Номер 384, страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

384. На рисунке 70 изображены прямые АВ и CD − графики двух линейных функций. Найдите:

а) координаты трёх точек, которые лежат ниже прямой АВ;

б) координаты трёх точек, которые лежат выше прямой CD;

в) координаты точки пересечения прямых АВ и CD.

а) Точки, лежащие ниже прямой AB, — это все точки координатной плоскости, у которых при той же абсциссе ордината будет меньше, чем у точек на прямой AB. На графике видно, что, например, начало координат и точки на оси Ox находятся ниже прямой AB. Мы можем выбрать любые три точки из этой области. Возьмем точки с целочисленными координатами для простоты.

Ответ: Например, $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(-1, 1)$.

б) Точки, лежащие выше прямой CD, — это все точки координатной плоскости, у которых при той же абсциссе ордината будет больше, чем у точек на прямой CD. Визуально определим три такие точки с целочисленными координатами с графика. Например, точка с абсциссой 1 и ординатой 4 (т.е. $(1, 4)$) лежит выше точки C$(1, 3)$, которая находится на прямой. Аналогично можно выбрать и другие точки.

Ответ: Например, $(1, 4)$, $(0, 5)$, $(2, 2)$.

в) Для нахождения координат точки пересечения прямых AB и CD необходимо составить уравнения этих прямых и решить полученную систему уравнений. Уравнение прямой в общем виде: $y = kx + b$.

Найдем уравнение прямой AB, которая проходит через точки A$(-3, 1)$ и B$(1, 2)$.
Сначала вычислим угловой коэффициент $k$:
$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - 1}{1 - (-3)} = \frac{1}{4}$.
Теперь подставим значение $k$ и координаты точки B$(1, 2)$ в уравнение прямой, чтобы найти $b$:
$2 = \frac{1}{4} \cdot 1 + b \Rightarrow b = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.
Итак, уравнение прямой AB: $y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{4}$.

Найдем уравнение прямой CD, которая проходит через точки C$(1, 3)$ и D$(3, 0)$.
Вычислим угловой коэффициент $k$:
$k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{0 - 3}{3 - 1} = -\frac{3}{2}$.
Подставим значение $k$ и координаты точки C$(1, 3)$ в уравнение прямой, чтобы найти $b$:
$3 = -\frac{3}{2} \cdot 1 + b \Rightarrow b = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$.
Итак, уравнение прямой CD: $y = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$.

Для нахождения точки пересечения решим систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{4} \\ y = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2} \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:
$\frac{1}{4}x + \frac{7}{4} = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 4:
$4 \cdot (\frac{1}{4}x + \frac{7}{4}) = 4 \cdot (-\frac{3}{2}x + \frac{9}{2})$
$x + 7 = -6x + 18$
$x + 6x = 18 - 7$
$7x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{7}$.
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение:
$y = \frac{1}{4} \left(\frac{11}{7}\right) + \frac{7}{4} = \frac{11}{28} + \frac{7 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{11}{28} + \frac{49}{28} = \frac{60}{28} = \frac{15}{7}$.
Координаты точки пересечения: $(\frac{11}{7}, \frac{15}{7})$.

Ответ: $(\frac{11}{7}, \frac{15}{7})$.