Номер 381, страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 2. Функции. Дополнительные упражнения к главе II. К параграфу 5 - номер 381, страница 93.

Условие.

381. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций:

а) у = 4x + 9 и у = 6x − 5;

б) у = 16x − 7 и у = 21x + 8;

в) у = 10х − 7 и у = 5;

г) у = 0,1х и у = 14.

Решение 1.

а) у = 4x + 9 и у = 6x − 5;
4x + 9 = 6x - 5;
4x - 6x = -5 - 9;
-2x = -14;
x = 7;
y = 4 ⋅ 7 + 9 = 28 + 9 = 37.

Ответ: (7; 37).

б) у = 16x − 7 и у = 21x + 8;
16x - 7 = 21x + 8;
16x - 21x = 8 + 7;
-5x = 15;
x = -3;
y = 16 ⋅ (-3) - 7 = -48 - 7 = -55.

Ответ: (-3; -55).

в) у = 10х − 7 и у = 5;
10x - 7 = 5;
10x = 12;
x = 1,2.

Ответ: (1,2; 5).

г) у = 0,1х и у = 14;
0,1x = 14;
x = 140.

Ответ: (140; 14).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух линейных функций без построения, необходимо решить систему уравнений, задающих эти функции. В точке пересечения значения координат $x$ и $y$ для обоих графиков совпадают. Следовательно, мы можем приравнять выражения для $y$ из обоих уравнений. Решив полученное уравнение относительно $x$, мы найдем абсциссу (координату $x$) точки пересечения. После этого, подставив найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, мы вычислим ординату (координату $y$) этой точки.

а) $y = 4x + 9$ и $y = 6x - 5$

Приравняем правые части уравнений, так как в точке пересечения значения $y$ равны:

$4x + 9 = 6x - 5$

Соберем слагаемые, содержащие $x$, в одной части уравнения, а числовые слагаемые — в другой:

$9 + 5 = 6x - 4x$

$14 = 2x$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{14}{2} = 7$

Теперь подставим найденное значение $x = 7$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем первое уравнение:

$y = 4(7) + 9 = 28 + 9 = 37$

Таким образом, координаты точки пересечения графиков: $(7; 37)$.

Ответ: $(7; 37)$.

б) $y = 16x - 7$ и $y = 21x + 8$

Приравняем правые части уравнений:

$16x - 7 = 21x + 8$

Перенесем слагаемые:

$-7 - 8 = 21x - 16x$

$-15 = 5x$

Находим $x$:

$x = \frac{-15}{5} = -3$

Подставим $x = -3$ в первое уравнение для нахождения $y$:

$y = 16(-3) - 7 = -48 - 7 = -55$

Координаты точки пересечения графиков: $(-3; -55)$.

Ответ: $(-3; -55)$.

в) $y = 10x - 7$ и $y = 5$

В данном случае ордината точки пересечения уже известна из второго уравнения: $y = 5$. Подставим это значение в первое уравнение, чтобы найти абсциссу $x$:

$5 = 10x - 7$

Решим уравнение относительно $x$:

$5 + 7 = 10x$

$12 = 10x$

$x = \frac{12}{10} = 1,2$

Координаты точки пересечения графиков: $(1,2; 5)$.

Ответ: $(1,2; 5)$.

г) $y = 0,1x$ и $y = 14$

Аналогично предыдущему пункту, ордината точки пересечения известна: $y = 14$. Подставим это значение в первое уравнение:

$14 = 0,1x$

Найдем $x$:

$x = \frac{14}{0,1} = 140$

Координаты точки пересечения графиков: $(140; 14)$.

Ответ: $(140; 14)$.