Номер 382, страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Функции - номер 382, страница 93.

382.Графики линейных функций у = 3х + 2, у = −2х + 3 и у = 0,5х − 2 ограничивают треугольник. Лежит ли начало координат внутри этого треугольника?

Чтобы определить, лежит ли начало координат (точка $O(0; 0)$) внутри треугольника, ограниченного графиками заданных линейных функций, необходимо выполнить два основных шага. Сначала мы найдем координаты вершин этого треугольника, а затем проверим положение точки $(0;0)$ относительно каждой из сторон треугольника.

Шаг 1: Нахождение вершин треугольника

Вершины треугольника — это точки пересечения прямых. Обозначим прямые:

• $l_1: y = 3x + 2$
• $l_2: y = -2x + 3$
• $l_3: y = 0,5x - 2$

1. Находим вершину A (пересечение $l_1$ и $l_2$)

Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений:
$y = 3x + 2$
$y = -2x + 3$
Приравниваем правые части:
$3x + 2 = -2x + 3$
$5x = 1$
$x = \frac{1}{5} = 0,2$
Подставляем значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$y = 3(0,2) + 2 = 0,6 + 2 = 2,6$
Координаты вершины A: $(0,2; 2,6)$.

2. Находим вершину B (пересечение $l_2$ и $l_3$)

Решаем систему уравнений:
$y = -2x + 3$
$y = 0,5x - 2$
Приравниваем правые части:
$-2x + 3 = 0,5x - 2$
$5 = 2,5x$
$x = \frac{5}{2,5} = 2$
Подставляем значение $x$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:
$y = -2(2) + 3 = -4 + 3 = -1$
Координаты вершины B: $(2; -1)$.

3. Находим вершину C (пересечение $l_1$ и $l_3$)

Решаем систему уравнений:
$y = 3x + 2$
$y = 0,5x - 2$
Приравниваем правые части:
$3x + 2 = 0,5x - 2$
$2,5x = -4$
$x = \frac{-4}{2,5} = -1,6$
Подставляем значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$y = 3(-1,6) + 2 = -4,8 + 2 = -2,8$
Координаты вершины C: $(-1,6; -2,8)$.

Шаг 2: Проверка положения начала координат

Точка лежит внутри треугольника, если для каждой его стороны она находится с той же стороны, что и третья вершина (не лежащая на этой стороне). Для этого представим уравнения прямых в общем виде $Ax + By + C = 0$:

• $l_1: 3x - y + 2 = 0$
• $l_2: 2x + y - 3 = 0$
• $l_3: 0,5x - y - 2 = 0$

Теперь для каждой прямой подставим в выражение $Ax + By + C$ координаты третьей вершины и координаты начала координат $O(0; 0)$ и сравним знаки полученных результатов.

1. Проверка для прямой $l_1: 3x - y + 2 = 0$ (сторона AC)

Третья вершина — B(2; -1). Подставляем её координаты:
$3(2) - (-1) + 2 = 6 + 1 + 2 = 9$ (знак "+")
Подставляем координаты начала координат O(0; 0):
$3(0) - 0 + 2 = 2$ (знак "+")
Знаки совпадают.

2. Проверка для прямой $l_2: 2x + y - 3 = 0$ (сторона AB)

Третья вершина — C(-1,6; -2,8). Подставляем её координаты:
$2(-1,6) + (-2,8) - 3 = -3,2 - 2,8 - 3 = -9$ (знак "?")
Подставляем координаты начала координат O(0; 0):
$2(0) + 0 - 3 = -3$ (знак "?")
Знаки совпадают.

3. Проверка для прямой $l_3: 0,5x - y - 2 = 0$ (сторона BC)

Третья вершина — A(0,2; 2,6). Подставляем её координаты:
$0,5(0,2) - 2,6 - 2 = 0,1 - 2,6 - 2 = -4,5$ (знак "?")
Подставляем координаты начала координат O(0; 0):
$0,5(0) - 0 - 2 = -2$ (знак "?")
Знаки совпадают.

Так как для всех трех сторон треугольника начало координат и третья вершина лежат по одну сторону, точка $O(0; 0)$ находится внутри треугольника.

Ответ: Да, начало координат лежит внутри этого треугольника.