два последовательных чётных числа. Следовательно, оба они делятся на 2.
2. Делимость на 3: рассмотрим три последовательных целых числа: $p-1, p, p+1$. Среди любых трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3. Так как $p$ — простое число и $p \ge 5$, то само число $p$ не может делиться на 3 (единственное простое число, делящееся на 3, — это само число 3). Значит, на 3 должно делиться либо число $p-1$, либо число $p+1$.

Таким образом, для любого простого числа $p \ge 5$ одно из чисел $p-1$ или $p+1$ обязательно делится и на 2, и на 3. А значит, оно делится и на 6.

Ответ: Свойство следует из того, что для любого простого числа $p \ge 5$ одно из чисел $p-1$ или $p+1$ является чётным и кратным трём, что обеспечивает его делимость на 6.

3) Проведем доказательство.

Любое целое число при делении на 6 может давать в остатке 0, 1, 2, 3, 4 или 5. То есть любое целое число $n$ можно представить в одной из следующих форм, где $k$ — целое неотрицательное число:

• $n = 6k$
• $n = 6k+1$
• $n = 6k+2$
• $n = 6k+3$
• $n = 6k+4$
• $n = 6k+5$

Пусть $p$ — простое число, $p \ge 5$. Рассмотрим, какую форму может иметь $p$.

• Если $p = 6k$, то $p$ делится на 6, а значит, не является простым.
• Если $p = 6k+2 = 2(3k+1)$, то $p$ — чётное число, большее 2, и, следовательно, не является простым.
• Если $p = 6k+3 = 3(2k+1)$, то $p$ делится на 3, и так как $p \ge 5$, оно не является простым.
• Если $p = 6k+4 = 2(3k+2)$, то $p$ — чётное число, большее 2, и, следовательно, не является простым.

Таким образом, любое простое число $p \ge 5$ может иметь только две формы: $p = 6k+1$ или $p = 6k+5$.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $p = 6k+1$, то $p-1 = (6k+1)-1=6k$. Число $p-1$ делится на 6.
2. Если $p = 6k+5$, то $p+1 = (6k+5)+1=6k+6 = 6(k+1)$. Число $p+1$ делится на 6.

В обоих возможных случаях мы показали, что либо $p-1$, либо $p+1$ делится на 6. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что любое простое число $p \ge 5$ имеет вид $6k \pm 1$, откуда следует, что либо $p-1$ (в случае $p=6k+1$), либо $p+1$ (в случае $p=6k-1 \text{ или } p=6k+5$) делится на 6.