Страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

378. График линейной функции, заданной формулой вида у = kx + 1, параллелен графику функции у = −0,4х. Найдите значение коэффициента k и выясните, принадлежит ли этому графику точка M(50; −19).

Задача состоит из двух частей: найти коэффициент $k$ и проверить принадлежность точки графику.

Найдите значение коэффициента k

Дана линейная функция $y = kx + 1$ и функция $y = -0.4x$. По условию, их графики параллельны.
Графики двух линейных функций вида $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ параллельны в том случае, если их угловые коэффициенты равны, то есть $k_1 = k_2$.
Угловой коэффициент для первой функции — это $k$.
Угловой коэффициент для второй функции — это $-0.4$.
Приравниваем угловые коэффициенты, чтобы удовлетворить условию параллельности:
$k = -0.4$
Таким образом, искомая функция имеет вид $y = -0.4x + 1$.
Ответ: $k = -0.4$.

выясните, принадлежит ли этому графику точка M(50; ?19)

Чтобы определить, принадлежит ли точка $M(50; -19)$ графику функции $y = -0.4x + 1$, необходимо подставить координаты этой точки в уравнение функции.
Координаты точки M: $x = 50$, $y = -19$.
Подставляем значения в уравнение:
$y = -0.4x + 1$
$-19 = -0.4 \cdot 50 + 1$
Теперь вычислим значение правой части выражения:
$-0.4 \cdot 50 + 1 = -20 + 1 = -19$
В результате мы получили верное равенство:
$-19 = -19$
Поскольку координаты точки $M$ удовлетворяют уравнению функции, точка принадлежит ее графику.
Ответ: Да, точка M(50; ?19) принадлежит этому графику.

379. Задайте формулой линейную функцию, графиком которой служит прямая, проходящая через точку А(2; 3) и параллельная графику функции y = 1,5х − 3. Постройте её график.

Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – свободный член, отвечающий за сдвиг графика вдоль оси ординат.

В условии задачи указано, что искомая прямая параллельна графику функции $y = 1,5x - 3$. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент данной функции $y = 1,5x - 3$ равен $k = 1,5$. Следовательно, угловой коэффициент искомой функции также равен $1,5$.

Таким образом, уравнение искомой функции имеет вид $y = 1,5x + b$.

Далее, по условию, график функции проходит через точку $A(2; 3)$. Это означает, что координаты этой точки должны удовлетворять уравнению нашей прямой. Подставим значения $x = 2$ и $y = 3$ в уравнение $y = 1,5x + b$, чтобы найти значение коэффициента $b$:

$3 = 1,5 \cdot 2 + b$

Выполним вычисления:

$3 = 3 + b$

Отсюда находим $b$:

$b = 3 - 3$

$b = 0$

Теперь, зная оба коэффициента $k = 1,5$ и $b = 0$, мы можем записать окончательную формулу для линейной функции:

$y = 1,5x + 0$

или просто

$y = 1,5x$

Это прямая пропорциональность, график которой проходит через начало координат.

Для построения графика этой функции необходимо найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. Одна точка нам уже дана по условию: $A(2; 3)$.

Найдем вторую точку. Для простоты вычислений возьмем $x = 0$:

$y = 1,5 \cdot 0 = 0$

Таким образом, вторая точка – это начало координат $O(0; 0)$.

Для построения графика на координатной плоскости отмечаем точки $O(0; 0)$ и $A(2; 3)$ и проводим через них прямую линию. Эта прямая и является графиком искомой функции.

Ответ: Формула функции: $y = 1,5x$. График функции представляет собой прямую, проходящую через точки с координатами $(0; 0)$ и $(2; 3)$.

380. График линейной функции − прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку М(5; 8). Задайте эту функцию формулой.

Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член. Графиком такой функции является прямая.

В условии сказано, что график функции — прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox). Прямая, параллельная оси Ox, является горизонтальной. Для любой горизонтальной прямой угловой коэффициент $k$ равен нулю. Таким образом, уравнение функции принимает вид:
$y = 0 \cdot x + b$
$y = b$

Это означает, что для любого значения $x$ значение $y$ будет постоянным и равным $b$.

Также по условию известно, что эта прямая проходит через точку $M(5; 8)$. Это значит, что при $x = 5$ значение функции $y$ равно 8. Подставим эти значения в полученное нами уравнение $y = b$:
$8 = b$

Таким образом, мы нашли значение коэффициента $b$. Теперь мы можем записать итоговую формулу для заданной функции, подставив $b=8$ в уравнение $y=b$.

Ответ: $y = 8$

381. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций:

а) у = 4x + 9 и у = 6x − 5;

б) у = 16x − 7 и у = 21x + 8;

в) у = 10х − 7 и у = 5;

г) у = 0,1х и у = 14.

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух линейных функций без построения, необходимо решить систему уравнений, задающих эти функции. В точке пересечения значения координат $x$ и $y$ для обоих графиков совпадают. Следовательно, мы можем приравнять выражения для $y$ из обоих уравнений. Решив полученное уравнение относительно $x$, мы найдем абсциссу (координату $x$) точки пересечения. После этого, подставив найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, мы вычислим ординату (координату $y$) этой точки.

а) $y = 4x + 9$ и $y = 6x - 5$

Приравняем правые части уравнений, так как в точке пересечения значения $y$ равны:

$4x + 9 = 6x - 5$

Соберем слагаемые, содержащие $x$, в одной части уравнения, а числовые слагаемые — в другой:

$9 + 5 = 6x - 4x$

$14 = 2x$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{14}{2} = 7$

Теперь подставим найденное значение $x = 7$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем первое уравнение:

$y = 4(7) + 9 = 28 + 9 = 37$

Таким образом, координаты точки пересечения графиков: $(7; 37)$.

Ответ: $(7; 37)$.

б) $y = 16x - 7$ и $y = 21x + 8$

Приравняем правые части уравнений:

$16x - 7 = 21x + 8$

Перенесем слагаемые:

$-7 - 8 = 21x - 16x$

$-15 = 5x$

Находим $x$:

$x = \frac{-15}{5} = -3$

Подставим $x = -3$ в первое уравнение для нахождения $y$:

$y = 16(-3) - 7 = -48 - 7 = -55$

Координаты точки пересечения графиков: $(-3; -55)$.

Ответ: $(-3; -55)$.

в) $y = 10x - 7$ и $y = 5$

В данном случае ордината точки пересечения уже известна из второго уравнения: $y = 5$. Подставим это значение в первое уравнение, чтобы найти абсциссу $x$:

$5 = 10x - 7$

Решим уравнение относительно $x$:

$5 + 7 = 10x$

$12 = 10x$

$x = \frac{12}{10} = 1,2$

Координаты точки пересечения графиков: $(1,2; 5)$.

Ответ: $(1,2; 5)$.

г) $y = 0,1x$ и $y = 14$

Аналогично предыдущему пункту, ордината точки пересечения известна: $y = 14$. Подставим это значение в первое уравнение:

$14 = 0,1x$

Найдем $x$:

$x = \frac{14}{0,1} = 140$

Координаты точки пересечения графиков: $(140; 14)$.

Ответ: $(140; 14)$.

382.Графики линейных функций у = 3х + 2, у = −2х + 3 и у = 0,5х − 2 ограничивают треугольник. Лежит ли начало координат внутри этого треугольника?

Чтобы определить, лежит ли начало координат (точка $O(0; 0)$) внутри треугольника, ограниченного графиками заданных линейных функций, необходимо выполнить два основных шага. Сначала мы найдем координаты вершин этого треугольника, а затем проверим положение точки $(0;0)$ относительно каждой из сторон треугольника.

Шаг 1: Нахождение вершин треугольника

Вершины треугольника — это точки пересечения прямых. Обозначим прямые:

• $l_1: y = 3x + 2$
• $l_2: y = -2x + 3$
• $l_3: y = 0,5x - 2$

1. Находим вершину A (пересечение $l_1$ и $l_2$)

Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений:
$y = 3x + 2$
$y = -2x + 3$
Приравниваем правые части:
$3x + 2 = -2x + 3$
$5x = 1$
$x = \frac{1}{5} = 0,2$
Подставляем значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$y = 3(0,2) + 2 = 0,6 + 2 = 2,6$
Координаты вершины A: $(0,2; 2,6)$.

2. Находим вершину B (пересечение $l_2$ и $l_3$)

Решаем систему уравнений:
$y = -2x + 3$
$y = 0,5x - 2$
Приравниваем правые части:
$-2x + 3 = 0,5x - 2$
$5 = 2,5x$
$x = \frac{5}{2,5} = 2$
Подставляем значение $x$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:
$y = -2(2) + 3 = -4 + 3 = -1$
Координаты вершины B: $(2; -1)$.

3. Находим вершину C (пересечение $l_1$ и $l_3$)

Решаем систему уравнений:
$y = 3x + 2$
$y = 0,5x - 2$
Приравниваем правые части:
$3x + 2 = 0,5x - 2$
$2,5x = -4$
$x = \frac{-4}{2,5} = -1,6$
Подставляем значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$y = 3(-1,6) + 2 = -4,8 + 2 = -2,8$
Координаты вершины C: $(-1,6; -2,8)$.

Шаг 2: Проверка положения начала координат

Точка лежит внутри треугольника, если для каждой его стороны она находится с той же стороны, что и третья вершина (не лежащая на этой стороне). Для этого представим уравнения прямых в общем виде $Ax + By + C = 0$:

• $l_1: 3x - y + 2 = 0$
• $l_2: 2x + y - 3 = 0$
• $l_3: 0,5x - y - 2 = 0$

Теперь для каждой прямой подставим в выражение $Ax + By + C$ координаты третьей вершины и координаты начала координат $O(0; 0)$ и сравним знаки полученных результатов.

1. Проверка для прямой $l_1: 3x - y + 2 = 0$ (сторона AC)

Третья вершина — B(2; -1). Подставляем её координаты:
$3(2) - (-1) + 2 = 6 + 1 + 2 = 9$ (знак "+")
Подставляем координаты начала координат O(0; 0):
$3(0) - 0 + 2 = 2$ (знак "+")
Знаки совпадают.

2. Проверка для прямой $l_2: 2x + y - 3 = 0$ (сторона AB)

Третья вершина — C(-1,6; -2,8). Подставляем её координаты:
$2(-1,6) + (-2,8) - 3 = -3,2 - 2,8 - 3 = -9$ (знак "?")
Подставляем координаты начала координат O(0; 0):
$2(0) + 0 - 3 = -3$ (знак "?")
Знаки совпадают.

3. Проверка для прямой $l_3: 0,5x - y - 2 = 0$ (сторона BC)

Третья вершина — A(0,2; 2,6). Подставляем её координаты:
$0,5(0,2) - 2,6 - 2 = 0,1 - 2,6 - 2 = -4,5$ (знак "?")
Подставляем координаты начала координат O(0; 0):
$0,5(0) - 0 - 2 = -2$ (знак "?")
Знаки совпадают.

Так как для всех трех сторон треугольника начало координат и третья вершина лежат по одну сторону, точка $O(0; 0)$ находится внутри треугольника.

Ответ: Да, начало координат лежит внутри этого треугольника.

383. На рисунке 69 изображены прямые АВ и CD − графики двух линейных функций.

а) Из трёх точек М( −2; 3), N(−4; 2), Р(−2; 5) выберите ту, через которую прямая АВ проходить заведомо не может.

б) Даны точки К(−6; 5), Р(−3; 1), Q(3; 4), М(4; 0), N(0; 1), F(2; 2), L(−6; 1). Выберите из них те, которые лежат выше прямой АВ и ниже прямой CD.

в) Укажите приближённо координаты точки пересечения прямых АВ и CD.

Чтобы определить, какая из точек заведомо не может лежать на прямой AB, проанализируем свойства графика этой прямой. Прямая AB является графиком возрастающей линейной функции (она идет вверх слева направо), следовательно, её угловой коэффициент $k$ должен быть положительным ($k > 0$).

Из рисунка видно, что прямая AB пересекает ось абсцисс в точке с координатой $x = -3$. Таким образом, точка $(-3; 0)$ принадлежит прямой AB. Используем эту информацию для проверки предложенных точек.

Уравнение прямой, проходящей через точку $(-3; 0)$, имеет вид $y = k(x - (-3))$ или $y = k(x+3)$, где $k$ — угловой коэффициент.

Проверим, при каком значении $k$ прямая будет проходить через каждую из заданных точек:

• Точка M(?2; 3):
  Подставим её координаты в уравнение прямой: $3 = k(-2+3) \Rightarrow 3 = k(1) \Rightarrow k=3$. Так как $k=3 > 0$, то прямая AB теоретически может проходить через точку M.
• Точка N(?4; 2):
  Подставим её координаты: $2 = k(-4+3) \Rightarrow 2 = k(-1) \Rightarrow k=-2$. Полученное значение углового коэффициента отрицательно, что противоречит тому, что функция возрастающая. Следовательно, прямая AB не может проходить через точку N, если она проходит через точку $(-3; 0)$.
• Точка P(?2; 5):
  Подставим её координаты: $5 = k(-2+3) \Rightarrow 5 = k(1) \Rightarrow k=5$. Так как $k=5 > 0$, то прямая AB теоретически может проходить через точку P.

Таким образом, единственная точка, через которую прямая AB заведомо не может проходить, — это N(?4; 2), так как это нарушает основное свойство графика — возрастание.

Ответ: N(?4; 2)

Для решения этой задачи необходимо найти уравнения прямых AB и CD. Точка лежит выше прямой, если её координата $y$ больше значения функции в этой точке, и ниже, если меньше.

1. Найдём уравнение прямой AB.
Из графика видно, что прямая проходит через точки с целочисленными координатами, например, $(-3; 0)$ и $(-2; 2)$.
Угловой коэффициент $k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{-2 - (-3)} = \frac{2}{1} = 2$.
Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку $(-3; 0)$: $y - 0 = 2(x - (-3))$, что даёт $y = 2x + 6$.
Точка $(x_0, y_0)$ лежит выше прямой AB, если выполняется неравенство $y_0 > 2x_0 + 6$.

2. Найдём уравнение прямой CD.
Из графика видно, что прямая проходит через точки $(-4; 3)$ и $(2; 1)$.
Угловой коэффициент $k_{CD} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 3}{2 - (-4)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку $(2; 1)$: $y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 2)$, что даёт $y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} + 1$, или $y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$.
Точка $(x_0, y_0)$ лежит ниже прямой CD, если выполняется неравенство $y_0 < -\frac{1}{3}x_0 + \frac{5}{3}$.

3. Проверим каждую точку на соответствие обоим условиям.

• K(?6; 5):
  Выше AB: $5 > 2(-6) + 6 \Rightarrow 5 > -6$ (верно).
  Ниже CD: $5 < -\frac{1}{3}(-6) + \frac{5}{3} \Rightarrow 5 < 2 + \frac{5}{3} \Rightarrow 5 < \frac{11}{3}$ (неверно).
• P(?3; 1):
  Выше AB: $1 > 2(-3) + 6 \Rightarrow 1 > 0$ (верно).
  Ниже CD: $1 < -\frac{1}{3}(-3) + \frac{5}{3} \Rightarrow 1 < 1 + \frac{5}{3} \Rightarrow 1 < \frac{8}{3}$ (верно).
  Точка P(?3; 1) подходит.
• Q(3; 4):
  Выше AB: $4 > 2(3) + 6 \Rightarrow 4 > 12$ (неверно).
• M(4; 0):
  Выше AB: $0 > 2(4) + 6 \Rightarrow 0 > 14$ (неверно).
• N(0; 1):
  Выше AB: $1 > 2(0) + 6 \Rightarrow 1 > 6$ (неверно).
• F(2; 2):
  Выше AB: $2 > 2(2) + 6 \Rightarrow 2 > 10$ (неверно).
• L(?6; 1):
  Выше AB: $1 > 2(-6) + 6 \Rightarrow 1 > -6$ (верно).
  Ниже CD: $1 < -\frac{1}{3}(-6) + \frac{5}{3} \Rightarrow 1 < 2 + \frac{5}{3} \Rightarrow 1 < \frac{11}{3}$ (верно).
  Точка L(?6; 1) подходит.

Ответ: P(?3; 1) и L(?6; 1)

Чтобы найти координаты точки пересечения прямых AB и CD, можно решить систему уравнений, которые мы составили в предыдущем пункте:

$\begin{cases} y = 2x + 6 \\ y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3} \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$2x + 6 = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

$3(2x + 6) = 3(-\frac{1}{3}x + \frac{5}{3})$

$6x + 18 = -x + 5$

$7x = -13$

$x = -\frac{13}{7}$

Теперь найдем координату $y$, подставив значение $x$ в уравнение прямой AB:

$y = 2(-\frac{13}{7}) + 6 = -\frac{26}{7} + \frac{42}{7} = \frac{16}{7}$

Точные координаты точки пересечения: $(-\frac{13}{7}; \frac{16}{7})$.

Преобразуем дроби в десятичные для получения приближенных координат:

$x = -\frac{13}{7} \approx -1.86$

$y = \frac{16}{7} \approx 2.29$

Приближенные координаты точки пересечения, как видно из графика и расчетов, можно округлить до одного знака после запятой.

Ответ: $(-1.9; 2.3)$ (или любая близкая аппроксимация, например, $(-1.8; 2.3)$).

384. На рисунке 70 изображены прямые АВ и CD − графики двух линейных функций. Найдите:

а) координаты трёх точек, которые лежат ниже прямой АВ;

б) координаты трёх точек, которые лежат выше прямой CD;

в) координаты точки пересечения прямых АВ и CD.

а) Точки, лежащие ниже прямой AB, — это все точки координатной плоскости, у которых при той же абсциссе ордината будет меньше, чем у точек на прямой AB. На графике видно, что, например, начало координат и точки на оси Ox находятся ниже прямой AB. Мы можем выбрать любые три точки из этой области. Возьмем точки с целочисленными координатами для простоты.

Ответ: Например, $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(-1, 1)$.

б) Точки, лежащие выше прямой CD, — это все точки координатной плоскости, у которых при той же абсциссе ордината будет больше, чем у точек на прямой CD. Визуально определим три такие точки с целочисленными координатами с графика. Например, точка с абсциссой 1 и ординатой 4 (т.е. $(1, 4)$) лежит выше точки C$(1, 3)$, которая находится на прямой. Аналогично можно выбрать и другие точки.

Ответ: Например, $(1, 4)$, $(0, 5)$, $(2, 2)$.

в) Для нахождения координат точки пересечения прямых AB и CD необходимо составить уравнения этих прямых и решить полученную систему уравнений. Уравнение прямой в общем виде: $y = kx + b$.

Найдем уравнение прямой AB, которая проходит через точки A$(-3, 1)$ и B$(1, 2)$.
Сначала вычислим угловой коэффициент $k$:
$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - 1}{1 - (-3)} = \frac{1}{4}$.
Теперь подставим значение $k$ и координаты точки B$(1, 2)$ в уравнение прямой, чтобы найти $b$:
$2 = \frac{1}{4} \cdot 1 + b \Rightarrow b = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.
Итак, уравнение прямой AB: $y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{4}$.

Найдем уравнение прямой CD, которая проходит через точки C$(1, 3)$ и D$(3, 0)$.
Вычислим угловой коэффициент $k$:
$k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{0 - 3}{3 - 1} = -\frac{3}{2}$.
Подставим значение $k$ и координаты точки C$(1, 3)$ в уравнение прямой, чтобы найти $b$:
$3 = -\frac{3}{2} \cdot 1 + b \Rightarrow b = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$.
Итак, уравнение прямой CD: $y = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$.

Для нахождения точки пересечения решим систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{4} \\ y = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2} \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:
$\frac{1}{4}x + \frac{7}{4} = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 4:
$4 \cdot (\frac{1}{4}x + \frac{7}{4}) = 4 \cdot (-\frac{3}{2}x + \frac{9}{2})$
$x + 7 = -6x + 18$
$x + 6x = 18 - 7$
$7x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{7}$.
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение:
$y = \frac{1}{4} \left(\frac{11}{7}\right) + \frac{7}{4} = \frac{11}{28} + \frac{7 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{11}{28} + \frac{49}{28} = \frac{60}{28} = \frac{15}{7}$.
Координаты точки пересечения: $(\frac{11}{7}, \frac{15}{7})$.

Ответ: $(\frac{11}{7}, \frac{15}{7})$.