Номер 377, страница 92 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

377.Покажите схематически в одной координатной плоскости, как расположены графики функций у = ах и у = bх, если:

а) а > 0, b > 0 и а > b;

б) а < 0, b < 0 и |а| < |b|;

а)

Рассмотрим функции $y=ax$ и $y=bx$ при условиях $a > 0$, $b > 0$ и $a > b$.

1. Обе функции являются прямыми пропорциональностями, поэтому их графики — это прямые, проходящие через начало координат (0, 0).

2. Так как угловые коэффициенты $a$ и $b$ положительны ($a > 0$, $b > 0$), оба графика расположены в I и III координатных четвертях. Функции являются возрастающими.

3. Угловой коэффициент $k$ в уравнении прямой $y=kx$ определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox. Чем больше положительное значение $k$, тем "круче" идет прямая, то есть тем ближе она расположена к оси Oy.

4. По условию $a > b$. Это означает, что график функции $y=ax$ будет наклонен к оси Ox под большим углом, чем график функции $y=bx$.

Схематически это выглядит так: обе прямые выходят из начала координат. В первой четверти (где $x > 0$) прямая $y=ax$ будет расположена выше прямой $y=bx$, так как при одном и том же положительном значении $x$, значение $ax$ будет больше, чем $bx$. В третьей четверти (где $x < 0$) прямая $y=ax$ будет расположена ниже прямой $y=bx$, так как при умножении неравенства $a > b$ на отрицательное число $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $ax < bx$.

Ответ: Графики обеих функций — прямые, проходящие через начало координат в I и III четвертях. График функции $y=ax$ расположен "круче" (ближе к оси Oy) и в I четверти находится выше графика $y=bx$.

б)

Рассмотрим функции $y=ax$ и $y=bx$ при условиях $a < 0$, $b < 0$ и $|a| < |b|$.

1. Как и в предыдущем пункте, графики обеих функций — это прямые, проходящие через начало координат.

2. Так как угловые коэффициенты $a$ и $b$ отрицательны ($a < 0$, $b < 0$), оба графика расположены во II и IV координатных четвертях. Функции являются убывающими.

3. "Крутизна" наклона прямой определяется модулем углового коэффициента. Чем больше $|k|$, тем прямая "круче" (ближе к оси Oy).

4. По условию $|a| < |b|$. Это означает, что график функции $y=bx$ будет "круче" (расположен ближе к оси Oy), чем график функции $y=ax$.

5. Из условий $a < 0$, $b < 0$ и $|a| < |b|$ следует, что $a > b$. Например, если $a = -2$ и $b = -4$, то $|-2| < |-4|$ (т.е. $2 < 4$) и $-2 > -4$.

Схематически это выглядит так: обе прямые выходят из начала координат. В IV четверти (где $x > 0$), умножая верное неравенство $a > b$ на положительное число $x$, получаем $ax > bx$. Следовательно, в IV четверти график $y=ax$ находится выше графика $y=bx$. Во II четверти (где $x < 0$), умножая неравенство $a > b$ на отрицательное число $x$, мы меняем знак неравенства на противоположный: $ax < bx$. Таким образом, во II четверти график $y=ax$ находится ниже графика $y=bx$.

Ответ: Графики обеих функций — прямые, проходящие через начало координат во II и IV четвертях. График функции $y=bx$ расположен "круче" (ближе к оси Oy), а график $y=ax$ — более пологий. В IV четверти график $y=ax$ находится выше графика $y=bx$.