Страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

365. Постройте график функции, выбрав соответствующий масштаб:

а) у = 100х; б) у = 0,02х.

а)

Функция $y = 100x$ является прямой пропорциональностью. Её график — это прямая линия, проходящая через начало координат. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых её точек.

1. Найдём первую точку. При $x=0$, значение функции $y = 100 \cdot 0 = 0$. Следовательно, график проходит через начало координат, точку $(0; 0)$.

2. Найдём вторую точку. Коэффициент наклона $k=100$ очень большой, это означает, что график будет очень круто подниматься вверх. Чтобы график был наглядным и поместился на чертеже, необходимо правильно выбрать масштаб. Возьмём небольшое значение $x$, например, $x=1$. Тогда $y = 100 \cdot 1 = 100$. Получаем вторую точку с координатами $(1; 100)$.

Чтобы построить график по точкам $(0; 0)$ и $(1; 100)$, выберем разный масштаб для осей координат:
- по оси абсцисс ($Ox$): примем за единичный отрезок 1.
- по оси ординат ($Oy$): примем за единичный отрезок 100.

С таким масштабом точка $(1; 100)$ будет легко отмечена на плоскости. Построив точки $(0; 0)$ и $(1; 100)$ в выбранной системе координат, проводим через них прямую. Эта прямая и будет являться графиком функции $y=100x$.

Ответ: График функции $y=100x$ — это прямая, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(1; 100)$. Для наглядного построения рекомендуется выбрать масштаб, при котором единичный отрезок по оси $Oy$ в 100 раз больше единичного отрезка по оси $Ox$ (например, по оси $Ox$ 1 см = 1 единица, а по оси $Oy$ 1 см = 100 единиц).

б)

Функция $y = 0,02x$ также является прямой пропорциональностью, и её график — это прямая, проходящая через начало координат.

1. Первая точка — это начало координат $(0; 0)$, так как при $x=0$, $y = 0,02 \cdot 0 = 0$.

2. Найдём вторую точку. Коэффициент наклона $k=0,02$ очень мал. Это значит, что график будет очень пологим. Чтобы получить удобные для построения координаты (например, целые), нужно взять достаточно большое значение $x$. Возьмём $x=50$. Тогда $y = 0,02 \cdot 50 = 1$. Получаем вторую точку с координатами $(50; 1)$.

Для построения графика по точкам $(0; 0)$ и $(50; 1)$, выберем следующий масштаб:
- по оси абсцисс ($Ox$): примем за единичный отрезок 50.
- по оси ординат ($Oy$): примем за единичный отрезок 1.

При таком масштабе точка $(50; 1)$ будет легко отмечена. Построив точки $(0; 0)$ и $(50; 1)$ в выбранной системе координат, проводим через них прямую. Эта прямая и будет являться графиком функции $y=0,02x$.

Ответ: График функции $y=0,02x$ — это прямая, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(50; 1)$. Для наглядного построения рекомендуется выбрать масштаб, при котором единичный отрезок по оси $Ox$ в 50 раз больше единичного отрезка по оси $Oy$ (например, по оси $Ox$ 1 см = 50 единиц, а по оси $Oy$ 1 см = 1 единица).

366. Какое расстояние у (в километрах) проедет велосипедист за х ч, если будет двигаться равномерно со скоростью 15 км/ч? Постройте график зависимости у от х (масштаб по оси х: в 1 см − 15 км; по оси у: в 1 см − 1 ч). С помощью графика ответьте на вопросы:

а) какой путь проедет велосипедист за 3 ч; за 3 ч 40 мин;

б) сколько времени затратит велосипедист на путь в 50 км?

Зависимость расстояния $y$ (в километрах) от времени $x$ (в часах) при равномерном движении со скоростью $v$ описывается формулой $y = v \cdot x$. В данном случае скорость велосипедиста $v = 15$ км/ч. Таким образом, формула зависимости имеет вид:

$y = 15x$

Это линейная функция, графиком которой является прямая линия, проходящая через начало координат.

Для построения графика составим таблицу значений. Выберем несколько значений для времени $x$ и вычислим соответствующее расстояние $y$:

• при $x=0$, $y = 15 \cdot 0 = 0$ (точка (0; 0))
• при $x=1$, $y = 15 \cdot 1 = 15$ (точка (1; 15))
• при $x=2$, $y = 15 \cdot 2 = 30$ (точка (2; 30))
• при $x=4$, $y = 15 \cdot 4 = 60$ (точка (4; 60))

Построим график. (Примечание: в условии задачи, вероятно, допущена опечатка в описании масштаба. Логично предположить, что ось $x$ — это ось времени, а ось $y$ — ось расстояния. Поэтому используем следующий масштаб: по оси абсцисс (время) 1 единица — 1 час, по оси ординат (расстояние) 1 единица — 15 км).

а) какой путь проедет велосипедист за 3 ч; за 3 ч 40 мин;

Для нахождения пути по графику нужно найти значение времени на оси $x$, подняться до пересечения с графиком и найти соответствующее значение расстояния на оси $y$.

• За 3 ч:

  Находим на оси времени $x$ точку 3. Двигаясь от неё вверх до прямой, а затем влево до оси расстояний $y$, находим значение 45. Это показано на графике синей линией.

  Проверка вычислением: $y = 15 \cdot 3 = 45$ км.

• За 3 ч 40 мин:

  Сначала переведем минуты в часы: $40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3}$ ч. Таким образом, общее время $x = 3 + \frac{2}{3} = 3\frac{2}{3} = \frac{11}{3}$ ч.

  Находим на оси времени $x$ точку $3\frac{2}{3} \approx 3.67$. Двигаясь от неё вверх до прямой, а затем влево до оси расстояний $y$, находим значение 55. Это показано на графике зеленой линией.

  Проверка вычислением: $y = 15 \cdot \frac{11}{3} = 5 \cdot 11 = 55$ км.

Ответ: за 3 ч велосипедист проедет 45 км; за 3 ч 40 мин — 55 км.

б) сколько времени затратит велосипедист на путь в 50 км?

Для нахождения времени по графику нужно найти значение расстояния на оси $y$, провести линию до пересечения с графиком и найти соответствующее значение времени на оси $x$.

Находим на оси расстояний $y$ точку 50. Двигаясь от неё вправо до прямой, а затем вниз до оси времени $x$, находим значение между 3 и 4. Это показано на графике фиолетовой линией. Точное значение: $x = \frac{10}{3}$ ч.

Переведем дробную часть часов в минуты: $x = \frac{10}{3} \text{ ч} = 3\frac{1}{3} \text{ ч} = 3 \text{ ч} + \frac{1}{3} \text{ ч} = 3 \text{ ч} + (\frac{1}{3} \cdot 60) \text{ мин} = 3$ ч 20 мин.

Проверка вычислением: из формулы $y = 15x$ выразим время $x = \frac{y}{15}$. Подставим $y=50$ км: $x = \frac{50}{15} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$ ч.

Ответ: на путь в 50 км велосипедист затратит 3 ч 20 мин.

367. Является ли линейной функция, заданная формулой:

а) у = 4х − 72;

б) у = 3(х + 8);

в) у = х(6 − х);

г) у = х(9 − х) + х²?

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Чтобы определить, является ли заданная функция линейной, необходимо попытаться привести ее формулу к указанному виду путем алгебраических преобразований.

а) Рассмотрим функцию $y = \frac{4x - 7}{2}$.
Выполним почленное деление числителя на знаменатель:
$y = \frac{4x}{2} - \frac{7}{2}$
$y = 2x - 3.5$
Эта формула соответствует виду $y = kx + b$, где коэффициент $k = 2$, а свободный член $b = -3.5$. Следовательно, данная функция является линейной.
Ответ: да, является.

б) Рассмотрим функцию $y = 3(x + 8)$.
Раскроем скобки:
$y = 3 \cdot x + 3 \cdot 8$
$y = 3x + 24$
Эта формула соответствует виду $y = kx + b$, где $k = 3$ и $b = 24$. Следовательно, данная функция является линейной.
Ответ: да, является.

в) Рассмотрим функцию $y = x(6 - x)$.
Раскроем скобки:
$y = x \cdot 6 - x \cdot x$
$y = 6x - x^2$
Формулу этой функции нельзя привести к виду $y = kx + b$, так как она содержит член с $x^2$. Это квадратичная функция, а не линейная.
Ответ: нет, не является.

г) Рассмотрим функцию $y = x(9 - x) + x^2$.
Сначала раскроем скобки, а затем приведем подобные слагаемые:
$y = 9x - x^2 + x^2$
$y = 9x$
Эта формула соответствует виду $y = kx + b$, где $k = 9$ и $b = 0$. Следовательно, данная функция является линейной.
Ответ: да, является.

368. Функция задана формулой у = 0,2х − 4. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному −25; −12; 45; 60. При каком значении аргумента значение функции равно 0; 1? Существует ли такое значение х, при котором:

а) значение функции равно значению аргумента;

б) значение функции противоположно значению аргумента?

Для функции $y = 0,2x - 4$ найдем значения функции при заданных значениях аргумента.

Если $x = -25$, то $y = 0,2 \cdot (-25) - 4 = -5 - 4 = -9$.
Если $x = -12$, то $y = 0,2 \cdot (-12) - 4 = -2,4 - 4 = -6,4$.
Если $x = 45$, то $y = 0,2 \cdot 45 - 4 = 9 - 4 = 5$.
Если $x = 60$, то $y = 0,2 \cdot 60 - 4 = 12 - 4 = 8$.

Далее найдем значения аргумента, при которых значение функции равно 0 и 1.

При $y = 0$ получаем уравнение: $0,2x - 4 = 0$.
$0,2x = 4$
$x = \frac{4}{0,2} = 20$.

При $y = 1$ получаем уравнение: $0,2x - 4 = 1$.
$0,2x = 1 + 4$
$0,2x = 5$
$x = \frac{5}{0,2} = 25$.

Ответ: При значениях аргумента -25, -12, 45, 60 значения функции равны -9, -6,4, 5, 8 соответственно. Значение функции равно 0 при $x=20$, и равно 1 при $x=25$.

а) значение функции равно значению аргумента;

Это условие означает, что $y = x$. Подставим в это равенство формулу функции:

$0,2x - 4 = x$

Решим полученное уравнение:

$0,2x - x = 4$
$-0,8x = 4$
$x = \frac{4}{-0,8} = -5$

Следовательно, такое значение $x$ существует.

Ответ: да, существует, при $x = -5$.

б) значение функции противоположно значению аргумента?

Это условие означает, что $y = -x$. Подставим в это равенство формулу функции:

$0,2x - 4 = -x$

Решим полученное уравнение:

$0,2x + x = 4$
$1,2x = 4$
$x = \frac{4}{1,2} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$

Следовательно, такое значение $x$ существует.

Ответ: да, существует, при $x = \frac{10}{3}$.