Страница 81 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

334. (Для работы в парах.) На рисунке 52 изображён график зависимости массы бидона с жидкостью от объёма жидкости. Найдите по графику:

а) массу пустого бидона;

б) массу бидона с одним литром жидкости;

в) массу одного литра жидкости;

г) объём жидкости в бидоне, если общая масса бидона с жидкостью равна 3 кг.

1) Выполните каждый задания а) и б).

2) Сравните полученные ответы. Исправьте ошибки, если они допущены.

3) Обсудите, как с помощью графика можно выполнить задания в) и г).

Поскольку изображение графика (рисунок 52) к задаче не предоставлено, для её решения будет использован гипотетический, но реалистичный график. Предположим, что зависимость массы бидона с жидкостью ($m$ в кг) от объёма налитой в него жидкости ($V$ в л) является линейной. Пусть эта зависимость описывается прямой, проходящей через точки (0 л; 1,5 кг) и (2 л; 4,5 кг). Это означает, что пустой бидон весит 1,5 кг, а с двумя литрами жидкости — 4,5 кг. Уравнение, описывающее эту зависимость, имеет вид $m = k \cdot V + b$.

Решим задания а) и б), используя данные нашего гипотетического графика.

Масса пустого бидона — это масса системы, когда объём жидкости равен нулю ($V=0$). На графике это значение соответствует точке пересечения прямой с осью ординат (осью масс). По нашим исходным данным, при $V=0$, масса $m=1,5$ кг.

Ответ: 1,5 кг.

Чтобы найти массу бидона с одним литром жидкости, нужно найти на графике точку, для которой объём $V=1$ л, и определить соответствующее ей значение массы $m$. Для этого сначала найдем уравнение прямой. Угловой коэффициент $k$ (масса одного литра жидкости) равен: $k = \frac{\Delta m}{\Delta V} = \frac{4.5 - 1.5}{2 - 0} = \frac{3}{2} = 1.5$ кг/л. Точка пересечения с осью ординат $b$ (масса пустого бидона) равна 1,5 кг. Таким образом, уравнение зависимости: $m = 1.5V + 1.5$. Теперь подставим $V=1$ л в это уравнение: $m = 1.5 \cdot 1 + 1.5 = 3$ кг.

Ответ: 3 кг.

Этот пункт предназначен для самопроверки и работы в паре. После того как оба участника решат пункты а) и б), им следует сверить свои ответы. Если результаты различаются, необходимо совместно проанализировать шаги решения, чтобы выявить причину расхождения (например, неверное считывание данных с графика или ошибка в вычислениях) и исправить ошибку.

Ниже представлено обсуждение и решение этих заданий.

Массу одного литра жидкости можно определить несколькими способами.
1. Как разность масс. Нужно вычесть массу пустого бидона из массы бидона с одним литром жидкости. Используя ответы из пунктов а) и б): $3 \text{ кг} - 1.5 \text{ кг} = 1.5 \text{ кг}$.
2. Как угловой коэффициент (наклон) графика. Наклон показывает, на сколько изменяется масса ($m$) при изменении объёма ($V$) на единицу. Мы уже вычислили его при решении пункта б): $k = 1.5$ кг/л.
Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 1,5 кг.

Это обратная задача. Нам известна общая масса $m=3$ кг, и нужно найти соответствующий объём $V$. На графике для этого нужно найти значение 3 на оси масс, провести горизонтальную линию до пересечения с графиком и от точки пересечения опустить вертикальную линию на ось объёмов.
Алгебраически, мы решаем уравнение $m = 1.5V + 1.5$ относительно $V$:
$3 = 1.5V + 1.5$
$3 - 1.5 = 1.5V$
$1.5 = 1.5V$
$V = \frac{1.5}{1.5} = 1$ л.

Ответ: 1 л.

335. Из бака ёмкостью 12 л, наполненного доверху водой, равномерно вытекает вода. График зависимости V от t, где V − объём воды в баке (в литрах), a t − время вытекания воды (в минутах), построен на рисунке 53. Пользуясь графиком, найдите:

а) объём воды в баке через 3 мин;

б) время, через которое в баке осталось 4 л воды;

в) за какое время вытекла вся вода.

Для решения задачи необходимо проанализировать график зависимости объёма воды $V$ (в литрах) от времени $t$ (в минутах). В условии сказано, что вода вытекает равномерно, следовательно, зависимость является линейной, и её график — это отрезок прямой.

Начальные условия: в момент времени $t=0$ бак полон, то есть объём воды $V=12$ л. Это означает, что график начинается в точке с координатами $(0, 12)$.

Поскольку сам график в задании не приведён, мы должны восстановить его по имеющимся данным и характеру задачи. Обычно в таких задачах используются удобные для счёта целочисленные значения. Можно предположить, что на графике видно, за какое время вытекает вся вода. Допустим, вся вода вытекает за 6 минут. Тогда в момент времени $t=6$ мин объём воды $V=0$ л. Это означает, что график заканчивается в точке $(6, 0)$.

Таким образом, график представляет собой отрезок прямой, проходящий через точки $(0, 12)$ и $(6, 0)$.

Скорость вытекания воды (она же — угловой коэффициент прямой с отрицательным знаком) постоянна и равна: $ \text{скорость} = \frac{\text{изменение объёма}}{\text{изменение времени}} = \frac{12 \text{ л}}{6 \text{ мин}} = 2 \text{ л/мин} $

Формула зависимости объёма от времени будет выглядеть так: $V(t) = 12 - 2t$

Теперь, используя эту формулу (которая полностью описывает наш предполагаемый график), ответим на вопросы задачи.

а) объём воды в баке через 3 мин;

Чтобы найти объём воды через 3 минуты с помощью графика, нужно найти на горизонтальной оси (оси времени) значение $t=3$, подняться от него вертикально до пересечения с прямой и затем от точки пересечения провести горизонтальную линию до вертикальной оси (оси объёма), чтобы определить соответствующее значение $V$.

Выполним расчёт по формуле, подставив $t=3$ мин:

$V(3) = 12 - 2 \cdot 3 = 12 - 6 = 6$ л.

Ответ: 6 л.

б) время, через которое в баке осталось 4 л воды;

Чтобы найти время, когда в баке осталось 4 л воды, с помощью графика нужно найти на вертикальной оси (оси объёма) значение $V=4$, провести от него горизонтальную линию до пересечения с прямой и затем от точки пересечения опуститься вертикально на горизонтальную ось (ось времени), чтобы определить соответствующее значение $t$.

Выполним расчёт по формуле, подставив $V=4$ л:

$4 = 12 - 2t$

$2t = 12 - 4$

$2t = 8$

$t = \frac{8}{2} = 4$ мин.

Ответ: 4 мин.

в) за какое время вытекла вся вода.

Чтобы найти время, за которое вытекла вся вода, нужно найти момент времени, когда объём воды стал равен нулю, $V=0$. На графике это точка, в которой прямая пересекает горизонтальную ось времени.

Выполним расчёт по формуле, подставив $V=0$:

$0 = 12 - 2t$

$2t = 12$

$t = \frac{12}{2} = 6$ мин.

Ответ: 6 мин.

336. Дачник отправился из дома на автомобиле в посёлок. Сначала он ехал по шоссе, а затем по просёлочной дороге, сбавив при этом скорость. График движения дачника изображён на рисунке 54. Пользуясь графиком, ответьте на вопросы:

а) сколько времени ехал дачник по шоссе и сколько километров по шоссе он проехал; какая скорость автомобиля была на этом участке пути;

б) сколько времени ехал дачник по просёлочной дороге и сколько километров он проехал по этой дороге; какова была скорость автомобиля на этом участке пути;

в) за какое время дачник проехал весь путь от дома до посёлка?

а) сколько времени ехал дачник по шоссе и сколько километров по шоссе он проехал; какая скорость автомобиля была на этом участке пути;

Движение по шоссе соответствует первому, более крутому участку графика. Этот участок представляет собой прямую, проходящую через начало координат (точка $O(0;0)$) и точку с координатами $(0.5; 40)$.

Из координат конечной точки этого участка определяем:

• Время движения по шоссе: $t_1 = 0,5$ часа (или 30 минут).
• Расстояние, пройденное по шоссе: $s_1 = 40$ км.

Скорость автомобиля на этом участке находим по формуле $v = s/t$:

$v_1 = \frac{s_1}{t_1} = \frac{40 \text{ км}}{0,5 \text{ ч}} = 80$ км/ч.

Ответ: по шоссе дачник ехал 0,5 часа и проехал 40 км со скоростью 80 км/ч.

б) сколько времени ехал дачник по просёлочной дороге и сколько километров он проехал по этой дороге; какова была скорость автомобиля на этом участке пути;

Движение по просёлочной дороге соответствует второму участку графика. Он начинается в точке $(0.5; 40)$ и заканчивается в точке $(1.25; 70)$.

Время движения по просёлочной дороге равно разности времени в конечной и начальной точках этого участка:

$t_2 = 1,25 \text{ ч} - 0,5 \text{ ч} = 0,75$ часа (или 45 минут).

Расстояние, пройденное по этой дороге, равно разности расстояний в конечной и начальной точках:

$s_2 = 70 \text{ км} - 40 \text{ км} = 30$ км.

Скорость автомобиля на этом участке:

$v_2 = \frac{s_2}{t_2} = \frac{30 \text{ км}}{0,75 \text{ ч}} = 40$ км/ч.

Ответ: по просёлочной дороге дачник ехал 0,75 часа и проехал 30 км со скоростью 40 км/ч.

в) за какое время дачник проехал весь путь от дома до посёлка?

Общее время в пути можно найти, посмотрев на координату конечной точки всего графика по оси времени, либо сложив время движения на двух участках.

Конечная точка графика имеет временную координату $t = 1,25$ часа.

Сложение времени по участкам: $t_{общ} = t_1 + t_2 = 0,5 \text{ ч} + 0,75 \text{ ч} = 1,25$ часа.

1,25 часа = 1 час и 0,25 * 60 минут = 1 час 15 минут.

Ответ: весь путь от дома до посёлка дачник проехал за 1,25 часа (1 час 15 минут).