Номер 367, страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Функции - номер 367, страница 91.

367. Является ли линейной функция, заданная формулой:

а) у = 4х − 72;

б) у = 3(х + 8);

в) у = х(6 − х);

г) у = х(9 − х) + х²?

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Чтобы определить, является ли заданная функция линейной, необходимо попытаться привести ее формулу к указанному виду путем алгебраических преобразований.

а) Рассмотрим функцию $y = \frac{4x - 7}{2}$.
Выполним почленное деление числителя на знаменатель:
$y = \frac{4x}{2} - \frac{7}{2}$
$y = 2x - 3.5$
Эта формула соответствует виду $y = kx + b$, где коэффициент $k = 2$, а свободный член $b = -3.5$. Следовательно, данная функция является линейной.
Ответ: да, является.

б) Рассмотрим функцию $y = 3(x + 8)$.
Раскроем скобки:
$y = 3 \cdot x + 3 \cdot 8$
$y = 3x + 24$
Эта формула соответствует виду $y = kx + b$, где $k = 3$ и $b = 24$. Следовательно, данная функция является линейной.
Ответ: да, является.

в) Рассмотрим функцию $y = x(6 - x)$.
Раскроем скобки:
$y = x \cdot 6 - x \cdot x$
$y = 6x - x^2$
Формулу этой функции нельзя привести к виду $y = kx + b$, так как она содержит член с $x^2$. Это квадратичная функция, а не линейная.
Ответ: нет, не является.

г) Рассмотрим функцию $y = x(9 - x) + x^2$.
Сначала раскроем скобки, а затем приведем подобные слагаемые:
$y = 9x - x^2 + x^2$
$y = 9x$
Эта формула соответствует виду $y = kx + b$, где $k = 9$ и $b = 0$. Следовательно, данная функция является линейной.
Ответ: да, является.