Номер 106, страница 29 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Тождества. Тождественные преобразования выражений. § 2. Преобразование выражений. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 106, страница 29.

106. Являются ли тождественно равными выражения:

а) 2 + 8ba и 8ab + 2;
б) 2x + 7 и 2(x + 7);

в) (a + b) · 0 и a + b;
г) (a + b) · 2 и 2a +2b?

а) Чтобы определить, являются ли выражения $2 + 8ba$ и $8ab + 2$ тождественно равными, необходимо сравнить их, используя основные свойства арифметических операций. Тождественно равные выражения — это выражения, значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных.
Рассмотрим выражение $2 + 8ba$. Согласно переместительному (коммутативному) свойству умножения, от перемены мест множителей произведение не меняется, то есть $ba = ab$. Таким образом, $2 + 8ba = 2 + 8ab$.
Далее, согласно переместительному (коммутативному) свойству сложения, от перемены мест слагаемых сумма не меняется, то есть $2 + 8ab = 8ab + 2$.
Мы последовательно преобразовали первое выражение во второе: $2 + 8ba = 2 + 8ab = 8ab + 2$. Следовательно, выражения являются тождественно равными.
Ответ: да, являются.

б) Сравним выражения $2x + 7$ и $2(x + 7)$.
Для этого преобразуем второе выражение, раскрыв скобки с помощью распределительного (дистрибутивного) свойства умножения: $a(b+c) = ab + ac$.
$2(x + 7) = 2 \cdot x + 2 \cdot 7 = 2x + 14$.
Теперь сравним исходное первое выражение $2x + 7$ с преобразованным вторым $2x + 14$.
Эти выражения не равны, так как $2x + 7 \neq 2x + 14$ (поскольку $7 \neq 14$). Чтобы доказать это, можно подставить любое значение $x$. Например, при $x=1$:
Первое выражение: $2(1) + 7 = 2 + 7 = 9$.
Второе выражение: $2(1 + 7) = 2 \cdot 8 = 16$.
Так как $9 \neq 16$, выражения не являются тождественно равными.
Ответ: нет, не являются.

в) Рассмотрим выражения $(a + b) \cdot 0$ и $a + b$.
Упростим первое выражение. Согласно свойству умножения на ноль, любое число или выражение при умножении на ноль дает в результате ноль.
$(a + b) \cdot 0 = 0$.
Теперь сравним результат $0$ со вторым выражением $a + b$.
Равенство $a + b = 0$ верно лишь в частном случае, когда $b = -a$, но не для любых значений $a$ и $b$. Например, если $a = 1$ и $b = 2$:
Первое выражение: $(1 + 2) \cdot 0 = 3 \cdot 0 = 0$.
Второе выражение: $1 + 2 = 3$.
Поскольку $0 \neq 3$, выражения не являются тождественно равными.
Ответ: нет, не являются.

г) Проверим, являются ли тождественно равными выражения $(a + b) \cdot 2$ и $2a + 2b$.
Преобразуем первое выражение, используя распределительное свойство умножения относительно сложения: $(x+y)z = xz + yz$.
$(a + b) \cdot 2 = a \cdot 2 + b \cdot 2$.
Используя переместительное свойство умножения, получаем: $a \cdot 2 + b \cdot 2 = 2a + 2b$.
В результате преобразования мы получили выражение, идентичное второму. Равенство $(a + b) \cdot 2 = 2a + 2b$ является математическим законом и выполняется для любых значений $a$ и $b$.
Следовательно, данные выражения являются тождественно равными.
Ответ: да, являются.