Страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

407. Окно в старинном особняке имеет форму прямоугольника, завершающегося полукругом (рис. 72). Составьте формулу для вычисления его площади S (в квадратных сантиметрах), если известно, что основание прямоугольника равно а см, высота прямоугольника в полтора раза больше основания. Найдите площадь окна, если а = 80. (Указание. Площадь круга равна πr ², где r − радиус круга, π ≈ 3,14.)

Составление формулы для вычисления площади S

Общая площадь окна $S$ складывается из площади прямоугольной части $S_{пр}$ и площади полукруга $S_{пк}$.
$S = S_{пр} + S_{пк}$

1. Найдем площадь прямоугольника $S_{пр}$.
По условию, основание прямоугольника равно $a$ см.
Высота прямоугольника в полтора раза больше основания, следовательно, она равна $1.5 \cdot a = 1.5a$ см.
Площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту:
$S_{пр} = a \cdot 1.5a = 1.5a^2$

2. Найдем площадь полукруга $S_{пк}$.
Полукруг завершает прямоугольник, значит, его диаметр равен основанию прямоугольника, то есть $a$ см.
Радиус $r$ полукруга равен половине диаметра: $r = \frac{a}{2}$.
Площадь целого круга вычисляется по формуле $\pi r^2$. Площадь полукруга составляет половину площади круга:
$S_{пк} = \frac{1}{2} \pi r^2$
Подставим в формулу выражение для радиуса $r = \frac{a}{2}$:
$S_{пк} = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{8}$

3. Составим итоговую формулу для площади всего окна $S$.
$S = S_{пр} + S_{пк} = 1.5a^2 + \frac{\pi a^2}{8}$
Можно также вынести за скобки общий множитель $a^2$:
$S = a^2 \left(1.5 + \frac{\pi}{8}\right)$
Ответ: Формула для вычисления площади окна: $S = 1.5a^2 + \frac{\pi a^2}{8}$.

Нахождение площади окна, если a = 80

Теперь вычислим площадь окна, подставив в полученную формулу значения $a = 80$ и $\pi \approx 3.14$.
$S = 1.5 \cdot 80^2 + \frac{3.14 \cdot 80^2}{8}$

Сначала вычислим значение $80^2$:
$80^2 = 80 \cdot 80 = 6400$

Теперь подставим это значение в формулу:
$S = 1.5 \cdot 6400 + \frac{3.14 \cdot 6400}{8}$

Вычислим каждое слагаемое:
1) Площадь прямоугольника: $S_{пр} = 1.5 \cdot 6400 = 9600$ см$^2$.
2) Площадь полукруга: $S_{пк} = \frac{3.14 \cdot 6400}{8} = 3.14 \cdot 800 = 2512$ см$^2$.

Сложим полученные площади:
$S = 9600 + 2512 = 12112$ см$^2$.
Ответ: Площадь окна равна $12112$ см$^2$.

408. Составьте формулу для вычисления площади кольца, изображённого на рисунке 73. Найдите площадь кольца, если R = 6,4 см, r = 3,6 см.

Составьте формулу для вычисления площади кольца, изображённого на рисунке 73.

Площадь кольца (закрашенной фигуры) можно найти как разность площадей двух концентрических кругов: большего с радиусом $R$ и меньшего с радиусом $r$.
Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi \cdot (\text{радиус})^2$.
Площадь большого круга: $S_R = \pi R^2$.
Площадь малого круга (внутренней незакрашенной области): $S_r = \pi r^2$.
Чтобы найти площадь кольца $S$, нужно из площади большого круга вычесть площадь малого круга:
$S = S_R - S_r = \pi R^2 - \pi r^2$.
Вынесем общий множитель $\pi$ за скобки:
$S = \pi(R^2 - r^2)$.
Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, можно записать формулу в другом виде, который часто удобен для вычислений:
$S = \pi(R-r)(R+r)$.
Ответ: Формула для вычисления площади кольца: $S = \pi(R^2 - r^2)$.

Найдите площадь кольца, если R = 6,4 см, r = 3,6 см.

Воспользуемся выведенной формулой и подставим в неё данные значения радиусов: $R = 6,4$ см и $r = 3,6$ см.
Удобнее использовать формулу $S = \pi(R-r)(R+r)$.
Вычислим значения в скобках:
$R - r = 6,4 - 3,6 = 2,8$ см.
$R + r = 6,4 + 3,6 = 10$ см.
Теперь подставим полученные результаты в формулу для площади:
$S = \pi \cdot (2,8) \cdot (10) = 28\pi$ см?.
Если необходимо получить приближенное числовое значение, можно использовать $\pi \approx 3,14$:
$S \approx 28 \cdot 3,14 = 87,92$ см?.
Поскольку в условии задачи нет указаний по поводу значения $\pi$, принято оставлять ответ в виде выражения с $\pi$.
Ответ: $28\pi$ см?.

409. (Задача исследование.) Найдите всевозможные значения а, где а − натуральное число, при которых число 90 является наименьшим общим кратным чисел 15 и а.

1) Разложите на простые множители каждое из чисел 90 и 15.

2) Обсудите, какие множители должны входить в разложение числа а.

3) Сделайте вывод о значениях числа а.

1) Разложите на простые множители каждое из чисел 90 и 15.

Разложение числа 15 на простые множители выполняется следующим образом: $15 = 3 \cdot 5$.

Разложение числа 90 на простые множители: $90 = 9 \cdot 10 = (3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$.

Ответ: $15 = 3 \cdot 5$; $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$.

2) Обсудите, какие множители должны входить в разложение числа a.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел находится путем взятия каждого простого множителя в наибольшей степени, в которой он встречается в разложении любого из этих чисел. Нам дано, что НОК($15, a$) = 90.

Используем канонические разложения чисел 15 и 90: $15 = 2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^1$ $90 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1$ Пусть разложение натурального числа $a$ на простые множители имеет вид $a = 2^x \cdot 3^y \cdot 5^z \cdot k$, где $k$ — произведение множителей, отличных от 2, 3 и 5.

Тогда НОК($15, a$) = $2^{\max(0, x)} \cdot 3^{\max(1, y)} \cdot 5^{\max(1, z)} \cdot k$. Сравнивая это с разложением числа 90, получаем систему условий для степеней:

- Для простого множителя 2: $\max(0, x) = 1$. Это равенство выполняется только при $x = 1$. Значит, в разложение числа $a$ должен входить множитель $2^1$.

- Для простого множителя 3: $\max(1, y) = 2$. Это равенство выполняется только при $y = 2$. Значит, в разложение числа $a$ должен входить множитель $3^2$.

- Для простого множителя 5: $\max(1, z) = 1$. Это равенство выполняется при $z = 0$ или $z = 1$. Значит, в разложение числа $a$ может входить множитель $5^0$ (т.е. множитель 5 отсутствует) или $5^1$.

- Поскольку в разложении числа 90 нет других простых множителей, то и в разложении числа $a$ их быть не должно, иначе они вошли бы в НОК. Следовательно, $k=1$.

Ответ: В разложение числа $a$ обязательно должны входить множители $2$ в первой степени ($2^1$) и $3$ во второй степени ($3^2$). Множитель $5$ может входить в разложение в нулевой ($5^0$) или первой ($5^1$) степени. Других простых множителей в разложении числа $a$ нет.

3) Сделайте вывод о значениях числа a.

Основываясь на выводах из пункта 2, разложение числа $a$ на простые множители имеет вид $a = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^z$, где показатель степени $z$ может быть равен 0 или 1.

Рассмотрим все возможные случаи:

- Случай 1: $z=0$. $a = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^0 = 2 \cdot 9 \cdot 1 = 18$. Проверим: НОК(15, 18) = НОК($3 \cdot 5$, $2 \cdot 3^2$) = $2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 90$. Данное значение подходит.

- Случай 2: $z=1$. $a = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$. Проверим: НОК(15, 90) = 90, так как 90 кратно 15. Данное значение также подходит.

Таким образом, существуют два натуральных числа $a$, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: Возможные значения числа $a$: 18, 90.

410. Представьте произведение в виде степени с основанием а:

а) а³а;б) а⁴а²;в) а³а⁶;г) а²⁰а¹².

Для решения этой задачи используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а основание остается прежним. Также следует помнить, что любая переменная без показателя степени имеет показатель 1, то есть $a = a^1$.

а)

Дано произведение $a^3 a$. Представим второй множитель $a$ в виде степени с показателем 1: $a = a^1$.

Теперь, используя правило умножения степеней, сложим показатели:

$a^3 a = a^3 \cdot a^1 = a^{3+1} = a^4$.

Ответ: $a^4$.

б)

Дано произведение $a^4 a^2$. Оба множителя уже представлены в виде степеней с основанием $a$.

Применим правило умножения степеней и сложим их показатели:

$a^4 a^2 = a^{4+2} = a^6$.

Ответ: $a^6$.

в)

Дано произведение $a^3 a^6$.

Сложим показатели степеней, так как основания одинаковы:

$a^3 a^6 = a^{3+6} = a^9$.

Ответ: $a^9$.

г)

Дано произведение $a^{20} a^{12}$.

По правилу умножения степеней с одинаковым основанием, складываем их показатели:

$a^{20} a^{12} = a^{20+12} = a^{32}$.

Ответ: $a^{32}$.

411. Объясните, почему при любых значениях переменной х значения выражений 4х² и (х − 8)² являются неотрицательными числами.

Для выражения $4x^2$
Выражение $x^2$ представляет собой квадрат переменной $x$. Квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом. Это означает, что для любого значения $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$.
Выражение $4x^2$ является произведением постоянного положительного множителя $4$ и неотрицательного множителя $x^2$. Произведение положительного числа на неотрицательное всегда является неотрицательным числом.
Следовательно, при любом значении $x$ значение выражения $4x^2$ будет больше или равно нулю.
Ответ: Значение выражения $4x^2$ является неотрицательным, так как оно представляет собой произведение положительного числа $4$ и неотрицательного значения $x^2$ (квадрат любого числа), что всегда дает результат $\ge 0$.

Для выражения $(x-8)^2$
При любом значении переменной $x$ выражение в скобках, $(x-8)$, является некоторым действительным числом.
Все выражение $(x-8)^2$ представляет собой квадрат этого действительного числа. По определению, квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным. То есть, какое бы значение ни принимала разность $(x-8)$ — положительное, отрицательное или ноль — ее квадрат $(x-8)^2$ всегда будет больше или равен нулю.
Ответ: Значение выражения $(x-8)^2$ является неотрицательным, так как это квадрат некоторого числа $(x-8)$, а квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю.

412. (Для работы в парах.) Даны выражения:

a² + 1, −a⁴, 3 + (5 − a)², −a − a³, −a² + 8, 3a + 4, a⁴ + a² + 8, −a⁶ − 4a⁸ − 1, −7a − a, −a⁸ − 9.

Какие из этих выражений принимают:

а) только положительные значения;

б) только отрицательные значения?

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто − задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнено задание.

3) Исправьте ошибки, если они допущены.

а) только положительные значения;

Чтобы выражение принимало только положительные значения, оно должно быть строго больше нуля при любом значении переменной $a$. Проанализируем каждое выражение:

• Выражение $a^2 + 1$. Квадрат любого действительного числа $a^2$ всегда неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат будет больше или равен 1: $a^2 + 1 \ge 1$. Так как $1 > 0$, выражение $a^2 + 1$ всегда положительно.
• Выражение $3 + (5 - a)^2$. Аналогично, выражение в скобках в квадрате $(5 - a)^2$ всегда неотрицательно: $(5 - a)^2 \ge 0$. Прибавляя 3, получаем $3 + (5 - a)^2 \ge 3$. Так как $3 > 0$, выражение $3 + (5 - a)^2$ всегда положительно.
• Выражение $a^4 + a^2 + 8$. Степени с четными показателями $a^4$ и $a^2$ всегда неотрицательны: $a^4 \ge 0$ и $a^2 \ge 0$. Их сумма также неотрицательна: $a^4 + a^2 \ge 0$. Прибавляя 8, получаем $a^4 + a^2 + 8 \ge 8$. Так как $8 > 0$, выражение $a^4 + a^2 + 8$ всегда положительно.

Остальные выражения из списка могут принимать отрицательные значения или ноль (например, $-a^2+8 = -8$ при $a=4$; $3a+4 = -2$ при $a=-2$).

Ответ: $a^2 + 1$, $3 + (5 - a)^2$, $a^4 + a^2 + 8$.

б) только отрицательные значения?

Чтобы выражение принимало только отрицательные значения, оно должно быть строго меньше нуля при любом значении переменной $a$. Проанализируем каждое выражение:

• Выражение $-a^6 - 4a^8 - 1$. Вынесем минус за скобки: $-(a^6 + 4a^8 + 1)$. Степени с четным показателем $a^6$ и $a^8$ неотрицательны: $a^6 \ge 0$ и $a^8 \ge 0$. Поэтому выражение в скобках $a^6 + 4a^8 + 1 \ge 0 + 0 + 1$, то есть $a^6 + 4a^8 + 1 \ge 1$. Это означает, что выражение в скобках всегда положительно. Следовательно, исходное выражение, являясь противоположным ему по знаку, всегда отрицательно (точнее, $-(a^6 + 4a^8 + 1) \le -1$).
• Выражение $-a^8 - 9$. Степень с четным показателем $a^8$ всегда неотрицательна: $a^8 \ge 0$. Тогда $-a^8$ будет неположительным: $-a^8 \le 0$. Вычитая 9, получаем $-a^8 - 9 \le -9$. Так как $-9 < 0$, выражение $-a^8 - 9$ всегда отрицательно.

Остальные выражения могут принимать положительные значения или ноль (например, $-a^4=0$ при $a=0$; $-a-a^3=2$ при $a=-1$).

Ответ: $-a^6 - 4a^8 - 1$, $-a^8 - 9$.