Номер 200, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 200, страница 45.

200. Представьте бесконечные периодические дроби в виде обыкновенных дробей.

Образец: Пусть х = 0,(7) = 0,7777.... Тогда 10х = 7,777..., а 10х − х = 7. Таким образом, 9х = 7, откуда х = 79. Значит, 0,(7) = 79.

а) 0,(3); б) 0,(5); в) 0,(12); г) 0,(48).

а) Чтобы представить бесконечную периодическую дробь $0,(3)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим ее через $x$.
$x = 0,(3) = 0,333...$
Поскольку в периоде одна цифра, умножим обе части этого равенства на 10:
$10x = 3,333...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 3,333... - 0,333...$
$9x = 3$
$x = \frac{3}{9}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$x = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

б) Обозначим дробь $0,(5)$ через $x$.
$x = 0,(5) = 0,555...$
В периоде одна цифра, поэтому умножим обе части на 10:
$10x = 5,555...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 5,555... - 0,555...$
$9x = 5$
$x = \frac{5}{9}$
Эта дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{5}{9}$

в) Обозначим дробь $0,(12)$ через $x$.
$x = 0,(12) = 0,121212...$
Поскольку в периоде две цифры, умножим обе части на 100:
$100x = 12,121212...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 12,121212... - 0,121212...$
$99x = 12$
$x = \frac{12}{99}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$x = \frac{4}{33}$
Ответ: $\frac{4}{33}$

г) Обозначим дробь $0,(48)$ через $x$.
$x = 0,(48) = 0,484848...$
В периоде две цифры, поэтому умножим обе части на 100:
$100x = 48,484848...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 48,484848... - 0,484848...$
$99x = 48$
$x = \frac{48}{99}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$x = \frac{16}{33}$
Ответ: $\frac{16}{33}$