Страница 64 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

283. Функция задана формулой у = х(х − 3), где −2 ≤ х ≤ 2. Перечертите в тетрадь таблицу, заполните и постройте график функции.

Заполнение таблицы

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения $x$ из верхней строки вычислить соответствующее значение $y$ по формуле $y = x(x - 3)$.

При $x = -2$: $y = -2 \cdot (-2 - 3) = -2 \cdot (-5) = 10$.
При $x = -1,5$: $y = -1,5 \cdot (-1,5 - 3) = -1,5 \cdot (-4,5) = 6,75$.
При $x = -1$: $y = -1 \cdot (-1 - 3) = -1 \cdot (-4) = 4$.
При $x = -0,5$: $y = -0,5 \cdot (-0,5 - 3) = -0,5 \cdot (-3,5) = 1,75$.
При $x = 0$: $y = 0 \cdot (0 - 3) = 0$.
При $x = 0,5$: $y = 0,5 \cdot (0,5 - 3) = 0,5 \cdot (-2,5) = -1,25$.
При $x = 1$: $y = 1 \cdot (1 - 3) = 1 \cdot (-2) = -2$.
При $x = 1,5$: $y = 1,5 \cdot (1,5 - 3) = 1,5 \cdot (-1,5) = -2,25$.
При $x = 2$: $y = 2 \cdot (2 - 3) = 2 \cdot (-1) = -2$.

Ответ:

Построение графика функции

Графиком функции $y = x(x-3) = x^2 - 3x$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1,5$. Ордината вершины: $y_0 = 1,5(1,5 - 3) = -2,25$. Координаты вершины: $(1,5; -2,25)$.

Для построения графика нанесём на координатную плоскость точки из таблицы и соединим их плавной кривой. Учтём, что функция рассматривается на отрезке $-2 \le x \le 2$.

Ответ:

284. Принадлежат ли точки А(4; 2), В(1; −4) и С(1; 4) графику функции, заданной формулой у = 2х − 6? Укажите ещё две точки, одна из которых принадлежит этому графику, а другая нет.

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить ее координаты $(x; y)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, точка принадлежит графику. Если равенство неверное — не принадлежит.

Принадлежат ли точки A(4; 2), B(1; -4) и C(1; 4) графику функции, заданной формулой $y=2x-6$?

Для точки A(4; 2) подставим $x=4$ и $y=2$ в уравнение $y=2x-6$:
$2 = 2 \cdot 4 - 6$
$2 = 8 - 6$
$2 = 2$
Получено верное равенство, следовательно, точка A принадлежит графику функции.

Для точки B(1; -4) подставим $x=1$ и $y=-4$ в уравнение:
$-4 = 2 \cdot 1 - 6$
$-4 = 2 - 6$
$-4 = -4$
Получено верное равенство, следовательно, точка B принадлежит графику функции.

Для точки C(1; 4) подставим $x=1$ и $y=4$ в уравнение:
$4 = 2 \cdot 1 - 6$
$4 = 2 - 6$
$4 = -4$
Получено неверное равенство, следовательно, точка C не принадлежит графику функции.

Ответ: Точки A(4; 2) и B(1; -4) принадлежат графику функции, а точка C(1; 4) не принадлежит.

Укажите ещё две точки, одна из которых принадлежит этому графику, а другая нет.

1. Точка, принадлежащая графику.
Чтобы найти такую точку, выберем произвольное значение для $x$ и вычислим соответствующий $y$. Пусть $x=3$.
$y = 2 \cdot 3 - 6 = 6 - 6 = 0$.
Таким образом, точка D(3; 0) принадлежит графику функции.

2. Точка, не принадлежащая графику.
Чтобы найти такую точку, выберем любую пару чисел $(x; y)$, которая не удовлетворяет уравнению. Например, возьмем точку E(1; 1) и выполним проверку.
Подставим $x=1$ и $y=1$ в уравнение:
$1 = 2 \cdot 1 - 6$
$1 = 2 - 6$
$1 = -4$
Равенство неверное, следовательно, точка E(1; 1) не принадлежит графику.

Ответ: Например, точка D(3; 0) принадлежит графику, а точка E(1; 1) не принадлежит.

285. Кривая, изображённая на рисунке 25, − график некоторой функции. Найдите по графику значение функции, соответствующее значению аргумента −2; −1; 0; 1; 5.

Для решения данной задачи необходимо иметь изображение графика функции ("рисунок 25"), которое не было предоставлено. Поэтому решение будет продемонстрировано на основе гипотетического графика, который мог бы соответствовать условию. Общий метод нахождения значения функции $y$ по её графику для заданного значения аргумента $x$ заключается в следующем:

1. Найти на горизонтальной оси (оси абсцисс $Ox$) точку, соответствующую заданному значению аргумента.

2. Восстановить перпендикуляр из этой точки до пересечения с графиком функции.

3. Из полученной точки на графике провести перпендикуляр к вертикальной оси (оси ординат $Oy$).

4. Координата точки пересечения этого перпендикуляра с осью $Oy$ и есть искомое значение функции.

Ниже приведены решения для каждого значения аргумента, основанные на предположении о виде графика.

При $x = -2$:

Находим на оси $x$ значение $-2$. Двигаемся от этой точки вертикально до пересечения с линией графика. Предположим, что точка пересечения имеет ординату (координату по оси $y$), равную $3$. Это означает, что значение функции $y$ при $x=-2$ равно $3$.

Ответ: $3$.

При $x = -1$:

Находим на оси $x$ значение $-1$. Предположим, что в этой точке график пересекает ось абсцисс. В точках пересечения с осью $x$ значение функции равно нулю. Следовательно, значение функции $y$ при $x=-1$ равно $0$.

Ответ: $0$.

При $x = 0$:

Значение аргумента $x=0$ соответствует точке пересечения графика с осью ординат $Oy$. Предположим, что график пересекает ось $y$ в точке, где $y = -1$. Таким образом, значение функции $y$ при $x=0$ равно $-1$.

Ответ: $-1$.

При $x = 1$:

Находим на оси $x$ значение $1$. Предположим, как и для $x = -1$, что в этой точке график также пересекает ось абсцисс. Значит, значение функции в этой точке равно нулю.

Ответ: $0$.

При $x = 5$:

Находим на оси $x$ значение $5$. Двигаемся от этой точки вертикально до пересечения с графиком. Предположим, что точка на графике, соответствующая этому аргументу, имеет ординату $4$. Это означает, что значение функции $y$ при $x=5$ равно $4$.

Ответ: $4$.

286. Используя график функции (рис. 26), заполните таблицу, перечертив её в тетрадь.

Укажите пять каких−либо значений аргумента, которым соответствуют положительные значения функции, и пять каких−либо значений аргумента, которым соответствуют отрицательные значения функции.

Используя график функции (рис. 26), заполните таблицу

Для заполнения таблицы необходимо для каждого значения аргумента $x$ из верхней строки найти соответствующее значение функции $y$ на графике, представленном на рисунке 26.

• При $x = -3$: находим на оси абсцисс точку -3, опускаем перпендикуляр до пересечения с графиком и находим соответствующую ординату. $y = -2$.
• При $x = -1,5$: находим на оси абсцисс точку -1,5, поднимаем перпендикуляр до пересечения с графиком. Соответствующая ордината $y = 1$.
• При $x = -0,5$: аналогично находим, что ордината точки на графике равна $y = 1,5$.
• При $x = 0$: график пересекает ось ординат в точке, где $y = 2$.
• При $x = 0,5$: находим на графике точку с этой абсциссой и определяем её ординату, $y = 2$.
• При $x = 3,5$: находим на оси абсцисс точку 3,5, опускаем перпендикуляр до пересечения с графиком. Соответствующая ордината $y = -1$.

Ответ:

Укажите пять каких-либо значений аргумента, которым соответствуют положительные значения функции, и пять каких-либо значений аргумента, которым соответствуют отрицательные значения функции.

Для выполнения этого задания необходимо проанализировать график функции на рис. 26.

Значения аргумента, которым соответствуют положительные значения функции

Положительные значения функции ($y > 0$) находятся там, где график функции расположен выше оси абсцисс ($x$). Из графика видно, что это происходит на интервале приблизительно от -2,5 до 2,5. Мы можем выбрать любые пять значений $x$ из этого интервала.

Значения аргумента, которым соответствуют отрицательные значения функции

Отрицательные значения функции ($y < 0$) находятся там, где график функции расположен ниже оси абсцисс ($x$). Из графика видно, что это происходит при значениях $x$ левее -2,5, а также на интервале приблизительно от 2,5 до 4,8. Мы можем выбрать любые пять значений $x$ из этих промежутков.

Ответ:

• Пять значений аргумента, которым соответствуют положительные значения функции (например): -2; -1; 0; 1; 2.
• Пять значений аргумента, которым соответствуют отрицательные значения функции (например): -3; -3,5; 3; 3,5; 4.