Страница 67 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

292. Измеряя через каждую минуту температуру воды в баке в процессе нагревания, составили таблицу:

Постройте график зависимости у(х) (масштаб: 1 см на оси х соответствует 1 мин, 1 см на оси у соответствует 10℃). Используя график, ответьте на вопросы:
а) Какую температуру имела вода через 4 мин; через 5,5 мин, через 9 мин, через 9,7 мин после начала нагревания?
б) Через сколько минут после начала нагревания температура воды стала равной 41℃; 60℃; 99℃?
в) В какой промежуток времени процесс нагревания происходил интенсивнее всего?
г) Через сколько минут после начала нагревания вода закипела?
д) Сколько секунд кипела вода?
е) В какое время температура воды стала равна 98℃?

Для решения задачи проанализируем данные из таблицы. Предполагается, что между точками, указанными в таблице, зависимость температуры от времени является линейной, что позволяет находить промежуточные значения путем интерполяции.

а) Какую температуру имела вода через 4 мин; через 5,5 мин, через 9 мин, через 9,7 мин после начала нагревания?

- Через 4 мин: Находим в таблице значение температуры $y$, соответствующее времени $x = 4$ мин. Оно равно 66 °C.
- Через 5,5 мин: Это время находится ровно посередине между 5 и 6 минутами. Температура в эти моменты составляла 76 °C и 85 °C соответственно. Для нахождения температуры в 5,5 мин вычислим среднее арифметическое этих значений: $T = (76 + 85) / 2 = 161 / 2 = 80,5$ °C.
- Через 9 мин: Согласно таблице, при $x = 9$ мин температура $y$ достигла 100 °C.
- Через 9,7 мин: Это время находится в интервале от 9 до 10 минут. В этом промежутке температура воды оставалась постоянной на уровне 100 °C (процесс кипения), поэтому в 9,7 мин температура также была 100 °C.
Ответ: через 4 мин — 66 °C; через 5,5 мин — 80,5 °C; через 9 мин — 100 °C; через 9,7 мин — 100 °C.

б) Через сколько минут после начала нагревания температура воды стала равной 41°С; 60°С; 99°С?

- 41°С: Из таблицы видно, что температура 41°С была достигнута ровно через 2 минуты.
- 60°С: Эта температура находится в промежутке между 3-й минутой (54°С) и 4-й минутой (66°С). За эту минуту температура увеличилась на $66 - 54 = 12$ °C. Чтобы достичь 60°С от 54°С, требуется прирост в $60 - 54 = 6$ °C. Так как прирост в 12°C занял 1 минуту (60 секунд), то прирост в 6°C займет вдвое меньше времени: $1 \text{ мин} \times (6 / 12) = 0,5$ мин. Таким образом, искомое время: $3 + 0,5 = 3,5$ мин.
- 99°С: Эта температура находится в промежутке между 8-й минутой (98°С) и 9-й минутой (100°С). За эту минуту температура увеличилась на $100 - 98 = 2$ °C. Чтобы достичь 99°С от 98°С, требуется прирост в $99 - 98 = 1$ °C. Это займет половину времени интервала: $1 \text{ мин} \times (1 / 2) = 0,5$ мин. Таким образом, искомое время: $8 + 0,5 = 8,5$ мин.
Ответ: 41°С — через 2 мин; 60°С — через 3,5 мин; 99°С — через 8,5 мин.

в) В какой промежуток времени процесс нагревания происходил интенсивнее всего?

Интенсивность нагревания определяется скоростью роста температуры. Вычислим изменение температуры за каждый минутный интервал:
с 0 по 1 мин: $28 - 14 = 14$ °C
с 1 по 2 мин: $41 - 28 = 13$ °C
с 2 по 3 мин: $54 - 41 = 13$ °C
с 3 по 4 мин: $66 - 54 = 12$ °C
с 4 по 5 мин: $76 - 66 = 10$ °C
с 5 по 6 мин: $85 - 76 = 9$ °C
с 6 по 7 мин: $93 - 85 = 8$ °C
с 7 по 8 мин: $98 - 93 = 5$ °C
с 8 по 9 мин: $100 - 98 = 2$ °C
с 9 по 10 мин: $100 - 100 = 0$ °C
Наибольшее изменение температуры (14°С) произошло в первую минуту.
Ответ: в промежуток времени от 0 до 1 минуты.

г) Через сколько минут после начала нагревания вода закипела?

Вода закипает при достижении температуры 100°С. Согласно таблице, это произошло в момент времени $x = 9$ минут.
Ответ: через 9 минут.

д) Сколько секунд кипела вода?

Процесс кипения (когда температура остается постоянной и равной 100°С) наблюдался в эксперименте с 9-й по 10-ю минуту. Длительность этого периода составляет $10 - 9 = 1$ минута. Переведем в секунды: $1 \text{ мин} = 60$ секунд.
Ответ: 60 секунд.

е) В какое время температура воды стала равна 98°С?

По данным из таблицы находим, что температура 98°С была зафиксирована ровно через 8 минут после начала нагревания.
Ответ: через 8 минут.

293. (Для работы в парах.) На рисунке 31 изображены графики зависимости тормозного пути автомобиля от скорости его движения на сухом асфальте (кривая ОА), на мокром асфальте (кривая ОВ), при гололёде (кривая ОС). Для каждого случая ответьте на вопросы:

а) чему равен тормозной путь автомобиля при скорости 50 км/ч;

б) с какой скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы его тормозной путь не превышал 60 м?

1) Выполните каждый задания а) и б).

2) Сравните полученные ответы. Исправьте ошибки, если они допущены.

3) Обсудите, насколько велико различие в тормозном пути на сухом и мокром асфальте.

1)

а) Для ответа на этот вопрос находим на горизонтальной оси (ось скорости $v$) значение 50 км/ч. Проводим от этой точки вертикальную линию вверх до пересечения с тремя графиками. От точек пересечения проводим горизонтальные линии влево до пересечения с вертикальной осью (ось тормозного пути $s$) и считываем соответствующие значения.

• Для сухого асфальта (кривая ОА): при скорости $v = 50$ км/ч тормозной путь $s$ равен 20 м.

• Для мокрого асфальта (кривая ОВ): при скорости $v = 50$ км/ч тормозной путь $s$ равен 40 м.

• При гололёде (кривая ОС): при скорости $v = 50$ км/ч тормозной путь $s$ равен 120 м.

Ответ: на сухом асфальте – 20 м; на мокром асфальте – 40 м; при гололёде – 120 м.

б) Чтобы найти максимальную скорость, при которой тормозной путь не превышает 60 м, находим на вертикальной оси (ось $s$) значение 60 м. Проводим от этой точки горизонтальную линию вправо до пересечения с графиками. От точек пересечения опускаем вертикальные линии вниз до пересечения с горизонтальной осью (ось $v$) и определяем соответствующие значения скорости.

• Для сухого асфальта (кривая ОА): тормозной путь 60 м соответствует скорости $v = 70$ км/ч. Следовательно, чтобы тормозной путь не превышал 60 м, скорость должна быть не более 70 км/ч ($v \le 70$ км/ч).

• Для мокрого асфальта (кривая ОВ): тормозной путь 60 м соответствует скорости $v = 60$ км/ч. Следовательно, скорость должна быть не более 60 км/ч ($v \le 60$ км/ч).

• При гололёде (кривая ОС): тормозной путь 60 м соответствует скорости $v \approx 35$ км/ч. Следовательно, скорость должна быть не более примерно 35 км/ч ($v \le 35$ км/ч).

Ответ: на сухом асфальте – не более 70 км/ч; на мокром асфальте – не более 60 км/ч; при гололёде – не более 35 км/ч.

2)

Сравнение полученных ответов показывает, что результаты логичны и соответствуют физическим представлениям о силе трения.

В пункте а) при одинаковой скорости (50 км/ч) тормозной путь наименьший на сухом асфальте (20 м), больше на мокром (40 м) и самый большой на льду (120 м). Это объясняется уменьшением коэффициента трения скольжения в ряду: сухой асфальт > мокрый асфальт > лёд. Чем меньше сила трения, тем больше времени и расстояния требуется для остановки автомобиля.

В пункте б) для обеспечения одинакового тормозного пути (не более 60 м) допустимая скорость движения тем ниже, чем хуже сцепление с дорогой. Максимальная скорость на сухом асфальте (70 км/ч) выше, чем на мокром (60 км/ч), и значительно выше, чем на льду (приблизительно 35 км/ч).

Ошибок в определении значений по графику не обнаружено. Полученные данные непротиворечивы.

Ответ: полученные ответы согласуются между собой и с физикой явления: чем хуже сцепление с дорогой (меньше коэффициент трения), тем больше тормозной путь при одной и той же скорости и тем меньше должна быть скорость для обеспечения заданной длины тормозного пути.

3)

Для обсуждения различия в тормозном пути на сухом и мокром асфальте проанализируем данные, полученные из графика. Например, при скорости 50 км/ч тормозной путь на сухом асфальте составляет $s_{сух} = 20$ м, а на мокром – $s_{мокр} = 40$ м. Разница составляет $s_{мокр} - s_{сух} = 40\text{ м} - 20\text{ м} = 20$ м. Отношение тормозных путей равно $s_{мокр} / s_{сух} = 40 / 20 = 2$.

Проверим это соотношение для другой скорости, например, 80 км/ч. По графику, $s_{сух} \approx 50$ м, а $s_{мокр} \approx 100$ м. Отношение снова равно $100 / 50 = 2$.

Это означает, что при движении по мокрому асфальту тормозной путь увеличивается в 2 раза по сравнению с сухим асфальтом при любой скорости. Это очень существенное различие. Увеличение тормозного пути на десятки метров (например, на 50 метров при скорости 80 км/ч) кардинально влияет на безопасность движения и требует от водителя значительного снижения скорости и увеличения дистанции до впереди идущего транспорта в дождливую погоду.

Ответ: различие в тормозном пути на сухом и мокром асфальте очень велико. На мокром асфальте тормозной путь примерно в два раза больше, чем на сухом, при одинаковой начальной скорости движения. Это критически важный фактор для обеспечения безопасности дорожного движения.