Номер 58, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Выражения с переменными. § 1. Числа и выражения. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 58, страница 18.

58. Какое из выражений 14a², 14a² + 1 или 14a² – 1 имеет смысл при любом значении a?

Алгебраическое выражение, представляющее собой дробь, имеет смысл только в том случае, если его знаменатель не равен нулю. Проанализируем каждое из предложенных выражений, чтобы определить, у какого из них знаменатель никогда не обращается в ноль.

$\frac{14}{a^2}$

Знаменатель этого выражения равен $a^2$. Он обращается в ноль, если $a^2 = 0$, то есть при $a=0$. Следовательно, это выражение не имеет смысла при $a=0$.

$\frac{14}{a^2+1}$

Знаменатель этого выражения равен $a^2+1$. Рассмотрим уравнение $a^2+1 = 0$, или $a^2 = -1$. Квадрат любого действительного числа $a$ является неотрицательной величиной, то есть $a^2 \ge 0$. Поэтому уравнение $a^2 = -1$ не имеет решений в действительных числах. Это означает, что знаменатель $a^2+1$ никогда не равен нулю. Более того, поскольку $a^2 \ge 0$, то $a^2+1 \ge 1$, то есть знаменатель всегда положителен. Таким образом, это выражение имеет смысл при любом значении $a$.

$\frac{14}{a^2-1}$

Знаменатель этого выражения равен $a^2-1$. Он обращается в ноль, если $a^2-1 = 0$, то есть $a^2 = 1$. Это уравнение имеет два корня: $a=1$ и $a=-1$. Следовательно, это выражение не имеет смысла при $a=1$ и $a=-1$.

Из трех предложенных выражений только одно имеет смысл при любом значении $a$.

Ответ: $\frac{14}{a^2+1}$