Номер 383, страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Функции - номер 383, страница 93.

383. На рисунке 69 изображены прямые АВ и CD − графики двух линейных функций.

а) Из трёх точек М( −2; 3), N(−4; 2), Р(−2; 5) выберите ту, через которую прямая АВ проходить заведомо не может.

б) Даны точки К(−6; 5), Р(−3; 1), Q(3; 4), М(4; 0), N(0; 1), F(2; 2), L(−6; 1). Выберите из них те, которые лежат выше прямой АВ и ниже прямой CD.

в) Укажите приближённо координаты точки пересечения прямых АВ и CD.

а)

Чтобы определить, какая из точек заведомо не может лежать на прямой AB, проанализируем свойства графика этой прямой. Прямая AB является графиком возрастающей линейной функции (она идет вверх слева направо), следовательно, её угловой коэффициент $k$ должен быть положительным ($k > 0$).

Из рисунка видно, что прямая AB пересекает ось абсцисс в точке с координатой $x = -3$. Таким образом, точка $(-3; 0)$ принадлежит прямой AB. Используем эту информацию для проверки предложенных точек.

Уравнение прямой, проходящей через точку $(-3; 0)$, имеет вид $y = k(x - (-3))$ или $y = k(x+3)$, где $k$ — угловой коэффициент.

Проверим, при каком значении $k$ прямая будет проходить через каждую из заданных точек:

• Точка M(?2; 3):
  Подставим её координаты в уравнение прямой: $3 = k(-2+3) \Rightarrow 3 = k(1) \Rightarrow k=3$. Так как $k=3 > 0$, то прямая AB теоретически может проходить через точку M.
• Точка N(?4; 2):
  Подставим её координаты: $2 = k(-4+3) \Rightarrow 2 = k(-1) \Rightarrow k=-2$. Полученное значение углового коэффициента отрицательно, что противоречит тому, что функция возрастающая. Следовательно, прямая AB не может проходить через точку N, если она проходит через точку $(-3; 0)$.
• Точка P(?2; 5):
  Подставим её координаты: $5 = k(-2+3) \Rightarrow 5 = k(1) \Rightarrow k=5$. Так как $k=5 > 0$, то прямая AB теоретически может проходить через точку P.

Таким образом, единственная точка, через которую прямая AB заведомо не может проходить, — это N(?4; 2), так как это нарушает основное свойство графика — возрастание.

Ответ: N(?4; 2)

б)

Для решения этой задачи необходимо найти уравнения прямых AB и CD. Точка лежит выше прямой, если её координата $y$ больше значения функции в этой точке, и ниже, если меньше.

1. Найдём уравнение прямой AB.
Из графика видно, что прямая проходит через точки с целочисленными координатами, например, $(-3; 0)$ и $(-2; 2)$.
Угловой коэффициент $k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{-2 - (-3)} = \frac{2}{1} = 2$.
Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку $(-3; 0)$: $y - 0 = 2(x - (-3))$, что даёт $y = 2x + 6$.
Точка $(x_0, y_0)$ лежит выше прямой AB, если выполняется неравенство $y_0 > 2x_0 + 6$.

2. Найдём уравнение прямой CD.
Из графика видно, что прямая проходит через точки $(-4; 3)$ и $(2; 1)$.
Угловой коэффициент $k_{CD} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 3}{2 - (-4)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку $(2; 1)$: $y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 2)$, что даёт $y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} + 1$, или $y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$.
Точка $(x_0, y_0)$ лежит ниже прямой CD, если выполняется неравенство $y_0 < -\frac{1}{3}x_0 + \frac{5}{3}$.

3. Проверим каждую точку на соответствие обоим условиям.

• K(?6; 5):
  Выше AB: $5 > 2(-6) + 6 \Rightarrow 5 > -6$ (верно).
  Ниже CD: $5 < -\frac{1}{3}(-6) + \frac{5}{3} \Rightarrow 5 < 2 + \frac{5}{3} \Rightarrow 5 < \frac{11}{3}$ (неверно).
• P(?3; 1):
  Выше AB: $1 > 2(-3) + 6 \Rightarrow 1 > 0$ (верно).
  Ниже CD: $1 < -\frac{1}{3}(-3) + \frac{5}{3} \Rightarrow 1 < 1 + \frac{5}{3} \Rightarrow 1 < \frac{8}{3}$ (верно).
  Точка P(?3; 1) подходит.
• Q(3; 4):
  Выше AB: $4 > 2(3) + 6 \Rightarrow 4 > 12$ (неверно).
• M(4; 0):
  Выше AB: $0 > 2(4) + 6 \Rightarrow 0 > 14$ (неверно).
• N(0; 1):
  Выше AB: $1 > 2(0) + 6 \Rightarrow 1 > 6$ (неверно).
• F(2; 2):
  Выше AB: $2 > 2(2) + 6 \Rightarrow 2 > 10$ (неверно).
• L(?6; 1):
  Выше AB: $1 > 2(-6) + 6 \Rightarrow 1 > -6$ (верно).
  Ниже CD: $1 < -\frac{1}{3}(-6) + \frac{5}{3} \Rightarrow 1 < 2 + \frac{5}{3} \Rightarrow 1 < \frac{11}{3}$ (верно).
  Точка L(?6; 1) подходит.

Ответ: P(?3; 1) и L(?6; 1)

в)

Чтобы найти координаты точки пересечения прямых AB и CD, можно решить систему уравнений, которые мы составили в предыдущем пункте:

$\begin{cases} y = 2x + 6 \\ y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3} \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$2x + 6 = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

$3(2x + 6) = 3(-\frac{1}{3}x + \frac{5}{3})$

$6x + 18 = -x + 5$

$7x = -13$

$x = -\frac{13}{7}$

Теперь найдем координату $y$, подставив значение $x$ в уравнение прямой AB:

$y = 2(-\frac{13}{7}) + 6 = -\frac{26}{7} + \frac{42}{7} = \frac{16}{7}$

Точные координаты точки пересечения: $(-\frac{13}{7}; \frac{16}{7})$.

Преобразуем дроби в десятичные для получения приближенных координат:

$x = -\frac{13}{7} \approx -1.86$

$y = \frac{16}{7} \approx 2.29$

Приближенные координаты точки пересечения, как видно из графика и расчетов, можно округлить до одного знака после запятой.

Ответ: $(-1.9; 2.3)$ (или любая близкая аппроксимация, например, $(-1.8; 2.3)$).